函数的应用相关习题.docx

23函数的应用2.3.1为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a2b，2bc，2c3d，4d例如：明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为()(A) 7，6，1，4(B) 6，4，1，7(C) 4，6，1，7(D) 1，6，4，7解析由已知可得解得所以，答案为B2.3.2为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为a0a1a2，ai0，1 (i0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0a1，h1h0a2，运算规则为000，011，101，110，例如原信息为111，则传输信息为01111信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()(A) 11010(B) 01100(C) 10111(D) 00011解析若收到的信息10111是正确的，则a00，a1a21，按规则，h0011，h1110，矛盾，所以，答案为C2.3.3某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元(1) 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?(2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解析(1) 由已知可得未租出的车有12辆，所以，可租出88辆(2) 设每辆车的月租金比3000元增加50n元(n为非负整数)，则公司月收益y(100n)(300050n)150(100n)50n50(n21)2307050，当n21时y取得最大值，所以，当月租金定为4050元时，公司取得最大月收益307050元2.3.4客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是()解析由已知可得s所以，答案为B2.3.5数列an的通项公式是an，则an中数值最大的项是()(A) a8(B) a9(C) a10(D) 不存在的题2.3.5解析点(n，an)都在函数y1的图象上，该函数的定义域是x|xR且x，在(，)上单调递减且y1，又90得函数的定义域是0x当x，即x时，y最小值2.3.12某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表根据此表所给的信息进行预测：(1) 如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷?(2) 如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积可减少到90万公顷?观测时间1996年年底1997年年底1998年年底1999年年底2000年年底该地区沙漠比原有面积增加数(万公顷)0.20000.40000.60010.79991.0001解析(1) 由统计数据可知沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系近似地为一次函数ykxb，且x1时，y0.2；x2时，y0.4，则y0.2x (xN*)，所以，从1995年年底到2010年年底，沙漠面积将增加0.2153(万公顷)，于是，到2010年年底，该地区的沙漠面积约为95398(万公顷)(2) 设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由已知可得950.2x0.6(x5)90，解得x20，所以，到2015年年底，该地区沙漠面积可减少到90万公顷2.3.13某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示 图1图2(1) 写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式Pf(t)；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Qg(t)；(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)解析(1) f(t)g(t)(t150)2100(0t300)(2) f(t)g(t)于是，当0t200时，f(t)g(t)100；当2001)的长方形中截得四边形ABCD，求四边形ABCD面积S的最大值题2.3.14解析Sa12x22(1x)(ax)2x2(a1)x2，而01，即a3，则当x1时，S最大值a1；若1，即1a3，则当x时，S最大值2.3.15某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，k，规定：同意按“1”，不同意(含弃权)按“0”，令aij其中i1，2，k，且j1，2，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为()(A) a11a12a1ka21a22a2k(B) a11a21ak1a12a22ak2(C) a11a12a21a22ak1ak2(D) a11a21a12a22a1ka2k解析根据aij的定义，如果第i号同时同意第1，2号同学当选，则有ai1ai21，第i号同学是同时同意第1，2号同学当选的学生之一，可由ai1ai21表示第i号同学的这一票反之，第i号同学不是同时同意第1，2号同学当选，则ai1与ai2中至少有一个等于0，此时ai1ai20，由此可知同时同意第1，2号同学当选的人数为a11a12a21a22ak1ak2，答案为C2.3.16方程log2(x4)3x实数解的个数是()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3解析函数ylog2(x4)和y3x的图象如图所示，所以，方程log2(x4)3x有两个实数解，答案为C 