2013年北京高考理科数学试题及答案.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。1已知集合，则（ ）A B C D2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3“”是“曲线过坐标原点” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分与不必要条件4执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A B C D5函数的图像向右平移个单位长度，所得图像与曲线关于轴对称，则（ ）A B C D6若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D.7直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（ ）A B C D8设关于、的不等式组所表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9在极坐标系中，点到直线的距离等于 。10若等比数列满足，则公比 ；前项和 。11如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，则 ， 。12将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一个人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 。（用数字作答）13向量，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则 14如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则点到直线的距离的最小值为 。三、解答题（共6小题，共80分。）15（13分）在中，（1）求的值。 （2）求的值。16（13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17（14分）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，。（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值。（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。18（13分）设为曲线：在点处的切线。（1）求的方程 （2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方。19（14分）已知，是椭圆：上的三个点，是坐标原点（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积。（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由。20（13分）已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后的各项，的最小值记为，（1）若为，是一个周期为4的数列（即对任意，）写出，的值。（2）设为非负整数，证明：（）的充分必要条件为是公差为的等差数列。（3）证明：若，（）则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。）1B 2D 3A 4C 5D 6B 7C 8C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9 10， 11，12 13 14三、解答题（共6小题，共80分。）15（本小题共13分）解：（1）由正弦定理得 因为，所以 所以，即 （2）由余弦定理：得即 解得或若，则，因为，所以，而所以16（本小题共13分）解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天， 所以概率为（2）的可能取值为0，1，2此人停留的两天共有13种选择，分别是：，即此两天中有0天空气质量为优良，分别为为，所以，即此两天中有一天空气质量为优良，所以，即此两天中有两天空气质量为优良，所以所以的分布列为（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17（本小题共14分）（1）证明：因为四边形是正方形，所以 又因为平面平面，平面 所以平面（2）解：因为， 所以 所以，两两垂直。 以为原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系如图 则， ， 设平面的法向量为， 则有，即，令得，所以设平面的法向量为 则有，即，令得，所以设二面角的平面角为，则有 又因为二面角为锐角，所以余弦值为（3）假设存在题设点，坐标为，则， 设（），则，即，所以，因为，所以，即，解得所以18（本小题共13分）解：（1），所以，即切线的斜率为 所以方程为 （2）只需证明且时， 设 由得，由得 所以在单调递减，在单调递增。 所以当且时， 即当且时，所以19（本小题共14分）解：（1）因为四边形为菱形，所以垂直平分 而，所以方程为 对方程，令得， 所以菱形面积为（2）方法一：当点不是的顶点时，直线的斜率存在且不为，设方程为 联立方程得设，则， 若四边形为菱形，则，即所以即因为点不是的顶点，所以，所以即，即所以，与已知矛盾，所以四边形不可能为菱形方法二：因为四边形为菱形，所以，设（）则，两点为圆与椭圆的交点联立方程得所以，两点的横坐标相等或互为相反数。因为点在上若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形不可能为菱形。20（本小题共13分）解：（1）， （2）充分性：若是公差为的等差数列，则于是，必要性：若（），假设是第一个使得的项，则，与矛盾因此是不减的数列进而，即因此是公差为的等差数列。（3）首先，中的项不能是，否则，矛盾 其次，中的项不能超过，用反证法证明如