变式教学的涵义变式是指相对于某种范式即数学教材中.ppt

变式在数学教学中的运用 一 变式教学的涵义 变式是指相对于某种范式 即数学教材中具体的数学思维成果 含基本知识 知识结构 典型问题 思维模式等 的变化形式 就是不断变更问题的情境或改变思维的角度 在保持事物的本质不变的情况下 使事物的非本质的属性不断的迁移的变化方式 变式有多种形式 如 形式变式 内容变式 方法变式 等 变式是模仿与创新的中介 是创新的重要途径 变式既是一种重要的思想方法 又是一种重要的教学途径 通过变式方式进行技能和思维的训练叫做变式训练 采用变式方式进行教学叫做变式教学 变式教学要求在课堂上通过变式展示知识的发生 发展 形成完整的认知过程 因此变式教学有利于培养学生研究探索问题的能力 是 三基 教学 思维训练和能力培养的重要途径 所谓数学变式训练 即是指在数学教学过程中对概念 性质 定理 公式 以及问题从不同角度 不同层次 不同情形 不同背景做出有效的变化 使其条件或形式发生变化 而本质特征却不变 在解题教学的思维训练中 变式是一种很有效的方法 通过改变条件 可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析 通过改变结论等培养学生推理 探索的思维能力 让现实生活中的问题再次成为数学知识的载体 利用方程思想 数形结合思想来研究数量之间的关系 从而提高学生解决实际问题的能力 并获得成功体验 再次感受与人合作 并与他人交流思维的过程 通过观察 操作 推理 想象等探索过程 提高学生分析问题和解决问题的能力 变式教学是数学教学过程中提高质量的重要手段之一 目前在数学教学中仍然存在 题海战术 的现象 如何减轻学生过重的课业负担已经成为我们数学教师的当务之及 如果教师能在教学过程中了解教育信息 更新教育观念 改革教学方法 积极优化备课 采用变式教学 引导学生对问题进行灵活变换 可使学生触类旁通 提高学生分析问题 归纳问题和解决问题的能力 进而减轻学生负担 大面积地提高数学教学质量 事实上 中考试题的编制很多是课本例题习题的延伸和拓展 与一些基本图形及其相关结论存在着一定的关系 课本中的例题 习题都是经过专家精心挑选保留下来的 具有较强的示范性 知识性和可变性 通过对其挖掘 再纵向拓展 横向联系 就会构造出一些 源于课本 而又高于课本 的好题 深刻领会这些基本图形可以提升解决问题的思维起点 就是说有许多题目可以从同一问题演变而来 其思维方式和所运用的知识完全相同 不仅能疏通知识之间的联系 而且对培养学生的品质 拓宽学生的解题思路 提高整体解题水平具有十分重要的作用 在数学的例题教学中 作为教师要结合教材内容和学生实际情况 通过一题多思 一题多变 一题多解 开拓题型 题设和结论 挖掘习题的内在联系 探索变式教学 二 变式教学的基本内容变式教学的基本内容包括知识形成过程中的问题设计 基本概念辨析型变式 定理公式的深化变式 多证变式和变式应用 例题习题的一题多解 一法多用 一题多变 多题归一 教法学法的切换等 一 变式教学法对新概念教学的促进作用 概念 在数学课中的比例较大 初中数学教学又往往是从新概念入手 能否正确理解概念 是学生学好数学的关键 概念教学有其特殊性 它不仅要求学生要识记其内容 明确与它相关知识的内在联系 还要能灵活运用它来解决相关的实际问题 概念往往比较的抽象 从初中生心理发展程度来看 他们对这些枯燥的东西 学习起来往往是索然无味 对抽象的概念的理解很困难 有些学生虽然能背熟定义 公式 但对概念的理解却十分肤浅 这些学生利用所学知识解题时 常常发生错误 为了能使学生牢固地掌握概念的本质属性 确定概念的内涵和外延 在讲清每个概念的来龙去脉后 教师还应该适当地采用变式训练 这样能有效的解决这一难题 使学生度过难关 通过变式或前后知识对比 或联系实际情况或创设思维障碍情境 来散发学生学习兴趣 变枯燥的东西为乐趣 对于初中低年级学生 开始实行变式教学时应注意 变 的程度不宜过大 概括本质特征也应注意从易到难 从简到繁 例如 讲授科学记数法 可通过难易程度不同的例子让他们自己来概括其中的本质特征 例如讲授科学记数法 