题2.3.16 题2.3.172.3.17以a、b、c依次表示方程2xx1、2xx2、3xx2的解，则a、b、c的大小关系是()(A) cba(B) abc(C) acb(D) cab解析函数y2x，y3x，y1x，y2x的图象如图所示，由图可得acb，答案为C2.3.18已知x1是方程xlgx3的解，x2是方程x10x3的解，则x1x2()(A) 6(B) 3(C) 2(D) 1题2.3.18解析函数ylgx，y10x，y3x的图象如图所示，由函数ylgx的图象与函数y10x的图象关于直线yx对称得x1x23，答案为B2.3.19若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程xfg(x)0有实数解，则gf(x)不可能是()(A) x2x(B) x2x(C) x2(D) x2解析由已知得存在x0R使得f g(x0)x0成立若gf(x)x2x，则gf g(x)g(x)2g(x)，于是，gf g(x0)g(x0)2g(x0)，则g(x0)g(x0)2g(x0)，g(x0)2，矛盾，所以，答案为B2.3.20若对任意xR，不等式|x|ax恒成立，则实数a的取值范围是()(A) a1(B) |a|1(C) |a|1(D) a1解析由函数y|x|和f(x)ax的图象可得使不等式|x|ax对任意xR恒成立的a的取值范围是|a|1，答案为B2.3.21若不等式x2ax10对一切x成立，则a的最小值为()(A) 0(B) 2(C) (D) 3解析由x2ax10及x可得a，函数yx在(0，1)上单调递减，则当03若a0，则函数y|x22x1a|的图象如图所示，水平直线ya26与函数y|x22x1a|的图象有两个不同的交点，其条件为解得a3或a，所以，常数a的取值范围是a或a32.3.23使log2(x)x1成立的x的取值范围是解析函数ylog2(x)与函数yx1的图象如图所示，点(1，0)是两图象的公共点，所以此不等式的解是1x0 题2.3.23 题2.3.242.3.24(1) 关于x的不等式|x4|x1|a的解集为R，则实数a的取值范围是解析(1) 函数y|x4|x1|的图象如图所示，则使不等式|x4|x1|5(2) 不等式|x4|x1|a的解集是R，则a的取值范围是a52.3.25已知关于x的方程3x2x2loa0的两根x1，x2满足条件1x10x21，则实数a的取值范围是解析设f(x)3x2x2loa，则有即解得1a0，所以，a的取值范围是1a1的解集是解析由是锐角可得0sin、cos1，则函数f(x)(sin)x(cos)x在(，)上单调递减，而sin2cos21，于是，当xsin2cos21，所以，原不等式的解集是x|x22.3.27设x0是关于x的方程axlogax的解其中0a1，则x0，a，1的大小关系是解析若0a1，考察函数f(x)ax与f 1(x)logax的图象可知ax00，函数yx3a的图象可由yx3的图象向上平移a个单位得到，当a6时，点(2，2)在函数yx3a的图象上，考察函数yx36，yx36，y及yx的图象可知，a的取值范围是a62.3.30已知Ax|1x2，Bx|x2(a1)x10，且ABB(1) 求证：BA；(2) 求实数a的取值范围解析(1) 任取xBAB，则xA，所以，BA(2) 若B，则由(a1)240得1a3；若B，设f(x)x2(a1)x1，则方程x2(a1)x10的两根应在1，2之间，应有解得30，a1)的解的个数给出相应的结论并说明理由解析记f(x)|xa21|(x2a)，则f(x)亦即f(x)又a21，于是，函数f(x)在，(a21，)上单调递增，在上单调递减，而f(a21)0，则04(a1)25时，函数f(x)的图象与直线y4(a1)2有三个不同的交点，即原方程有三个解；若a5，则原方程有两个解；若0a5且a1，原方程有1个解2.3.32有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且ABACa，BC2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图)(1) 若希望点P到三镇距离平方和为最小，点P应位于何处?题2.3.32(2) 若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处? 解析(1) A，B，C的坐标分别为(0，)，(b，0)，(b，0)，设P(0，y)，则PA2PB2PC2(y)22(y2b2)3a2b2(a2b2)，所以，当P为ABC重心时，P到三镇距离平方和最小(2) 若PAPB，即|y|，两边平方可得y，此时y0，于是，P到三镇的最远距离s(y)若0，则函数s(y)在上单调递减，在上单调递增，所以，当y时，即PAPB，亦即点P为ABC的外心时，P到三镇的最远距离最小；若0，则函数s(y)在(，0上单调递减，在(0，)上单调递增，所以，P位于原点时它到三镇的最远距离最小2.3.33关于x的不等式(k26k14)x9(k228)x2k212k0的解集M与整数集Z满足MZ1，求常数k的取值范围解析设函数f(x)(k26k14)x9(k228)x2k212k，不等式f(x)0，k2280恒成立，于是，此抛物线开口向上，那么，即其中2k212k192(k3)210恒成立，则所以k的取值范围是k14或20的函数y2xlgx是不是闭函数?