2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期4月月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期4月月考数学（文）试题一、单选题1设为虚数单位，则复数的虚部为（ ）A2B-2CD【答案】A【解析】化简复数，在确定复数的虚部.【详解】解：由题意，所以虚部是2.故选: A【点睛】本题考查复数的虚部，注意复数的虚部是虚部单位前的实数.2若命题，则（ ）ABCD【答案】D【解析】将量词改为“存在”，将结论否定当结论由此得到原命题的否定.【详解】解：由全称命题的否定方法得：命题的否定是.故选：D【点睛】本题考查了全称命题的否定方法，属于基础题.3曲线在点处的切线的斜率为（ ）A0B-1C1D【答案】B【解析】先求函数的导数，因为曲线在点处的切线的斜率为函数在处的导数，即可求出切线的斜率.【详解】解：因为，所以.所以曲线在点处的切线的斜率为-1.故选：B【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属于综合题.4抛物线上点到轴的距离为3，则点到抛物线焦点的距离为（ ）A2B3C4D【答案】C【解析】点 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点 到抛物线的准线的距离为 ，从而得到结论【详解】解：因为抛物线的标准方程为，所以抛物线的准线方程为： 又因为点到轴的距离为3，所以点到准线的距离为根据抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，体现了转化的数学思想，利用抛物线的定义是解题的关键.5已知实数满足，且，则的最大值为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】利用，去绝对值可得范围，运用不等式加法运算法则可得取值范围，进而可得的范围，便可求出的最大值.【详解】解：因为，,所以 ，所以，由不等式加法运算法则可得： ，所以.故的最大值为2.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式加法运算法则，属于基础题.6已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是（ ）A与正相关，与负相关B与正相关，与正相关C与负相关，与负相关D与负相关，与正相关【答案】C【解析】根据相关系数的符号判断相关性，又由变量与正相关，分析可得与的相关性，即可得答案.【详解】解：根据题意，变量和满足关系，其相关系数为，所以与负相关；又由变量与正相关，则与负相关；故选：C【点睛】本题考查由线性回归方程，正确理解相关系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键.7已知函数，则（ ）A在上递增B在上递增C在上递减D在上递减【答案】A【解析】先对函数进行求导，根据时原函数单调递增，时原函数单调递减可得答案.【详解】解：依题意，当 时，函数单调递增；当时，函数单调递减.对照选项可知：函数在上递增.故选：A.【点睛】本题主要考查根据函数的导数值的正负判断原函数的单调性的问题,属于基础题.8若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能可得必要性不成立.详解：由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.9曲线与曲线的（ ）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等【答案】D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断.【详解】解：曲线表示焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 .曲线表示焦点在轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为.对照选项可知：焦距相等.故选：D.【点睛】本题考查椭圆方程和性质，考查运算能力，属于基础题.10某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）A2BCD3【答案】C【解析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高即可.【详解】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，直观图体积为： ，解得 .故选：C.【点睛】本题考查由三视图求立体图形体积问题，属于基础题.11已知双曲线的上焦点为是双曲线虚轴的一个端点，过的直线交双曲线的下支于点，若为的中点，且，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】求出点以及的坐标，利用已知条件求出方程，转化求解即可.【详解】解：由题中条件可知：，根据双曲线性质可得： ，解得 ， .所以双曲线的方程为.故选：B.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质应用，属于中档题.12若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，可得在区间上有解，且不是重解，构造函数，求导函数，确定函数的值域，即可求出的取值范围.【详解】解：因为函数在区间上不是单调函数，所以在区间上有解，且不是重解.即可得，令，则，当时，函数单调递增.故的值域为.故选：A.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查分析解决问题的能力，正确运用导数求函数值域时关键.二、填空题13已知双曲线的一条渐近线是，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】因为双曲线的一条渐近线是所以,故答案为： 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.14已知实数满足，则的最大值为_.【答案】【解析】由题意可得，即可求出的最大值.【详解】解：因为，所以，当且仅当时，取等号，此时有最大值为.所以的最大值为 .故答案为：.【点睛】本题考查运用基本不等式求最值问题，属于基础题.三、解答题15设复数（其中为虚数单位），则_.