可通过难易程度不同的例子让他们自己来概括其中的本质特征 1 800 8 8000 8 80000 8 8000000 8 800000000 8 2 35670 3 567 356700 3 567 3567000 3 567 3567 3 567 356 7 3 567 学生有了一定基础后 可以增加有关a n为负数的形式 学生从 1 中容易发现规律 而从 2 中也容易发现类似 1 中的规律 引导学生分析比较两者的异同点 从中找出相同之处 这就是问题的 本质特征 再引导学生自己用简洁的言语概括出来 1 科学记数法的形式为 a 10n 1 a 10 n为正整数 2 用科学计数法表示一个数A的方法是通过改变小数点位置将A变成a 使a成为一个只有一位整数数位的数 同时去掉最后的0 再取n等于A中整数位数减去1 最后得 1 中式子即可 本质特征必须引导学生自己来归纳总结 这样他们对有关数学问题的理解程度就必然会加深 在实际运用时也就不易出现概念性的错误 变式教学方式不仅可让学生在概括本质特征方面得到锻炼 在巩固已学过的数学知识方面也可让学生受益 如 在讲授近似数与有效数字的概念后 让学生练习类似 说出下列各近似数的精确度和有效数字个数230 23 0 2 30 203 0 3 2 03 0 23 0 023 0 02033 567 8 8万8 15万的题目 依照概念要求去寻找规律 以达到加深概念理解的目的 又如在学习 正数 与 负数 前 教师先提出 某地气候 白天最高气温为10 夜晚最高气温为零下10 问昼夜最高温度一样吗 学完这节课后你就能回答这个问题了 这样激发了学生的好奇心和求知欲 便能产生 乐学 的氛围 这样对新概念撑握则通过变式使之内化并上升为能力 再例如 学习了 梯形 和 等腰梯形 的定义后 提出 1 有一组对边平行的四边形是梯形吗 2 一组对边平行加一组对边相等的四边形是等腰梯形吗 通过反例变式进行反面刺激 使学生更明确的理解和掌握 梯形 等腰梯形 平行四边形 等概念 再例如在学习了 绝对值 的概念后 为了让学生进一步理解绝对值的概念 首先应让学生理解绝对值的几何意义 一个数a的绝对值就是在数轴上表示数a的点与原点的距离 其次 应让学生理解绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 零的绝对值是零 第三 绝对值的数学符号表达式 a a a O a a a 0 a 0 a 0 下列变式例题可以考察绝对值的概念 例题 判断下列语句是否正确 没有绝对值是一3的数 绝对值是它本身的数是0 任何有理数的绝对值都是正数 0是绝对值最小的数 如果两个有理数不相等 那么这两个数的绝对值也不相等 任何有理数的绝对值都大于它本身 二 例题习题的变式教学 例题 习题教学是数学教学的重要组成部分 在目前的例题 习题教学中 由于教学任务紧 教学内容多 教师往往把例题草率处理 这样做使得学生偏重记忆一些方法和发展一些具体技能 而不是高层次的数学思考 数学新课程标准 指出 学生的数学学习内容应当是现实的 有意义的 富有挑战性的 这些内容要有利于学生主动地进行观察 实验 猜测 验证 推理与交流等数学活动 因此 在例题 习题教学中 当学生获得某种基本解法后 教师应引导学生发掘例 习题的潜在因素 通过改变题目的条件 探求题目的结论 改变情境等多种途径 强化学生对知识和方法的理解 帮助他们对问题进行多角度 多层次的思考 在日常教学中对部分习题通过 变变图形 变变数据 变变文字 等手段 不仅对一些综合题铺设了适当的台阶 降低了它们的难度 也使学生掌握了学习知识的方法 而且训练了学生的思维能力 培养了创新精神 一 变变文字 丰富思维用方程思想解决文字题 应用题一直是低年级学生感到特别困惑的问题 初中教师在教学中经常为有些低年级学生 熟练而顽固 地运用算式求解感到哭笑不得 变式训练在教学中的运用使这类问题 特别是应用题 的求解既充满乐趣又富有挑战 极大地调动了学生对数学知识 方法学习的迫求心情 例1 小杰和小丽在400米的环形跑道上比赛 小杰的速度是每分钟360米 小丽的速度是每分钟320米 如果两人同时同地反向出发 问几分钟后两人再次相遇 这是一个非常常见的 