如果是，试找出a，b；如果不是，试说明理由；(2) 求使得函数f(x)k是闭函数的常数k的取值范围解析(1) 当x时，y2；当x1时，y2；当x10时，y19，所以，函数y2xlgx在(0，)既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以，它不是闭函数(2) 函数f(x)k在2，)上单调递增，如果它是闭函数，则存在两个不相等的常数a，b使得成立，即关于x的方程xk有两个不相等的根，k，亦即直线yk与曲线y(t0)有两个不同的交点，所以，0)单位的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由解析(1) f(0)1，即未用水清洗则农药的残留量不变(2) 函数f(x)应满足f(1)，函数f(x)在0，)上单调递减，函数f(x)的值域是(0，1(3) f，f，于是，f(a)f(a)2，所以，若0af(a)，即一次清洗农药的残留量小；若a2，则两种清洗方式农药的残留量相同；若a2，则f(a)，即两次清洗农药的残留量小2.3.37已知a2b21，b2c22，c2a22，则abbcca的最小值为()(A) (B) (C) (D) 解析由 解得 而abbcca(abc)2(a2b2c2)，abc可能的值是，又0，所以，abbcca的最小值是，答案为B2.3.38某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为1两街道相交的点称为格点若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(2，2)，(3，1)，(3，4)，(2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点可确定一个格点(除零售点外) 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短解析设发行站的坐标是(x，y)，则发行站到所有报刊零售点的距离之和为|x2|y2|x3|y1|x3|y4|x2|y3|x4|y5|x6|y6|2|x2|2|x3|x4|x6|y1|y2|y3|y4|y5|y6|函数2|x2|2|x3|x4|x6|在3，)上单调递增，在(，3)上单调递减，函数|y1|y2|y3|y4|y5|y6|在(，3)上递减，当3y4时，函数值为9，在(4，)上单调递增，所以，将发行站建在点(3，3)处，可使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短2.3.39如图：ABC是边长为3厘米的正三角形，D是边BC上靠近点B的三等分点，甲，乙两个质点分别从点A，D同时出发，都以1厘米/秒的速度按图示方向沿正三角形的边作匀速运动，经过时间t，两质点间的距离为s(t)(其他因素均不计)题2.3.39(1) 写出函数s(t)；(2) 求s(t)的最大值和最小值，并求出取得最大、最小值时相应t的值解析(1) 当0t2时，s(t)；当2t3时，s(t)于是，当3(k1)t3k1 (k为正整数)时，s(t)，当3k1t3k (k为正整数)时，s(t)，即s(t)其中k是正整数(2) 函数s(t)是以3为最小正周期的周期函数当0t2时，2s(t)；当2t3时，s(t)0，于是，2x1，所以，x02.4.4方程3的解是 解析由原方程得13(13x)，即332x23x10，于是，(33x1)(3x1)0，而3x0，所以，3x，x12.4.5方程2|x1|3的解集是()(A) (B)(C)(D) 解析由已知可得|x1|log23，则x1log23或x1log23，则xlog2或xlog2，答案为C2.4.6已知关于x的方程2a2x27ax130有一个解是2，求a值和方程其余的解解析由已知得x2满足2a2x27ax130，则2a27a30，所以，a或a3若a，原方程是2730，即0，于是，或3，所以，x2或x1log0.53若a3，原方程是232(x1)73x130，即(23x11)(3x13)0，3x1或3x13，所以，x1log3或x22.4.7解关于x的方程a2x1ax2ax2，其中常数a满足a0，a1解析原方程即为a2xax10，则(axa2)0，于是，axa2或axa2，所以，x2或x22.4.8已知关于x的方程a2x5ax60有且仅有一个较大的根在区间(1，2)内，求实数a的取值范围解析原方程即为(ax2)(ax3)0，则ax2或ax3，xloga2或loga3，由原方程存在根在区间(1，2)内可得a1，则应有loga21loga32，于是，loga2logaaloga3logaa2，所以，a的取值范围是2aa)?解析设目前人口数为m，x年后人均一年占有粮食b公斤，则bm(12%)xam(14%)x，所以，x2.4.11已知函数f(x)2x(1) 若f(x)2，求x的值；(2) 若2tf(2t)mf(t)0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围解析(1) f(x)由f(x)2得则(2x)222x10，解得2x1，而2x0，所以，xlog2(1)(2) 由已知得2tm0对任意t1，2恒成立此时，必有2t，于是，m22t1的任意t1，2恒成立，由1t2得1722t15，所以，m的取值范围是5，)2.4.12若关于x的方程(22|x|)22a有实根，则实数a的取值范围为()(A) a2(B) 0a2(C) 2a2(D) 1a2解析由原方程得a2，而01，所以，1a0时，01，于是，01，解得3a1，所以，实数a的取值范围为3a12.4.14方程：67x1的解集是 