2019-2020学年重庆市九龙坡区育才中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市九龙坡区育才中学高二上学期期中数学试题一、单选题1已知椭圆:,其焦点坐标为( )ABCD【答案】B【解析】因为椭圆:,化简为:,可得,即可求得答案.【详解】 椭圆:,化简为: 根据:可得:,故 的焦点为: .故选:B.【点睛】本题考查了求椭圆焦点坐标,解题关键是掌握椭圆方程定义和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2函数在定义域内可导,其函数图像如图所示,记的导函数为,则不等式的解集为( )ABCD【答案】C【解析】根据函数的导数为正,原函数是单调递增,结合函数图像,即可求得答案.【详解】 函数的导数为正,原函数是单调递增根据函数图像可知:在区间单调递增的. 的解集为: .故选:C.【点睛】本题考查了根据原函数图像判断导函数的正负问题,解题关键是掌握原函数是单调递增,则函数的导数为正,考查了分析能力,属于基础题.3若,则的值为( )ABCD【答案】B【解析】因为,所以,即可求得答案.【详解】 ,解得:故选:B.【点睛】本题考查了求导数值,解题关键是掌握常见函数的导数求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4如图,三棱柱中,侧面的面积是,点到侧面的距离是,则三棱柱的体积为( )ABCD【答案】C【解析】侧面的面积是,点到侧面的距离是,可得,又,即可求得三棱柱的体积.【详解】侧面的面积是,点到侧面的距离是 故选:C.【点睛】本题考查了求三棱锥体积,解题关键是掌握三棱柱体积计算公式和三棱柱特征,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.5两条异面直线,满足:与平面成角,与平面成角,则与所成角大小满足( )A或B或CD【答案】D【解析】画出其立体图像,根据异面直线夹角定义和结合已知,即可求得答案.【详解】作,当直线,在同一平面内时,图像如图:当绕旋转时,如图: 由图像可知异面直线,夹角可为,此时,夹角最大当绕旋转到如图所示位置时: 由图像可知此时与夹角为当直线在空间进行平行移动时, 直线,将成为异面直线, 此时得到异面直线,夹角的值为.综上所述, 与所成角大小满足.故选:D.【点睛】本题考查了求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义,根据条件画出其立体图像,数学结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于中档题.6已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,是边长为的等边三角形,三棱锥的体积为,则球的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】画出其立体图像,根据所给条件,求出三棱锥外接球的半径,即可求得答案.【详解】画出其立体图像,如图:设中点为 为球的直径,故点为三棱锥外接球的球心.设外接圆的圆心为 是边长为,故外接圆半径为:.故 是边长为的等边三角形 根据三角形面积公式可得: 三棱锥的体积为 根据三棱锥体积公式可得: 可得,解得:根据几何关系可知: 在中,有 根据球的表面积公式为 故选:A.【点睛】本题考查了求三棱锥外接球的表面积,解题关键是画出其几何图形,数形结合,考查了空间想象能力和计算能力,属于中等题.7记双曲线的左、右焦点分别为，为平面内一点，且线段的垂直平分线方程为，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据，可求得与；根据到直线等于和的关系，解得，从而得到渐近线方程.【详解】记为的中点，又为的中点所以为的中位线，所以由，可得故，由，得，解得，故双曲线的渐近线方程为本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解，关键是能够利用垂直关系得到焦点到直线的距离，从而构造出方程解出结果.8定义在上的函数,其导函数为,且,则不等式的解集为( )ABCD【答案】A【解析】设,结合,可得,可得是定义在的减函数,结合已知,即可求得答案.【详解】设 又则,可得是定义在的减函数.又, 可化简为:,即 故选:A.【点睛】本题考查了根据构造函数单调性解函数不等式,解题关键是掌握根据目标不等式和已知条件构造函数,在变化过程中寻找二者之间的联系,结合导数知识来求解,考查了分析能力和转化能力,属于难题.二、多选题9(多选)已知,是两条不同的直线,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是( )A若,则;B若,则;C若,则;D若,则.【答案】CD【解析】根据点线面位置关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,若,可不在直线,故A错误;对于B,若,可知上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,不一定在内,故B错误;对于C, , ,故C正确;对于D, , ,故D正确.