变角与变式——三角函数的永恒主题.doc

“变角”与“变式”三角函数的永恒主题姚圣海三角函数是高中数学的重要内容，是高考考查的重点、热点，主要考查同角三角关系式及诱导公式、三角函数的图象和性质、三角函数的化简求值、三角形中的三角函数、三角函数的最值及综合应用等问题纵观近年高考的三角函数题型，其解决方法主要是通过“变角”和“变式”两种手段，即利用和、差、倍角公式和诱导公式进行化简后再归纳处理，可以说“变角”与“变式”是三角函数解题的永恒主题下面通过具体例子加以说明1公式“变角”、“变式”的桥梁在高考命题中，角的概念的考查多结合三角函数的基础知识，涉及的知识点较多，不过比较简单对求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、三角函数的诱导公式在求三角函数值时的应用，考察利用三角公式进行恒等变形的技能及基本运算能力 【例1】 化简 解 又 说明 “变式”的目的是创造角的环境，达到求解目的本题首先利用降幂公式“变式”，使分子、分母中的两角“互余”，再利用两角关系“变角”，化简至最简形式后求值【例2】 若，则等于 解 ，说明 “变角”的目的是“变式”此类题型，不应把条件与结论中的式子展开解题，一般来说，应把条件与结论中的角进行比较、对照，找到联系，利用三角函数的诱导公式，采用“变角”思想创造出“变式”的基础【例3】 已知，则的值为 解 = 说明 观察题干中的角与结论中的角的关系，利用“变角”思想解题，会大大简化本题的运算难度【例4】（2010重庆文15）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线,各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在上）且半径相等，设第段弧所对的圆心角为，则=_ 解 设三个圆的圆心分别为，连接则又， =说明 本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，通过“变式”、“变角”，将已知与求解合理转化，从而达到求解目的 【例5】已知，且，求的值解 又，原式说明 运用角之间的关系，从整体上进行沟通，简化了运算过程，此为“变角”当然，也可以将条件式和目标式都用和表示：由条件，目标式=，将条件式、结论式分别平方后运用，与的关系，借助实现过渡得出答案，此为“变式”【例6】证明： 解 左边=右边 说明 变换式子时，注意先变换角的关系，化简角为单角，如，为“变式”创造条件类似的“变角”公式还有，等等 2 性质“变角”、“变式”的目的三角函数的图像和性质是高考重点考查的对象主要考查三角函数图像的变换、读图和识图以及图像的运用，周期性、奇偶性、对称性等内容【例7】 函数在区间上的最小值为_ 解 ，又，最小值为1说明 利用辅助角公式把函数解析式“变式”为形式后再研究性质，要注意给定的自变量的范围【例8】函数的值域是_解 由得： 即值域是说明 善于运用反控的方法，“变式”后利用辅助角公式“变角”，引入角，通过三角函数的有界性构造关于的不等式（组），以探求函数的值域【例9】 已知函数，则的最小正周期是_解 说明 利用降幂公式、二倍角公式、辅助角公式等“变角”及“变式”，将函数解析式化简成形式，再根据周期得出结论【例10】 已知函数，(其中 （1）求函数的值域； （2）若对任意的，函数的图像与有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调区间解 （1）=由，得可知函数的值域为（2）由题设条件及三角函数图像和性质，可知的周期为，又由，得，即得于是有，再由，解得所以的单调增区间为说明 利用两角和与差的正弦公式、降幂公式及辅助角公式对解析式“变角”、“变式”，化简为形式后研究函数性质，包括研究函数的值域、周期和单调区间此类题型是高考的重点考查内容，解决问题的关键是熟练三角公式，能够对给出的复杂式子“变角”、“变式”3应用“变角”、“变式”的实践高考试题中，关于三角函数的综合应用，主要有两种类型：一是自身的综合，即将三角公式、图像和性质结合，或与解三角形结合，化简求值或求角；二是三角函数与其他函数，如一元二次函数、指数函数、对数函数相结合，产生以三角函数为主的综合问题 【例11】（2010江苏13）在锐角中，角的对边分别为，则的值是_解 化简得，又=4说明 三角函数与解三角形综合的问题，除了利用三角函数两角和与差等公式之外，三角形中的正弦、余弦定理往往也是解题的关键公式解决问题的首要步骤仍然是利用这些公式将条件和结论中的题干进行化简，“变式”并且“变角”【例12】 已知函数， （1）将函数化简成的形式；（2）求函数的值域解 （1）=，（2）由，得，的值域为 说明 本题是三角函数与带根号的一次分式函数的综合，实质仍然是以三角函数知识点为主来考查如何对复杂的式子进行处理，关键还是“式”和“角”的变化，只要能够利用三角函数公式对“式”和“角”进行必要的处理，问题就会迎刃而解 总之，作为高考重点考查的内容，三角函数