相遇问题 大部分的学生在思考之后就能轻易地找到解决方法 在课堂教学中 教师通过 变变文字 的方法 再次使问题富有争议 值得学生探讨 变式1 小杰和小丽在400米的环形跑道上比赛 小杰的速度是每分钟360米 小丽的速度是每分钟320米 如果两人同时同地同向出发 问几分钟后两人再次相遇 变式2 小杰和小丽在400米的环形跑道上比赛 小杰的速度是每分钟360米 小丽的速度是每分钟320米 如果两人同时同地同向出发 问几分钟后两人第二次相距100米 本组例题的训练使学生对行程问题中的数量关系更清晰 思维训练更丰富 基本达到了使低年级学生理解用方程思想处理应用问题的要求 下面是初一上册P119页的引例 是研究一项公益事业 希望工程 义演中所包含的数学 例2 某文艺团体为 希望工程 募捐组织了一场义演 共售出1000张票 筹得票款6950元 已知成人票每张8元 学生票每张5元 想一想 在以上提供的信息中 有哪些已知量 哪些未知量 这些已知量与未知量之间包含哪些等量关系 已知量 成人票单价 学生票单价 售出的总票数 筹得的总票款 未知量 成本票数 学生票数 成人票款 学生票款 已知量与未知量之间的等量关系 成人票数 学生票数 1000张 成人票款 学生票款 6950元 8元 成人票数 成人票款 5元 学生票数 学生票款 解决问题的方法 能求出这个问题中的四个未知量吗 选用其中的一个未知量设为X 试一试 解 设售出的学生票为X张 则成人票为 1000 X 张 学生票款5X元 成人票款8 1000 X 元 根据等量关系得方程 5X 8 1000 X 6950解得 X 350 2 设所得学生票款为Y元 则得 学生票数张 成人票数张 学生票款Y元 成人票款 6950 Y 元根据等量关系得 1000解得Y 1750 同样可获得 1 的结果 变式题1将开始的实际问题中的 共售1000张票 改为 成人票比学生票多300张 成人票与学生票各售出多少张 变式题2课本P120想一想 如果票价不变 那么售出1000张票所的票款可能是6930元吗 为什么 变式题3在开始的 希望工程 义演的问题中 如果票价和售出的总票数都不变 所得票款可能是6932元呢 如果可能 成人票比学生票多售出多少张 对于上面这类问题 无论是改变已知条件 还是改变问题的结论 我们只须抓住它的基本的数量关系都可以用一元一次方程给予解决 但在解决实际问题时一定要注意所求的解必须要符合实际意义 希望工程 义演问题的解决方法我们可以运用到许多地方上去 例如 A B两地相距60km 甲骑自行车从A地出发去B地 每小时走15km 乙骑车从B地出发去A地 每小时走30km 相向而行 多少小时后两车相遇 由于两车行走情形有同时出发和不同时出发 有相向而行 背向而行和同向而行 行程问题有时也可以作工程问题 根据这些不同的情形 当两车的速度和A B两地的距离不变时 我们可变换出如下各题 1 甲先骑车20分钟 相向而行 乙骑出几小时两车相遇 2 甲 乙同时出发背向而行 几小时后两车相距120km 3 甲 乙两人同时出发 同向而行 乙在甲的后面 多少小时甲追上乙 4 甲先出发1小时 同向而行 乙在甲的后面 至C地而乙先到1小时 求AC两地的距离 5 一批零件60只 甲工人每小时可做15只 乙工人每小时做30只 甲先单独做一小时后 两人合做几小时才能把零件做完 通过讨论 启迪学生的思维 开拓解题思路 在此基础上让学生通过多次训练 既增长了知识 又培养了思维能力 教师在教学过程中 不能只重视计算结果 要针对教学的重难点 精心设计有层次 有坡度 要求明确 题型多变的练习题让学生通过训练不断探索解题的捷径 使思维的广阔性得到不断发展 要通过多次的渐进式的拓展训练 使学生进入广阔思维的佳境 多题一解 通过变式让学生概括基本规律 培养学生求同存异的思维能力 初中低年级数学中的几何知识的学习是培养学生观察能力 空间想象能力 逻辑思维能力的重要载体 学生对图形的认识能力也是由具体到抽象 由简单到复杂过渡的 教师如果能在教学中把有些习题的图形加以变化 借助变化来反映图形的空间形状及位置关系 让图形动起来 引导学生去思考探讨许多数学习题看似不同 但它们的内在本质 