勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题).doc

精品文档 XX教育一对一个性化教案 授课日期 2014 年 月 日 学生姓名 许XX 教师姓名 授课时段 2h 年 级 8 学 科 数学 课 型 VIP 教学内容 勾股定理及逆定理 教 学 重 难点 重点 运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形 难点 运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题 教 学 步 骤 及 突 出 教 学 方 法 1 知识归纳 1 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 满足 那么这个三角形是直角三角形 其中为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数转化为形 来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时 可用两小边的平方和与较长边的平方作比较 若它们相等时 以 为三边的三角形是直角三角形 若 时 以 为三边的三角形是钝角三角形 若 时 以 为三边的三角形是锐角三角形 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三边长 满足 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时 不能说成 当斜边的平方等于两条直角边的平方和时 这个三角形是直角三角形 2 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 为正整数时 称 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 等 用含字母的代数式表示组勾股数 为正整数 为正整数 为正整数 题型一 应用勾股定理逆定理 判定一个三角形是否是直角三角形 例1 已知三角形的三边长为 判定是否为 分析 由勾股定理的逆定理 判断三角形是不是直角三角形 只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方 解 是直角三角形且 不是直角三角形 例2 三边长为 满足 的三角形是什么形状 解 此三角形是直角三角形 理由 且 所以此三角形是直角三角形 例3 如果 ABC的三边长分别为 a b c 且a m2 n2 b 2mn c m2 n2 m n m n是正整数 则 ABC是直角三角形吗 分析 先来判断a b c三边哪条最长 可以代m n为满足条件的特殊值来试 m 5 n 4 则a 9 b 40 c 41 c最大 解 m2 n2 2 2mn 2 m4 n4 2m2n2 4m2n2 m4 n4 2m2n2 m2 n2 2 a2 b2 c2 能成为直角三角形的三边长 题型二 勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例4 已知中 边上的中线 求证 证明 为中线 在中 例5 1 如图 在 ABC中 D是BC上一点 AB 10 BD 6 AD 8 AC 17 求 ABC的面积 2 在 ABC中 若AB 15 AC 13 高AD 12 求 ABC的周长 分析 1 根据AB 10 BD 6 AD 8 利用勾股定理的逆定理求证 ABD是直角三角形 再利用勾股定理求出CD的长 然后利用三角形面积公式即可得出答案 2 本题应分两种情况进行讨论 当 ABC为锐角三角形时 在Rt ABD和Rt ACD中 运用勾股定理可将BD和CD的长求出 两者相加即为BC的长 从而可将 ABC的周长求出 当 ABC为钝角三角形时 在Rt ABD和Rt ACD中 运用勾股定理可将BD和CD的长求出 两者相减即为BC的长 从而可将 ABC的周长求出 解 1 BD2 AD2 62 82 102 AB2 ABD是直角三角形 AD BC 在Rt ACD中 CD 15 2 分两种情况 当 ABC为锐角三角形时 在Rt ABD中 BD 9 在Rt ACD中 CD 5 BC 5 9 14 ABC的周长为 15 13 14 42 当 ABC为钝角三角形时 在Rt ABD中 BD 9 在Rt ACD中 CD 4 BC 9 5 4 ABC的周长为 15 13 4 32 当 ABC为锐角三角形时 ABC的周长为42 当 ABC为钝角三角形时 ABC的周长为32 例6 如图 在正方形ABCD中 F为DC的中点 E为BC上一点 且EC BC 求证 AF EF 思路点拨 要证AF EF 需证 AEF是直角三角形 由勾股定理的逆定性 只要证出AF2 EF2 AF2就可以了 基础练习 若 ABC的三边a b c满足条件a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判定 ABC的形状 提示 根据所给条件 只有从关于a b c的等式入手 找出a b c三边之间的关系 应用分解因式可得 a 5 2 b 12 2 c 13 2 0 求出a 5 b 12 c 13 a2 b2 c2 ABC是Rt 二 提高例题 例1 一根30米长的细绳折成3段 围成一个三角形 其中一条边的长度比较短边长7米 比较长边短1米 请你试判断这个三角形的形状 分析 若判断三角形的形状 先求三角形的三边长 设未知数列方程 求出三角形的三边长5 12 13 根据勾股定理的逆定理 由52 122 132 知三角形为直角三角形 提高练习 1 如图 在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域 我海军甲 乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A B两个基地前去拦截 六分钟后同时到达C地将其拦截 已知甲巡逻艇每小时航行120海里 乙巡逻艇每小时航行50海里 航向为北偏西40 问 甲巡逻艇的航向 2 一根24米绳子 折成三边为三个连续偶数的三角形 则三边长分别为 此三角形的形状为 3 如图 小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜 