第8讲直线与直线系.doc

第8讲 直线与直线系竞赛热点1直线的倾斜角和斜率这是建立直线方程的基础，应正确理解，熟练掌握。2直线方程的六种形式（1）点斜式 经过点且斜率为的直线方程为（2）斜截式 斜率为且在轴上截距为的直线方程为（3）两点式 经过两点、的直线方程为 （4）截距式 在轴、轴上截距分别为、的直线方程为（5）一般式 （A、B不同时为零）。（6）参数式 经过点且倾斜角为的直线方程为（为参数）设Q是直线上任意一点，则有向线段的数量即为参数3两条直线的位置关系设直线，则（1）与相交.（2）与垂直（3）与平行（4）与重合4直线系（1）共点直线系（i）过两条直线和的交点的直线系方程为（ii）过定点的直线系方程为（不包括直线）。（2）平行直线系平行于直线的直线系方程为（3）垂直直线系垂直于直线的直线系方程为解题示范例1：在中，O为坐标原点，、，则当的面积最大时，角等于（ ）ABCD思路分析：问题的关键是将的面积表示为的函数，从而转化为求函数的最值问题。注意到点A在直线上，点B在直线上，则内接于单位正方形，因此，可利用面积分割法求的面积。当然，本题也可以利用行列式直接求的面积。解法一：如图，过点、分别作轴、轴的垂线，则 当时，的面积最大，故应选D。解法二 由三角形面积的行列式形式，得当时，面积最大，选D。点评：解法一是将先补成单位正方形，再从这个正方形面积中减去周围三个直角三角形的面积，体现了割补法。解法二直接应用了三角形面积的行列式表示。例2：已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为和，若直线与线段PQ的延长线相交，则实数的取值范围是 。思路分析：由于参数具有明确的几何意义，所以可应用数形结合的方法确定的取值范围。若注意到直线与线段PQ的延长线相交，也可以利用定比的范围或交点的横、纵坐标的范围建立关于的不等式来解。解法一：当时，直线即为轴，与PQ的延长线不相交。当时，直线的方程可化为，则过定点，用斜率为如图，直线的一个极端位置是过点Q的，将Q点的坐标代入的方程，得，即直线的另一个极端位置是，则有，得解法二：设直线与线段PQ的延长线相交于点，则由定比分点坐标公式，得代入直线的方程，得由，得解法三：线段PQ所在直线的方程为，与直线的方程联立，求得交点的纵坐标为因为交点在线段PQ的延长线上，所以，即，解得点评：以上三种解法分别应用数形结合法、定比的性质和方程根的分布范围，各有特色，它们都是求参数范围的基本方法。例3：已知直线过点，它与定直线相交于第一象限内的点Q，与轴正半轴交于点P，且使得的面积最小（O为坐标原点），求直线的方程。思路分析：用待定系数法。可设直线的斜率为，也可设P点的坐标为解；当直线与轴垂直时，则P、Q两点的坐标分别是、这时，当直线与轴不垂直时，设P点坐标为（，且），则直线的方程为与联立，得点坐标为因为点Q在第一象限，所以，且求这个分式函数的最小值有多种思路，下面给出三种初等方法。方法1 当且仅当，即时，有最小值40。这时、直线的方程为方法2当，即时，取得最小值40。直线的方程为方法3令，则，解得，或当时，方程的解为直线方程为思维迁移：由上面的解法不难发现，M恰好是线段PQ的中点。那么这个发现是不是匚合？能否推广呢？回答是肯定的，这就是下面的：面积最小值定理：如图，地内一定点M作直线，分别交OA、OB于点P、Q，则当M为PQ的中点时，的面积最小。证明：设过点M的任意一条直线分别交OA、OB于点、，且M不是的中点，不妨设，则两边同时加上四边形的面积，得面积最小。应用这个定理解答此题，将会更简单。思维体验：类似地，读者可解答下面的问题：直线过点，且分别交轴、轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点，求合面积最小的直线的方程。答案：直线的方程为例4：在直线上求一点P，使得点P对、两点所张的角最大。思路分析：求点P的坐标，使最大，一般都是利用夹角公式，转化为求的取值范围，再利用正切函数的单调性确定的最大值。当然，我人还应注意直线PA、PB的斜率不存在的情况。解：如图，过点A、B作轴的垂线，分别交直线于点、，易知 ，所以恒为锐角。设，当P与点、不重合时，直线、PB的斜率分别为令，则由，得，且，且故的最大值为，此时点思维迁移：（1）本题具有一定的生活背景，也可以看成“足球射门”问题。假设AB表示球，则在直线上的球员应站在何处射门容易射中。（2）根据平面几何知识，当过A、B两点的圆与直线相切时，切点对A、B所张的角最大。因为圆外的点对A、B所张的角总比圆上的点对A、B所张的角小。思维体验：类似地，读者可解下题：已知平面上两点和，在直线上求一点M，使最大。提示与答案：先求出点B关于直线的对称点的坐标，则与直线的交点即为所求点M。点M的坐标为例5：设动点、的坐标满足问是否存在直线，使得点P和都在此直线上？