信号与系统第四章.ppt

信号与系统SignalsandSystems 第4章 LTI系统的s域分析 回顾频域分析的基本思想 1 信号在频域内进行分解 以正弦分量或者复指数分量为基本信号 将激励信号表示成无穷多个谐波分量之和 2 利用LTI系统对基本单元信号的响应 利用叠加原理得到系统的总响应 所用数学工具 傅立叶级数 傅立叶变换 4 1引言 傅立叶分析方法的主要特点 1 求响应过程中利用傅立叶变换将系统的微分方程的求解转化为代数方程的求解 化卷积运算为乘积运算 以两次变换为代价 2 在有关信号的分析与处理方面和系统频率特性方面 谐波组成 频率响应 系统带宽 波形失真等 傅立叶变换所给出的结果都具有非常清楚的物理意义 傅立叶分析方法的不足之处 1 求取时域响应过程中绝大部分的傅立叶反变换太困难 2 它只能处理满足狄氏条件的信号 而实际中的很多信号不满足此条件 所以其应用范围受到很大限制 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析 1 引入了广义函数理论去解释傅里叶变换 2 利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围 优点在于 求解比较简单 特别是对系统的微分方程进行变换时 初始条件被自动计入 因此应用更为普遍 缺点在于 物理概念不如傅氏变换那样清楚 解决问题的途径 复频域分析的基本思路 是应用拉氏变换进行系统分析 同样也是建立在LTI的叠加性和齐次性基础之上 只是信号分解的基本信号不同 1 信号在复频域内进行分解 复频域分析基本信号 复指数信号或者幅度以指数规律变化的正弦信号 频域分析基本信号 正弦分量或者复指数分量 时域分析基本信号 冲激信号或者阶跃信号 2 利用LTI系统对基本单元信号的响应 利用叠加原理得到系统的总响应 分析域的不同只是信号分解的基本信号不同 傅立叶变换与拉氏变换无论在性质上还是在系统分析方法上都有很多类似的地方 事实上可以将傅立叶变换看成是拉氏变换中 在的一种特殊情况 拉氏变换也能将系统微分方程变成代数方程 而且可自动引入初始值 且拉氏反变换比较反方便 因此在系统分析方法中更容易 但并不意味着傅立叶变换没有应用价值 它是分析信号与系统的频率特性的主要手段 本章在频域分析的基础上引入复指数为基本信号 其中 称为复频率 在频域分析法中 变量是频率且为实数 这里是复频率且是复数 几点说明 本章内容及学习方法 学习方法 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换 然后对拉氏正变换 拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论 本章重点在于 以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析 最后介绍系统函数以及H s 零极点概念 并根据他们的分布研究系统特性 分析频率响应 还要简略介绍系统稳定性问题 注意与傅氏变换的对比 便于理解与记忆 复频域分析主要内容 主要研究连续信号与系统的拉氏变换 求系统响应的方法以及系统特性 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 信号与系统SignalsandSystems 主要内容 从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换 一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1 拉普拉斯变换的引出 傅立叶变换不存在的主要原因是一个函数或者信号f t 不满足绝对可积条件 而一个函数不满足绝对可积的原因往往是因为衰减太慢 从而限制了傅立叶变换的使用 为了使更多的信号存在傅立叶变换 并简化某些变换形式和运算过程 引用一个衰减因子 则 2 拉氏逆变换 3 拉氏变换对 二 拉氏变换的物理意义 复平面 三 拉氏变换的收敛域 拉氏变换存在的条件 收敛域 使F s 存在的s的区域称为收敛域 记为 ROC regionofconvergence 把满足绝对可积条件的的范围称为收敛域 拉氏变换收敛域的定义 几点说明 6 一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围 四 一些常用函数的拉氏变换 1 阶跃函数 2 指数函数 全s域平面收敛 3 单位冲激信号 4 tnu t 4 3拉普拉斯变换的基本性质 信号与系统SignalsandSystems 主要内容 线性原函数微分原函数积分延时 时域平移 s域平移尺度变换初值终值卷积对s域微分对s域积分 一 线性 已知 则 同理 例题 二 原函数微分 推广 证明 电感元件的s域模型 电感元件的s模型 应用原函数微分性质 设 三 原函数的积分 证明 电容元件的s域模型 电容元件的s模型 四 延时 时域平移 证明 时移特性 例题 例1 已知 例2 解 解 五 s域平移 证明 例 六 尺度变换 时移和标度变换都有时 证明 七 初值 初值定理证明 由原函数微分定理可知 例1 即单位阶跃信号的初始值为1 例2 终值存在的条件 八 终值 证明 根据初值定理证明时得到的公式 九 卷积 证明 交换积分次序 十 对s微分 十一 对s积分 两边对s积分 交换积分次序 证明 3 单边信号抽样后的拉氏变换 4 4拉普拉斯逆变换 信号与系统SignalsandSystems 主要内容 由象函数求原函数的三种方法部分分式法求拉氏逆变换两种特殊情况 一 由象函数求原函数的三种方法 1 部分分式法 2 利用留数定理 围线积分法 3 数值计算方法 利用计算机 二 F s 的一般形式 ai bi为实数 m n为正整数 分解 零点 极点 三 拉氏逆变换的过程 四 部分分式展开法 m n 1 第一种情况 单阶实数极点 