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文档简介

第三节条件分布 离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布 事件的条件概率 推广到随机变量 设有两个随机变量X Y 在给定Y取某个或某些值的条件下 求X的概率分布 例如 考虑某大学的全体学生 从其中随机抽取一个学生 分别以X和Y表示其体重和身高 则X和Y都是随机变量 它们都有一定的概率分布 体重X 身高Y 体重X的分布 身高Y的分布 现在若限制1 7 Y 1 8 米 在这个条件下去求X的条件分布 这就要从该校学生中把身高在1 7米和1 8米之间的那些人都挑出来 然后在挑出的学生中求其体重的分布 容易想象 这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样 一 离散型随机变量的条件分布 定义 设 X Y 是二维离散型随机变量 对于固定的j 若P Y yj 0 则称 为在Y yj条件下随机变量X的条件分布律 i 1 2 类似定义在X xi条件下随机变量Y的条件分布律 对于固定的i 若P X xi 0 则称 为在X xi条件下随机变量Y的条件分布律 j 1 2 条件分布是一种概率分布 它具有概率分布的一切性质 例如 i 1 2 例1 把一枚均匀硬币抛掷三次 设X为三次抛掷中正面出现的次数 而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 在Y 1的条件下 X的条件分布律为 解 依题意 Y n 表示在第n次射击时击中目标 且在前n 1次射击中有一次击中目标 X m 表示首次击中目标时射击了m次 例2 一射手进行射击 击中目标的概率p 0 p 1 射击进行到击中目标两次为止 以X表示首次击中目标所进行的射击次数 以Y表示总共进行的射击次数 试求X和Y的联合分布及条件分布 n 2 3 m 1 2 n 1 由此得X和Y的联合分布律为 不论m m n 是多少 P X m Y n 都应等于 每次击中目标的概率为p P X m Y n X的边缘分布律是 m 1 2 Y的边缘分布律是 n 2 3 于是可得 当n 2 3 时 m 1 2 n 1 联合分布 边缘分布 当m 1 2 时 n m 1 m 2 1 定义 设X和Y的联合概率密度为f x y X Y 关于Y的边缘概率密度为fY y 则称为在Y y的条件下X的条件概率密度 记为 称 为在Y y的条件下 X的条件分布函数 记为 若对于固定的y fY y 0 二 连续型随机变量的条件分布 即 类似地 可以定义 求 例3 设 X Y 的概率密度是 解 因此 我们需先求出 于是对y 0 故对y 0 P X 1 Y y 当 x 1时 有 例4 设 X Y 服从单位圆上的均匀分布 概率密度为 求 解 X的边缘密度为 即 当 x 1时 有 X作为已知变量 这里是y的取值范围 X已知的条件下Y的条件密度 例5 设数X在区间 0 1 均匀分布 当观察到X x 0 x 1 时 数Y在区间 x 1 上随机地取值 求Y的概率密度 解 依题意 X具有概率密度 对于任意给定的值x 0 x 1 在X x的条件
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