或者说是解题的思路 方法是一样的 这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集 比较 引导学生寻求通法通解 并让学生自己感悟它们之间的内在联系 形成数学思想方法 那么可以使学生真正掌握知识之间的内在联系 例一 如图1 AB CD 点P是直线AB和CD所在平面内一点 试讨论 ABP BPD PDC之间的关系 解略 学生在教师的指导启发下 通过讨论 可以利用添加不同的辅助线达到题目考察的目的 为了使学生能更进一步对图形及相关知识做到灵活使用 触类旁通 变式训练 变变图形 将大显身手 如果将点P移动到如下三种不同位置 图2 图4 同样讨论 ABP BPD PDC之间的关系 在学生切实掌握了上述图形问题的讨论后 再作如下变式 变式 如图 AB CD 1 115 2 140 求 3的度数由DB FG EC 可得 BAC BAG CAG DBA ACE 60 36 96 由AP平分 BAC得 CAP BAC 96 48 由FG EC得 GAC ACE 36 PAG 48 36 12 答案 12 再变式 判断如图 AB CD 那么 B F D E G 过点E F G分别画EP AB PQ AB GM AB 则AB EP FQ GM CD B 1 3 2 4 5 D 6 B 3 4 D 1 2 5 6 即 B EFG D BEF FG D 答案 变式延伸 三个正方形连成如图所示的图形则x 此题有多种解法 其中有一种可以把图形看做上题的变式 结合正方形的性质 做对角线 过两正方形的公共顶点作平行线 可求x 一题多解 已知 如图 AB CD 请你观察 E B D之间有什么关系 并证明你所得的结论 让学生展示多种方法 开拓视野 本组习题通过把图形中的某些点移动 培养学生运动哲学观点 把图形由静态变为动态 创设了在运动中探索规律的情景 对培养学生创新意识能起一定的作用 例二已知 如图 ABC的高AD 80mm BC 120mm 四边形PQMN是正方形 求正方形PQMN的边长 义教版几何第二册P243例5 习题评价 这是一道好题 考察相似三角形的运用 培养学生综合运用数学知识解决问题的能力 教学时可以引导学生对问题作进一步的探究 探究1 在引导学生分析解决此题目之前 我做了一个小小的铺垫 如图2 在中 ABC AD BC PN BC PN 4 BC 12 求在探究1的基础上 我引导学生做如下改动 平移PN 保持PN BC 且点P不与A B重合 分别过P N作PQ BC于Q NM BC于M BC 120mm 高AD 80mm 当四边形PQMN为正方形时 求PN的长 即引出原题目 此时 学生以四人活动小组为单位 合作交流 共同尝试解决问题 学生讨论发现 探究一的解答方法在此仍成立 要解决这道题 关键是要想办法找到AE与PN的关系 学生马上由题意得出 PN PQ ED 从而得到 AE AD ED AD PN 问题解决 为了让学生更好的运用掌握好相似三角形的性质 在此题基础上引导学生反思 通过一些变式训练 从而把培养学生分析问题和解决问题的能力落到实处 从特殊到一般 对学生进行初步变式训练在此阶段 通过 特殊的正方形变为一般的矩形 这个变式训练 进一步培养学生合作交流 勇于探索的精神 变式一 如图3 ABC是一块铁皮 边BC 12cm 高AD 8cm 要用它裁出一个矩形铁皮 能否使矩形的周长为20cm 或在 ABC内并排两个相等的正方形 若能 求出怎样裁 若不能 说明理由 分析 此题是将原有的正方形换成长方形 关键仍是找出AE与PQ间的数量关系 设PN xcm 则PQ 10 x cm 即ED PQ 10 x cm AE 8 10 x x 2 cm 再由 APN ABC 得出AE AD PN BC 解出x的值 变式一是通过 正方形换成长方形 这个条件的改变 让学生体会特殊到一般的过程 让题目更具有一般性 在此基础上 通过进一步变式训练 不仅可以提高训练效果 还可以让学生充分体验发现问题探索问题的乐趣 养成严谨求实的科学态度 进一步变式训练 优化学生思维 培养学生分析问题和解决问题的能力变式二 ABC是一块铁皮 BAC 90 AB 3cm AC 