解析原方程为或即或当x0时7x1，(27x1)(37x1)0无解，由x0得7x0，于是，54x11，所以，x2.4.16解方程：9x4x6x解析由原方程得2520， 0，或2，所以，x或x22.4.17解方程组解析由已知可得(3x5y)(3y5x)315515，即15xy153，于是，xy3，则3x53x45，即，所以，原方程组的解是2.4.18解方程：5x1解析由原方程得(x1)log35x21，即x2xlog35(1log35)0，(x1)(x1log35)0，所以，xlog351或x12.4.19解方程：72x133x172x133x2解析由原方程得72x33x772x933x，于是，72x33x，所以，x2.4.20解方程：|2x1|22x3|2解析原方程为|2x1|(2x)(2x)|2，或 或即 或或解得2x2或2x1，所以，x0或x12.4.21设集合Ax|4x2x1a0，xR，若A为单元素集，求实数a的取值范围解析由原方程得22x22xa0，解得2x1，要使原方程只有一个实数解，则有11，解得a1，此时集合A0，或者解得a0，所以，a的取值范围是a0或a12.4.22已知关于x的方程32x1(m1)(3x11)(m3)3x0有两个不相等的实数解，求m的取值范围解析令t3x，要使原方程有两个不相等的实数根，则关于t的方程3t22mt(m1)0要有两个不相等的正数解，于是，应有所以，使原方程有两个不相等的实数解的m的取值范围是m0得t1，要使原方程有两个正实数解，则要使关于t的方程t22(a1)ta20有两个大于1的不同的解t1，t2，于是应有即所以，使得原方程有两个正数解的a的取值范围是a12.4.24若关于x的方程2a3|x1|32|x1|2a10有实数解，求实数a的取值范围解析由原方程得2a(3|x1|1)32|x1|1，则2a3|x1|12，设t3|x1|1，由|x1|0得1t0，而函数f(t)t2在(，0)上单调递减，所以，2a1(2)2，即a的取值范围是a0，所以，该方程与同解，答案为D2.4.27解方程：log(x1)(2x25x3)2解析由原方程得2x25x3(x1)2，即x23x40，解得x4或x1，经检验，x4是方程的解2.4.28解方程：lg(x211x8)lg(x1)1解析由原方程得lg(x211x8)lg10(x1)，则x211x810x10，即x2x20，解得x2或x1，经检验，x1是原方程的解2.4.29解方程(lgx)2lgx23解析由(lgx)2lgx23得(lgx)22lgx30，(lgx3)(lgx1)0，则lgx3或lgx1，所以，x1000或x2.4.30方程log2(9x5)log2(3x2)2的解是x 解析由原方程得log2(9x5)log24(3x2)，则9x543x8，即32x43x30，解得3x1或3x3，x0或x1，经检验，x1是原方程的解2.4.31方程log3xlogx42log32的解集是 解析由原方程得，当x0且x1时一定成立，所以，原方程的解集是x|x0，x12.4.32解方程：(log4x)2|log2x|20解析由原方程得|log2x|20，即|log2x|22|log2x|80，(|log2x|4)(|log2x|2)0，log2x4，所以，x16或x2.4.33解方程：log3x1解析原方程即为(logx31)(log3x)21，则2，即(log3x)2log3x20，解得log3x2或log3x1，应有log3x0，所以，经检验，x3是原方程的解2.4.34解方程：log0.5xx214log16xx340log4x0解析由原方程得0，则log2x0或0于是(log2x2)(log2x4)21(log2x1)(log2x2)10(log2x1)(log2x4)0，2(log2x)23log2x20，解得log2x2或log2x，于是x1或x或x4，经检验，它们都是原方程的解2.4.35解方程lgx2lgx43解析方程lgx2lgx43即为2lg|x|4lg|x|3，则lg|x|，|x|，所以，此方程的解是x2.4.36解方程lg(82x1)2x(1lg5)解析lg(82x1)2x(1lg5)即为lg(82x1)2xlg2，则lg(82x1)lg22x，于是有(2x)222x80，(2x4)(2x2)0，解得x22.4.37甲，乙两人解关于x的方程log2xbclogx20，甲抄错了常数b而解得方程的根为和，乙抄错了常数c而解得方程的根为和64，求原方程的根解析方程log2xbclogx20即为log2xb0，亦即为(log2x)2blog2xc0，由已知可得c6，b(log264)5，于是，原方程为(log2x)25log2x60，即(log2x2)(log2x3)0，log2x2或log2x3，解得x4或x82.4.38若关于x的方程log2(x3)log4x2a的根在区间(3，4)内，则a的取值范围为 解析由已知得alog2(x3)log2xlog2，而3x4，则12，所以，log2a1，mp0，若关于x的方程xlogaxm的解是p，则方程xaxm的解是 解析由已知可得plogapm，则logapm，所以，方程xaxm的解是xlogap2.4.40方程log2xx10的解集为 (其中x表示不超过x的最大整数)解析由已知可得log2x是整数，于是有x2k，其中k是整数如果k是非负整数，则有k2k10，解得k0或k1，x1或x2如果k是负整数，则有02k0且a21，若关于x的方程(6x2x1)(3x1)(a2)有实数解，求a的取值范围解析由原方程得 (3x1)(2x1)(3x1)(a2)，则 (2x1)(a2)，于是，|a|(2x1)a2，当a0时，x，它是原方程的解，必须解得a3，所以，使原方程有解的a的取值范围是a0且a1，若关于x的方程loga(xak)(x2a2) 有实数解，求k的取值