爸爸让小明计算一下土地的面积 以便计算一下产量 小明找了一卷米尺 测得AB 4米 BC 3米 CD 13米 DA 12米 又已知 B 90 三 能力培养 例1已知 如图 四边形ABCD AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 求 四边形ABCD的面积 分析 使学生掌握研究四边形的问题 通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题 本题辅助线作平行线间距离无法求解 创造3 4 5勾股数 利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离 作DE AB 连结BD 则可以证明 ABD EDB ASA DE AB 4 BE AD 3 EC EB 3 在 DEC中 3 4 5勾股数 DEC为直角三角形 DE BC 利用梯形面积公式可解 或利用三角形的面积 例2已知 如图 在 ABC中 CD是AB边上的高 且CD2 AD BD 求证 ABC是直角三角形 分析 勾股定理及逆定理的综合应用 注意条件的转化及变形 AC2 AD2 CD2 BC2 CD2 BD2 AC2 BC2 AD2 2CD2 BD2 AD2 2AD BD BD2 AD BD 2 A B2 能力训练 1 若 ABC的三边a b c 满足 a b a2 b2 c2 0 则 ABC是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 2 若 ABC的三边a b c 满足a b c 1 1 试判断 ABC的形状 3 已知 如图 四边形ABCD AB 1 BC CD AD 3 且AB BC 求 四边形ABCD的面积 4 已知 在 ABC中 ACB 90 CD AB于D 且CD2 AD BD 求证 ABC中是直角三角形 5 若 ABC的三边a b c满足a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 求 ABC的面积 6 在 ABC中 AB 13cm AC 24cm 中线BD 5cm 求证 ABC是等腰三角形 7 已知 ABC的三边为a b c 且a b 4 ab 1 c 试判定 ABC的形状 勾股定理及逆定理 测试题 一 选择题 1 在下列长度的各组线段中 能组成直角三角形的是 A 12 15 17 B 9 16 25 C 5a 12a 13a a 0 D 2 3 4 2 在 ABC中 A B C的对边分别是a b c AB 8 BC 15 CA 17 则下列结论不正确的是 A ABC是直角三角形 且AC为斜边 B ABC是直角三角形 且 ABC 90 C ABC的面积是60 D ABC是直角三角形 且 A 60 3 在 ABC中 A B C的对边分别是a b c 且a b c 1 2 则下列说法错误的是 A C 90 B c2 a2 b2 C c2 2a2 D 若a k 则c 2k k 0 4 下列定理中 没有逆定理的是 A 两直线平行 内错角相等 B 直角三角形两锐角互余 C 对顶角相等 D 同位角相等 两直线平行 5 在 ABC中 A B C的对边分别是a b c 则满足下列条件但不是直角三角形的是 A A B C B A B C 1 1 2 C a b c 4 5 6 D a2 c2 b2 6 已知a b c是三角形的三边长 如果满足 则三角形的形状是 A 底与边不相等的等腰三角形 B 等边三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形 二 填空题 7 若一三角形三边长分别为5 12 13 则这个三角形长是13的边上的高是 8 若一三角形铁皮余料的三边长为12cm 16cm 20cm 则这块三角形铁皮余料的面积为 cm2 9 木工师傅要做一个长方形桌面 做好后量得长为80cm 宽为60cm 对角线为100cm 则这个桌面 填 合格 或 不合格 10 如图1 一根电线杆高8m 为了安全起见 在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线 拉线工人发现所用线长为10 2m 不计捆缚部分 则电线杆与地面 填 垂直 或 不垂直 11 一透明的玻璃杯 从内部测得底部半径为6cm 杯深16cm 今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中 露在杯口外的长度为2cm 则这玻璃杯的形状是 体 图2 图1 B A 图3 12 写出一组全是偶数的勾股数是 13 如图3 是一个高12cm 底面半径3cm的圆柱 在圆柱下底的A点有一只蚂蚁 它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物 需要沿圆柱侧面爬行的最短路程是 14 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽 高分别为20dm 3dm 2dm A和B是这个台阶两个相对的端点 A点有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 15 如右图所示 长方形ABCD中 AB 3 AD 9 将此长方形折叠 使点B与点D重合 折痕为EF 则AE的长为 三 解答题 11题20分 12 13 14每小题10分 共50分 16 判断由下列各组线段a b c的长 能组成的三角形是不是直角三角形 并说明理由 1 a 6 5 b 7 5 c 4 2 a 11 b 60 c 61 3 a b 2 c 4 a b 2 c 17 在 ABC中 A B C的对边分别是a b c a n2 16 b 8n c n2 16 n 4 求证 C 90 18 如图3 AD 7 AB 25 BC 10 DC 26 DB 24 求四边形ABCD的面积 A B C D 图3 19 如图4 已知在 ABC中 CD AB于D AC 20 BC 15 DB 9 C A B D 图4 1 求DC的长 2 求AB的长 3 求证 ABC是直角三角形 20 在数轴上作出的点 保留痕迹 0 1 2 3 4 1 2 3 21 如图 一架2 5米长的梯子