故选:CD.【点睛】本题考查了判断点线面的位置关系,解题关键是掌握点线面基础知识和定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.10(多选)已知函数,其中正确结论的是( )A当时,函数有最大值.B对于任意的,函数一定存在最小值.C对于任意的,函数是上的增函数.D对于任意的,都有函数.【答案】BC【解析】根据函数的单调性,导数和函数的最值的关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,当时,函数,根据指数单调性可知,此时是单调增函数,故无最大值,故A错误; 对于B,对于任意的, ,易知是在单调增函数,当时, 当时, 存在 当时, ,单调递减 当时, ,单调递增 故B正确;对于C,对于任意的, 函数 , ,可得:,故函数是上的增函数.故C正确;对于D,对于任意的, 函数 , ,可得:,故函数是上的增函数.当时,可得:,故D错误.故选:BC.【点睛】本题考查了根据导数来判断函数的单调性和判断函数是否有最值,解题关键是掌握用导数求函数单调性的求法和最值的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、填空题11曲线在处的切线方程为_.【答案】.【解析】求出导函数，把代入，求出在处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，最后化为一般式方程.【详解】，而，所以切线方程为.【点睛】本题考查了利用导数求曲线切线方程.重点考查了导数的几何意义.12已知函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】因为,所以,根据函数在区间内单调递增,故在上,即可求得答案.【详解】 函数在区间内单调递增 在上,即, 令,根据对号函数可知: , 根据不等式性质可知:故答案为:【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数范围,解题关键是掌握函数的导数的求法和根据函数导数来判断函数的单调性,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.13已知抛物线:,直线过点,且与抛物线交于,两点,若线段的中点恰好为点,则直线的斜率为_.【答案】2【解析】根据点差法和中点坐标公式,结合已知条件,即可求得答案.【详解】设 ,由可得: 线段的中点恰好为点根据中点坐标公式可得: 故答案为:.【点睛】本题考查了根据直线与抛物线的中点求直线斜率,解题关键是掌握点差法和中点坐标公式,考查了计算能力,属于基础题.14若函数只有一个极值点，则k的取值范围为_.【答案】【解析】利用函数求导函数，只有一个极值点时只有一个实数解有，设新函数设，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】函数只有一个极值点，若函数只有一个极值点，只有一个实数解，则：，从而得到：，当 时，成立当时，设，当两函数相切时，此时得到的最大值，但时不成立故的取值范围为：，综上：的取值范围为：.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题15在棱长为1的正方体中,为的中点,是正方体表面上相异两点,满足,(1)若,均在平面内,则与的位置关系是_；(2)的最小值为_【答案】平行 【解析】建立空间直角坐标系,利用向量法判断出与的位置关系,再利用空间两点间距离公式、配方法可以求出的最小值.【详解】(1)以为空间直角坐标系的原点,以所在的直线为轴,如下图所示：,因为若,均在平面内,所以设,因为,所以,解得,所以与的位置关系是平行；(2)由(1)可知：当时, 有最小值,最小值为.故答案为：平行；【点睛】本题考查了利用空间向量判断两直线的位置关系,考查了利用二次函数的单调性求空间两点距离最小值问题,考查了数学运算能力.四、解答题16已知函数,其中,且的最小值为,的图像的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的解析式和单调递增区间;（2）在中,角,所对的边分别为,.且,求.【答案】（1）,单增区间为（2）【解析】（1）因为的最小值为,即可求得,因为的图像的相邻两条对称轴之间的距离为,根据正弦函数图像可知,函数的周期为:,即可求得函数的解析式和单调递增区间;（2）由余弦定理得:,结合,即可求得,进而求得.【详解】（1） 的最小值为 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为.根据正弦函数图像可知,函数的周期为:根据正弦函数最小正周期公式: ,故 ,根据正弦函数图像可知,其单调增区间为:,解得函数单增区间为:.（2）在由余弦定理得: , ,可得: 将代入得: ,可得:,即 .