4cm 要把它加工成一个正方形零件 使正方形的一边在BC上 其余两个顶点分别在AB和AC上 如图 求加工成的正方形铁片PQMN的边长 教师在课堂教学中 要留给学生自主交流的时间和空间 让学生在自主交流中 相互合作 相互启发 相互借鉴 相互补充 共同提高 通过合作学习 学生的交往会更丰富 交流的面会更广 更有利于发现其他同学思维的闪光点 接下来 教师再利用一个合作探究的变式 进一步培养和提高学生分析问题和解决实际问题的能力 变式三 直角三角形的铁片 ABC的两条直角边BC AB的长分别为3cm和4cm 如图5 用甲 乙两种方法 剪出一块正方形铁皮 为使剪去正方形铁皮后剩下的边角料较多 试比较哪一种剪法较合理 并说明理由 甲乙 图5 变式四 如图5 有一块三角形木板ABC 底BC 50cm 高AD 35cm 现要以BC边为矩形的长制作一矩形材料 要使矩形的面积最大 那么矩形的长与宽各是多少接下来 引导学生回顾这几道实际问题 思考它们之间的联系 并试着总结解决它们的通法 学生讨论得出 这几个问题都是利用相似三角形对应边的比等于相似比 对应高的比也等于相似比这个性质来解决的 通过对课本习题的演变 培养了学生在复杂图形中寻找基本图形的能力 本题的基本图形就是三角形中有一个内接矩形 当出现这种情况时 一般都要做出三角形一边上的高 然后利用相似三角形对应高的比等于相似比来解题 起到了触类旁通 举一反三的作用 在教学时 若能抓住一些典型例题 习题 典型图形围绕有关的知识和技能进行多方面的演变练习 不仅能使学生获得较系统的数学知识 而且可以培养学生灵活运用知识的能力和综合解决问题的能力 例三已知 如图3 C为线段AB上的一点 ACM CBN是等边三角边 求证 AN BM 课本习题 在学习了全等三角形 大多数学生都能完成这道题的证明 但大多数学生完成了本题的证明后 就不再深入地思考还能得到怎样的结论 如果在原题的基础上进一步设问 根据现有图形 你还可证哪些三角形是全等的 试写出证明过程 若连结FG还能得出什么结论 这样 原命题就改变成为一道开放性问题 经过努力 多数学生还是能够证得 ACF MCG VCF BCG 等还可 在完成了这道开放性探索性问题后 学生既锻炼了思维 又有了探求事物成功的愉悦感觉 变式一如图 DAC和 EBC均为等边三角形 AE BD交于O点 且分别与CD CE交于M N 则系列结论 AE BD CM CN AOB 120 CO平分AOB 期中正确的有 A1B2C3D4 变式二 图形位置变化 如图 ABC和 ECD都是等边三角形 求证 AD BE变式三 图形位置变化 如图 3 已知 ABC和 CDE都是等边三角形 AD BE交于点F 则 AFB等于 60 变式四已知 如图 在四边形ABCD中 E为AB上一点 ADE和 BCE都是等边三角形 AB BC CD DA的中点分别为P Q M N 试判断四边形PQMN为怎样的四边形 并证明你的结论 提示 连结AC和CD 首先利用中位线定理和平行四边形判定定理 证明四边形PQMN为平行四边形 然后证明 AEC DEB 得到AC BD 再证明 PQMN为菱形 变式五 三角形变正方形 如图 分别以ABC的边AB AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG 连接CE BG 求证BG CE变式六 三角形变正方形 如图 有公共顶点的两个正方形ABCD BEFG 连接AG EC 求证AG EC 变式七 如图 P是正方形ABCD内一点 ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP 重合 若PB 3 求PP 变式八如图1 图2 图3 在 ABC中 分别以AB AC为边 向外作正三角形 正四边形 正五边形 BE CD相交于点O 如图1 求证 ABE ADC 探究 如图1 BOC 如图2 BOC 如图3 BOC 2 如图4 已知 AB AD是以AB为边向 ABC外所作正n边形的一组邻边 AC AE是以AC为边向 ABC外所作正n边形的一组邻边 BE CD的延长相交于点O 猜想 如图4 BOC 用含n的式子表示 