【答案】【解析】利用复数乘法运算化简，再用公式计算.【详解】解：因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算和计算模长，属于基础题.16十三届全国人大二次会议于2019年3月5日在京召开.为了了解某校大学生对两会的关注程度，学校媒体在开幕后的第二天，从学生中随机抽取了180人，对是否收看2019年两会开幕会情况进行了问卷调查，统计数据得到列联表如下：收看没收看合计男生40女生3060合计（1）请完成列联表；（2）根据上表说明，能否有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关？（结果精确到0.001）附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）详见解析（2）没有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关【解析】(1)根据表格给出的数据进行完善表格即可；(2)由（1）中数据代入公式，求出观测值进行判断，即可得出结论.【详解】（1）收看没收看合计男生8040120女生303060合计11070180（2），所以没有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关.【点睛】本题主要考查独立性检验问题，求出观测值进行判断是解决本题的关键.17据气象局统计，某市2019年从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气.国际上通常用环境空气质量指数（AQI）来描述污染状况，下表是某气象观测点记录的连续4天里，该市AQI指数与当天的空气水平可见度的情况.AQI指数900700300100空气水平可见度0.53.56.59.5（1）设，根据表中的数据，求出关于的回归方程；（2）若某天该市AQT指数，那么当天空气水平可见度大约为多少？附：参考数据：，.参考公式：线性回归力程中，其中为样本平均数.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意求出代入中得值，再由计算出 即可求出关于的回归方程；（2）把，代入线性回归方程中即可.【详解】（1）依题意有：，于是：，故：关于的线性回归方程为.（2）当时，【点睛】本题考查求线性回归方程和用线性回归方程解决实际问题，属于基础题.18如图，在正三棱柱中，分别为，的中点（）求证：平面；（）求三棱锥的体积【答案】（）见解析（）【解析】（）取的中点，连结，由三角形性质得且，结合已知得到且，则四边形为平行四边形，可得，再由线面平行的判定可得平面；（）设为的中点，由已知得到平面，然后利用等积法求三棱锥的体积【详解】（）证明：取的中点，连结，在中，、分别为，的中点，且，又为的中点，且，即且，故四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；（）解：设为的中点，棱柱底面是正三角形，有，又因为为正三角形，且为的中点，所以,又由正三棱柱，所以平面平面，由面面垂直的性质定理可得平面，即三棱锥的高为，所以【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明，以及利用等体积法七届多面体的体积问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及合理利用等体积法求解体积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题19记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1);(2)6.【解析】分析：()由相似椭圆的定义可得，椭圆的离心率，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，于是可得，从而可得椭圆的方程；()设直线 .由得，利用判别式为零可得，联立与，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得.详解：()由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，椭圆的方程为. ()当直线的斜率存在时，设直线 .由得，.令得，.联立与，化简得.设A()，B()，则，而原点O到直线的距离.当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，.综上所述，的面积为定值6. 点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）若对任意的，函数的图像恒在轴上方，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，求出，由得：，对导函数值进行分析，从表格中可得函数的极小值；（2）根据题意转化为恒成立，再对实数讨论，判断函数的单调性求出函数的最小值，解出实数的取值范围，或运用参变分离的方法求实数的取值范围.【详解】（1）定义域为.当时，.令得：，且导函数在附近函数值正负分布如下表：-0+单调递减极小值单调递增则函数的极小值为.（2）依题意有：在恒成立，即，由于，故.当时，在上单调递增，则满足条件.当时，在上单调递减，在单调递增，则，即，即，解得：，此时：，综上：的取值范围是：.方法二：参变分离法，即记，则，令，则在小于0，在大于0，于是：在单调递减，在单调递增，故：，于是，综上：的取值范围是：.【点睛】本题考查应用导数研究函数单调性、最值问题，属于中档题.21在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的普通方程及圆的极坐标方程；（2）若直线与圆交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由直线的参数方程消去参数能求出其普通方程，由此能求出直线的极坐标方程；将代入圆的方程，能求出圆的极坐标方程；（2）求出圆心到直线的距离为和弦长，再由余弦定理求出的值.【详解】解：（1）由直线的参数方程得，其普通方程为，即.又圆的方程为，将代入并化简得，圆的极坐标方程为.（2）圆心到直线的距离为，则弦长，在中，.【点睛】本题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查角的余弦值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.22已知函数