【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法,解题关键是掌握余弦定理和利用正弦函数的图像和性质,考查了计算能力,属于基础题.17在数列an中，已知，且2an+1=an+1（nN）（1）求证：数列an-1是等比数列；（2）若bn=nan，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）见解析;(2) 2-【解析】（1）由已知可得，2（an+1-1）=an-1，从而可证明数列an-1是等比数列；（2）由（1）可求an，进而可求bn，然后利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求解【详解】解：（1）2an+1=an+1（nN）2（an+1-1）=an-1，a1-1=且an-10，=，数列an-1是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）可得：an-1=，an=bn=nan=n，Tn=（）+（1+2+n），令An=，=+（n-1）+n，两式相减可得，=，=1-An=2-2-n=2-Tn=2-【点睛】本题主要考查了利用等比数列的定义证明等比数列，体现了转化思想的应用，还考查了等差数列的求和公式及错位相减求和方法的应用，属于中档题18已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）已知，证明.【答案】（1）当时，函数在区间单调递增，单调递减；（2）；（3）证明过程见解析【解析】（1）先求函数的定义域，再求导数，分别令和即可求出单调性；（2）分离变量得恒成立，转化为求的最大值，然后求导数判断的单调性即可求出的最大值，从而求得结果；（3）对两边取对数，化简变形可得，由（2）可知在上单调递减，结合条件即可证明.【详解】由题意可知，函数的定义域为：且.（1）当时，若，则 ； 若，则 ，所以函数在区间单调递增，单调递减.（2）若恒成立，则恒成立，又因为，所以分离变量得恒成立，设，则，所以，当时，；当时，即函数在上单调递增，在上单调递减.当时，函数取最大值，所以.（3）欲证，两边取对数，只需证明，只需证明，即只需证明，由（2）可知在上单调递减，且，所以，命题得证.【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，以及利用导数研究不等式恒成立问题和证明不等式，考查了学生的计算能力和逻辑推理能力，属难题.19如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面侧面,楔面是边长为2的正三角形,点在侧面的射影是矩形的中心,点在上,且（1）证明：平面；（2）求楔面与侧面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）做辅助线连接交于,连接,.根据平面,得到平面平面,又平面平面,则平面平面,利用勾股定理计算出,再根据,得,则可证得平面.（2）法一：向量法：建立如图所示的空间直角坐标系,列出各点的坐标求出向量,.求出两个平面的法向量,利用余弦公式即可求出楔面与侧面所成二面角的余弦值.法二：几何法：取的中点,连接,.即为楔面与侧面所成二面角的平面角.求出、各边长度,即可求出,则得到楔面与侧面所成二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：如图,连接交于,连接,.则是的中点,.因为平面,所以平面平面,又平面平面,所以平面平面,根据题意,四边形和是全等的直角梯形,三角形和是全等的等腰直角三角形,所以,.在直角三角形中,所以,于是,所以,.因为平面,所以平面.（2）法一：向量法：以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设平面的一个法向量为,则,取,平面的一个法向量为,所以,所以楔面与侧面所成二面角的余弦值为.法二：几何法：如图,取的中点,连接,.即为楔面与侧面所成二面角的平面角.在直角三角形中,所以,所以楔面与侧面所成二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明和二面角的余弦值,向量法和几何法都可以灵活应用.20已知函数,曲线与在点处有相同的切线.（1）求、的值;（2）求函数的极值;（3）证明:.【答案】（1）,（2）（3）答案见解析【解析】（1）,因为曲线与在点处有相同的切线,即可求得答案;（2）因为,可得,根据极值定义,即可求得答案;（3）,由,得,因为,所以原问题即证:,即可求得答案.【详解】（1）, 曲线与在点处有相同的切线 ,即 ,（2） 由（1） 当;当,当,故在处取得极小值,极小值为: （3） ,.由,得 , 原问题即证:令, , 当时,当时, 的单调递减区间为,单调递减区间为, 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.21已知椭圆:,过椭圆右焦点的最短弦长是,且点在椭圆上.（1）求该椭圆的标准方程;（2）设动点满足:,其中,是椭圆上的点,直线与直线的斜率之积为,求点的轨迹方程并判断是否存在两个定点、,使得为定值？若存在,求出定值;若不存在,说明理由.【答案】（1）（2）答案见解析【