根据图4证明你的猜想 上述例题从两个等边三角形组成的基本图形入手 逐步深入 先简单的变换位置 探讨结论 到把三角形变为正方形 到正多边形 由简到繁 由易到难 层层深入 但基本解题思路没变 让学生在不知不觉中开阔思维 提高解决问题的能力 中考几何试题的编制 很多是课本习题的延伸和拓展变式 与一些基本图形及相关结论存在着一定关系 深刻领会这些基本图形 可以提升解决问题的思维起点 有效简洁的解决问题 下面以两个堪称经典的基本图形为例来说明 例五 初三课本总复习 如图 在等边三角形EFG的三个顶点分别在等边三角形ABC的三边上 求证 AE BF CG 证明略 相关结论 三角形AEG BFG CGF都全等 三角形EFG与三角形ABC相似 变式一 在等边三角形ABC的三边上 分别取点E F G 使AE BF CG 条件结论交换 求证 三角形EFG是等边三角形 第14题图 变式二 08年临沂市 如图 已知正三角形ABC的边长为1 E F G分别是AB BC CA上的点 且AE BF CG 设 EFG的面积为y AE的长为x 则y关于x的函数的图象大致是 C 利用全等 第14题图 变式三如图 在正三角形ABC中 D E F 分别是BC AC AB上的点 DE垂直AC EF垂直AB FD垂直BC 则 DEF的面积与 ABC的面积之比等于 利用相似 变式四 已知 如图 边长为a的正 ABC内有一边长为b的内接正 DEF 则 AEF的内切圆半径为评注 以上例题出现的都是基本图形 正确识别基本图形并应用相关结论使问题得到顺利解决 第12题 变式五 如图 菱形ABCD中 B 60 AB 2 E F分别是BC CD的中点 连接AE EF AF 则 AEF的周长为 等边三角形变菱形变式1 如图 菱形ABCD的边长为2 BD 2 E F分别是边AD CD上的两个动点 且满足AE CF 2 1 求证 BDE BCF 2 判断 BEF的形状 并说明理由 3 设 BEF的面积为S 求S的取值范围 第11题图 变式2 在菱形ABCD中 B 60 点E F分别从点B D出发以同样的速度沿边BC DC向点C运动 给出以下四个结论 AE AF CEF CFE 当点E F分别为边BC DC的中点时 AEF为是等边三角形 当点E F分别为边BC DC的中点时 AEF的面积最大 上述结论中正确的序号有 你认为正确的都填上 1 2 3 变式3 已知 如图 边长为a的菱形ABCD中 DAB 60 E是异于A D两点的动点 F是CD上的动点 满足 AE CF a 求证 无论E F怎样移动 三角形BEF总是正三角形 变式4 如图 在正方形ABCD中 点E F分别在BC CD上移动 但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等 问在E F移动过程中 1 EAF的大小是否有变化 请说明理由 2 ECF的周长是否有变化 请说明理由 提示 证明 EAH EAB FAH FAD 中考运用已知 如图 ABC是边长3cm的等边三角形 动点P Q同时从A B两点出发 分别沿AB BC方向匀速移动 它们的速度都是1cm s 当点P到达点B时 P Q两点停止运动 设点P的运动时间为t s 解答下列问题 1 当t为何值时 PBQ是直角三角形 2 设四边形APQC的面积为y cm2 求y与t的关系式 是否存在某一时刻t 使四边形APQC的面积是 ABC面积的三分之二 如果存在 求出相应的t值 不存在 说明理由 3 设PQ的长为x cm 试确定y与x之间的关系式 解法二 增设一个动点R从C出发 与A B同时沿CA的方向匀速移动 速度与P Q速度相同 则 PQR为等边三角形利用基本图形知 APR BQP CRQ都全等 面积也相等 PQR与 ABC相似 所以 PQR与 ABC的面积比为x2 9所以S PBQ 1 3 S ABC S PQR y S ABC S PBQ 例六题目 四边形ABCD是正方形 点E是边BC的中点 且EF交正方形外角的平行线CF于点F 求证 AE EF 此题为一道课本的老题 是一道不可多得的好题 能把所学的知识综合运用 考题变式探究一变式探究 09临沂数学课上 张老师出示了问题 