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由。思路分析：如果P、两点不重合，那么经过这两眯可以作一条直线。因此，本题可从假设存在直线入手展开讨论。解：假设存在直线，使点P、都在直线上，不妨设（A、B不全为零）。点、在直线上，即 、表示同一条直线，由得，或若，则由得，代入得直线的方程为若，则由得，代入得地的方程为综上所述，存在直线，使得点P和都在上，且，或点评：本题给出了两个相关的点P和，由它们确定一条直线。解题过程应用了两条直线重合的充要条件。例6：已知直线，一光线从点处射向轴上一点B，又从点反射到上一点C，最后又从点C反射回点A。（1）试判断由此得到的是有限个还是无限个？并说明理由；（2）依你的判断，认为是无限个时求出所有这样的面积的最小值；认为是有限个时，求出所有这样的线段BC的方程。思路分析：本题的实质是点关于直线对称以及从定点出发的光线，经直线反射后过定点的问题。对于前者，一般方法是利用“垂直”、“平分”的条件确立方程求解；地于反射光线的性质，可利用物理学上的反射定律加以解决。解：（1）这样的是唯一的。由入射角等于反射角知，轴到直线BA所成的角与直线CB到轴所成的角相等。所以点A关于轴的对称点在直线CB上。同理，点A关于直线的对称点是也在直线CB上，由两点确定一条直线知，直线BC是唯一的，且、两点分别为直线与轴、直线的交点。（2）、，直线所在直线的方程为由得；由得线段BC的方程为例7：求函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的值。思路分析：若注意到表示点与点的距离，表示点与点的距离。可通过构造解析几何模型解答此题。解：易知函数的定义域为R，因为表示点与点的距离，表示点与点的距离，于是，求函数的最值转化为求轴上的动点与两定点、距离之差的绝对值的最值。如图，由三角形三边的不等关系，得当且仅当P、A、B三点共线时上式取等号。此时，直线AB与轴的交点坐标为当时，又，当且仅当，即时，取等号。当时，点评：对于形如或 的函数最值问题，通过构造解析几何模型，可转化为轴上的动点与两定点距离之和（差）的最值，利用三角形三边的不等关系求解。例8：如图，某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，塔高BC=80（米），塔所在的山高（米），（米）。图中的山坡可视为过P、A两点的直线，与水平地面的夹角为.试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人的身高）？解：以O为原点，直线OA为轴建立直角坐标系如图所示，则、，直线的方程为设P点的坐标为，则， 当且仅当，即时，最大。这时，P点的纵坐标故当此人距水平地面60米时，观看铁塔的视角最大。点评：这是一个实际应用问题，注意到，所以最大时，最大。测试题目能力测试选择题1已知是直线上的一点，是直线外一点，由方程表示的直线与直线的位置关系是（ ）A相交但不垂直B垂直C平行D重合2若两条直线、与轴、轴的正半轴围成的四边形有外接圆，则的值等于（ ）ABCD3若点和都在直线上，则（ ）A点和都在上B点和都不在上C点在上，点不在上D点不在上，点在上4已知三点、和直线，当、三点到直线的距离的平方和最小时，下述结论正确的是（ ）A点A在上B点B在上C点C在上D点A、B、C均不在上5设，点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）ABCD6已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的的值为（ ）A2BCD填空题7动点P在直线上运动，动点Q在直线上运动，且，则线段PQ中点的轨迹方程为。8平面直角坐标系内的格点（横、纵坐标都是整数的点）到直线的最近距离是。9已知点，点M在直线上，点N在轴上，则周长的最小值是。10在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两条直角边上的中线所在直线方程分别是和，则实数的值是 。11对任意的正事小数和，连结原点O与点，用表示线段上除端点外的所有整点的个数，则的值是 。12设均为非负实数，则+ 的最小值为。解答题13过点作两条互相垂直的直线PA、PB，分别交轴正半轴于A，交轴正半轴于B。（1）求线段AB中点的轨迹；（2）若，求PA和PB所在直线的方程。14在平面直角坐标系中定义两点、之间的“交通距离”为若点到点、的交通距离相等，其中实数、满足求所有满足条件的点M的轨这的长度之和。15如图，在平面直角坐标系中的射线和上依次有点列，和，其中、，且 ，试求四边形面积的最大值。冲击金牌16直角坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为