专题九函数图象及其综合应用.doc

专题九 函数图象及综合应用 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻。知识网络：作图函数的图象识图用图一、新课引入在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？描点法作图。 描点法作图的步骤有哪些？ 描点法作图的基本步骤是：列表、描点、连线。基本函数的图象要熟记：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、幂函数。二、新课讲解1、函数图象的基本作法有两种: 描点法图象变换法 2、画函数图象时有时也可利用函数的性质如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，以及图象上的特殊点、线（如对称轴、渐近线等）。3、图象的变换是指一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象。 . 在高考中要求学生掌握的三种变换是：平移变换、对称变换、伸缩变换、翻折变换。4、常用函数图象变换的规律。(1)平移变换水平平移：yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向左()或向右()平移a个单位而得到。竖直平移：yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向上()或向下()平移b个单位而得到。(2)对称变换yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称。yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称。yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称。(3)伸缩变换yaf(x)(a0)的图象，可将yf(x)图象上每点的纵坐标伸(a1时)或缩(a1时)到原来的a倍，横坐标不变。yf(ax)(a0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)或缩(a1时)到原来的倍，纵坐标不变。(4)翻折变换作为yf(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y|f(x)|的图象。作为yf(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得yf(|x|)的图象。2等价变换例如：作出函数y的图象，可对解析式等价变形yx2y21(y0)，可看出函数的图象为半圆。此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图。3描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象。三、例题讲解例1：作出下列函数的大致图象：(1) y=|x-2|(x+1)；(2) y=；(3) y=|lg|x|。解：(1)函数的定义域为实数集R,由二次函数的图象经过变换作出其图象,如图甲.（2）函数的定义域为x|xR,且x-，如图乙.（3)函数的定义域是x|x0，xR，先作y=lgx关于y轴对称的图象，得到y=lg(-x)，共同组成y=lg|x|的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y=|lg|x|的图象，如图丙.解析：“由式作图”这是高考中常见的一类的问题，解决这类问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象.另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质（如单调性、奇偶性、对称性、周期性等），以此帮助分析函数的图象特征.其基本步骤：求出函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质；利用基本函数的图象画出所给函数的图象.例2：解答下列问题。(1)已知f(x)是定义域为(-，0)(0,+)的奇函数,在区间(0,+)上单调递增,f(x)的图象如右图所示,若x。f(x)-f(-x)0, 则x的取值范围是_。（2）已知直线y=x+m与函数y= 的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_。 解析：函数的图象的应用，主要体现在讨论方程的解的个数问题、求不等式的解集、不等式的恒成立等，注重数、形之间的转化。四、方法提炼1、作函数图象的常用方法有描点法和变换法,对前者,要注意对函数性质的研究;对后者，要熟悉常见的函数图象及图象的变换法则。2、“识图”问题,能根据给定的函数图象观察函数的有关性质,如奇偶性、单调性、周期性、最值或极值等。3、“用图”问题，由于函数的图象提供了形的直观性，因而为灵活利用图象处理有关不等式、方程的解的个数、求参数范围等问题提供了有力的工具。五、课后总结 1、一条主线：数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置。两个区别：(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称。(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系。 2、三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径：(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换。(2)函数解析式的等价变换。(3)研究函数的性质。课后巩固练习一、双基自测1、（1）画出函数的值；（2）画出函数；（3）画出函数【小结】函数图象的画法：_。2、画出下列函数的图象： （2) (3)【小结】函数图象的画法：_。3、试画出函数的图象，并根据图象回答下列问题：比较的大小；若解：（1）；（2）若，则 【变1】若【变2】解：若，则；若，则【小结】开口向上的二次函数，自变量离对称轴越远其函数值越大。4、画出下列函数的图象（1） （2） （3）【小结】分段函数图象的画法_。5、 作函数yx 的图象。拓展：作出yax （a0，b0）的示意图。6、（1）将函数，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为_。（2）将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数解析式为_。（3）已知函数的定义域为a,b,值域为m,n,则函数的定义域为：_,值域为_；函数的定义域为_，值域为_。二、拓展应用1、如图为函数f(x)的图象，那么f(x)是下列函数中的_。 （填序号）（1）f(x)；（2）f(x)x22|x|1；（3）f(x)|x21|；（4）f(x) 。2、若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，1)，则函数yf(x)的图象经此变换后所得图象的函数解析式为_。 3、若，则函数的图象不经过_象限。4、已知函数的图象,那么的图象是_。（1） （2） （3） （4）5、表示和中的较小者，则函数的最大值是_。6、把函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式是_。7、已知函数f(x)= 。(1)画出函数图象；(2)求fff(2)；(3)求当f(x)= 7时，x的值。解：(1)图象略；(2)f(2)=2x(2)+3=1，f(1)=( 1)2=1，f(1)=1，所以fff(2)=1。(3)因为f(x)= 7，所以2x+3=7，所以x=5。8、求函数的值域。解：9、讨论关于的方程的实数解的个数。解：作出函数图像可知：注意结论形式。 10、的解集为空集，求实数的范围。解：三、函数图象的应用1、若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围提示：换元解：2、函数y1的图象是()解：将y的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y1的图象3、函数yx的图象是()解：由(x)x知函数是奇函数同时由当0x1时，xx，当x1时，xx，知只有B选项符合4、已知图中的图象对应的函数为yf(x)，则图的图象对应的函数为()Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|)解：yf(|x|)4、已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根解：f(x)作出图象如图所示(1)递增区间为1,2和3，)，递减区间为(，1和2,3(2)由图象可知，yf(x)与y m图象，有四个不同的交点，