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文档简介

矩阵分析与计算 参考书目 矩阵计算的理论与方法 徐树方 矩阵分析 horn R A和Johnson C R等 矩阵论 方保镕等 矩阵计算与应用 胡茂林 矩阵论 程云鹏 矩阵理论与方法 魏洪增 酉空间与Householder变换 1 1酉空间的定义 1 2酉空间的有关概念 1 3欧氏空间与酉空间的比较 欧氏空间与酉空间相比 基础数域由实数域变成了复数域 内积的对称性变成了共轭对称性 因此 欧氏空间的结构与酉空间的结构是不相同的 但酉空间的内积近似于欧氏空间的内积 这样 酉空间有与欧氏空间平行的一套理论 学习过程中应注意相近但又不完全相同的地方 见下表 定理3正规矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交 证明留作习题 2 Householder矩阵 定义2设为单位向量 则称矩阵为Householder矩阵 或称为Householder变换 记作H 即 2 1定义 2 2Householder矩阵的性质 Householder矩阵H是酉矩阵 即证明略 2 若H是Householder矩阵 则 证明略 3 Householder矩阵仅有两个不同特征值 1和1 其中1是n 1重的 1是单重的 而且w是属于特征值 1的单位特征向量 证明1 Householder矩阵的特征多项式为所以 1是矩阵的n 1重特征值 1是矩阵的单特征值 又因为 故w是属于特征值 1的单位特征向量 注意在以上证明中使用了行列式的性质 若 是 矩阵 是 矩阵 且 则 证明2 将单位向量 所以 是n 1重的 1是单重的 而且w是属于特征值 1的单位特征向量 若 是虚数 则 取 或 故 并选择正负号 使 由性质 4 有Householder矩阵 使 6 设 是n阶Householder矩阵 则 均为Householder矩阵 证明 设 其中 即 为单位向量 则 问题 若H与S均为Householder矩阵 是否为Householder矩阵 请同学们思考 问矩阵 例4设 求Householder矩阵 及实数 使 使 思考题 若A是m n复矩阵 是否可用一系列House
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