如图1 四边形ABCD是正方形 点E是边BC的中点 且EF交正方形外角的平行线CF于点F 求证 AE EF 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取AB的中点M 连接ME 则AM EC 易证 所以 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图2 如果把 点E是边BC的中点 改为 点E是边BC上 除B C外 的任意一点 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成立 你认为小颖的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 2 小华提出 如图3 点E是BC的延长线上 除C点外 的任意一点 其他条件不变 结论 AE EF 仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 变式探究二09绵阳 如图 在平面直角坐标系中 矩形AOBC在第一象限内 E是边OB上的动点 不包括端点 作 AEF 90 使EF交矩形的外角平分线BF于点F 设C m n 1 若m n时 如图 求证 EF AE 2 若m n时 如图 试问边OB上是否还存在点E 使得EF AE 若存在 请求出点E的坐标 若不存在 请说明理由 3 若m tn t 1 时 试探究点E在边OB的何处时 使得EF t 1 AE成立 并求出点E的坐标 通过对上述例题的探究 引导学生进行点评 1 有一正方形的一边中点为端点的线段时 常把另一边的中点取出来 连接两中点构造全等三角形 为证题创造条件 2 将一短线段延长 使整条线段等于两段线段之和 在说明整条线段等于长线段时 可通过全等 总之 有些中考题确实源于教材 因此在教学过程中 应充分发挥课本引例 例题 习题的功能 只有从研究课本入手 挖掘出其隐含的本质属性通过反思问题的条件 结论 图形结构 掌握其中蕴含的解题通性与通法 沟通问题之间的联系 使知识与技能得以同化 并迁移运用于解决看似无缘却有缘的中考题 从而提高解题效率 达到触类旁通的功效 三 变式教学的作用变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略 在提高学生的学习兴趣 培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用 1 变式教学有利于培养学生良好的思维品质众所周知 发展智力 培养能力的关键是培养学生良好的思维品质 而运用变式手法恰好是训练和培养学生思维的有效途经 1 利用兴趣培养学生思维主动性积极性 在教学中 教师有意识的运用兴趣变式来诱发学生的好奇心 激发他们主动钻研 积极思考 可以克服惰性 培养思维主动积极性 2 利用反例变式 培养学生思维的严谨性和批判性 教学时 通过反例变式的训练有意识的设置一些陷阱 去刺激学生让其产生 吃一堑 长一智 3 利用一题多解培养学生思维的灵活性 在教学中教师利用解题过程的变式训练 引导学生善于运用新观点 从多用度去思考问题 用自由联想的方式 使学生广泛建立联系 多用度地认识事物和解决问题 打破那种 自古华山一条路 的思维定势 使他们开动脑筋 串联有关知识 养成灵活的思维习惯 4 运用逆向变式培养逆向思维能力 在教学中培养学生的双向思维习惯 这种训练要保持经常性和多样性 逐步优化他们的思维品质 5 采用对一题多变和开放性题目的探讨 培养思维的创造性 教学中 在加强双基训练的前提下 运用一题多变和将结论变为开放性的方式来引导学生独立思考 变重复性学习为创造性学习 创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点 是思维的高层次化 实践证明 教学中经常改变例题结论 引导学生自编一些开放性题目 对激发学生兴趣 培养其研究探索能力 发展创造性思维大有益处 2 利用变式教学有利于学困生的转换在初中阶段 随着年龄的增大和年级的增高 会感到数学越来越难学 学困生的面就逐渐增大 并呈增长的趋势 摆在教学面