3 第三种情况 极点为共轭复数 2 第二种情况 有重根存在 第一种情况 单阶实数极点 1 找极点 2 展成部分分式 求系数 如何求系数k1 k2 k3 是个关键 求系数k1 k2 k3 3 逆变换 3 第二种情况 有重根存在 如何求k2 如何求k2 设法使部分分式只保留k2 其它分式为0 逆变换 一般情况 求k11 方法同第一种情况 求其它系数 要用下式 第三种情况 极点为共轭复数 共轭极点出现在 求f t 例题 F s 具有共轭极点 不必用部分分式展开法 求下示函数F s 的逆变换f t 解 求得 另一种方法 五 F s 两种特殊情况 非真分式 化为真分式 多项式 1 非真分式 真分式 多项式 作长除法 2 含e s的非有理式 4 5LTI系统的复频域分析 信号与系统SignalsandSystems 主要内容 LTI系统复频域分析的步骤由系统微分方程求系统响应利用系统s域模型求系统响应 一 LTI系统的复频域分析的步骤 列s域方程 可以从两方面入手 列时域微分方程 用微积分性质求拉氏变换 直接按电路的s域模型建立代数方程 求解s域方程 应用 拉氏变换法分析电路 关键 微分方程的拉氏变换 二 由系统微分方程求系统响应 优点 整个求响应的过程变得比较简单 缺点 当系统较复杂时 回路或者节点较多时 微分方程不容易写出 例4 5 1 解 4 求反变换 求 采用0 系统 采用0 系统 两种方法结果一致 使用0 系统使分析各过程简化 3 对微分方程两边取拉氏变换 采用0 系统 采用0 系统 4 原方程取拉氏变换 我们采用0 系统求解瞬态电路 简便起见 只要知道起始状态 就可以利用元件值和元件的起始状态 求出元件的s域模型 直接按电路的s域模型建立代数方程 解决问题的途径 例4 5 2 列s域方程 结果同例4 5 1 例4 5 3 1 2 3 列方程 解 极点 故 逆变换 设 则 波形 第一种情况 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡 第二种情况 引入符号 所以 第三种情况 第四种情况 波形 三 由系统s域模型求系统响应 1 电路元件的s域模型 1 电阻元件的s域模型 2 电感元件的s域模型 利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型 3 电容元件的s域模型 电流源形式 2 电路定理的推广 线性稳态电路分析的各种方法都适用 3 求响应的具体步骤 1 根据所给电路 即t0时的电路 画s域等效模型 4 针对s域等效电路 根据基尔霍夫定律列写KVL KCL方程 即列写s域方程 代数方程 5 解s域方程 求出响应的拉氏变换V s 或I s 6 拉氏反变换求出v t 或i t 例4 5 2例4 5 3 系统函数LTI互联网络的系统函数并联级联反馈连接 4 6系统函数 网络函数 H s 信号与系统SignalsandSystems 1 定义 一 系统函数 响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 2 H s 的几种情况 策动点函数 激励与响应在同一端口时 策动点导纳 策动点阻抗 转移导纳 转移阻抗 电压比 电流比 转移函数 激励和响应不在同一端口 4 应用 求系统的响应 3 求H s 的方法 利用网络的s域元件模型图 列s域方程 微分方程两端取拉氏变换 例4 6 1 1 在零起始状态下 对原方程两端取拉氏变换 2 解 二 LTIS互联的系统函数 1 LTI系统的并联 2 LTI系统的级联 3 LTI系统的反馈连接 例4 6 2 已知系统的框图如下 请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程 解 例4 6 3 解 于是得到 比较H s 和H p 4 结论 在s域可进行代数运算 序言H s 零 极点与h t 波形特征H s E s 的极点分布与自由响应 强迫响应特性的对应 4 7系统函数零 极点分布决定时域特性 信号与系统SignalsandSystems 拉氏变换的ROC及零极点图 例 可见 拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分 ROC总是以平行于轴的直线作为边界的 ROC的边界总是与的分母的根对应的 若是有理函数 分子多项式的根称为零点 分母多项式的根称为极点 将的全部零点和极点表示在S平面上就构成了零极点图 零极点图及其收敛域可以表示一个 最多与真实的相差一个常数因子 因此 零极点图是拉氏变换的图示方法 把系统的零 极点画到S平面上的示意图称为系统函数的零极点图 系统的零极点决定着系统的特性 一 问题的引出 冲激响应h t 与系统函数H s 从时域和变换域两方面表征了同一系统的特性 从本质上讲系统的特性是由系统的零 极点分布决定的 在s域分析中 系统的零极点决定着系统的特性 借助系统函数在s平面零 极点的分布情况 可以简明 直观地给出系统响应的许多规律 系统的时域 频域特性集中地以其系统函数的零 极点分布表现出来 主要优点 1 可以预言系统的时域特性 2 便于划分系统的各个分量 自由 强迫 瞬态 稳态 3 可以用来说明系统的正弦稳态特性 二 H s 零 极点与h t 波形特征的对应 在s平面上 画出H s 的零极点图 极点 用 表示 零点 用 表示 1 系统函数的零 极点 例 1 已知系统函数 求冲激响应h t 画出零点 极点图 H s 的零 极点分布如图所示 解 冲激响应为 例 2 已知电路的输入阻抗Z s 的零 极点如图所示 已知Z 0 3 则电路的R L C 解 由零极点图 3 0 5H 1 17F 由Z 0 3 得K 17 再由电路有 比较以上两式的系数得 例 3 已知系统函数的零 极点如图所示 已知h 0 1 若激励f t u t 求零状态响应y t 解 由零极点图知系统函数 又 零状态响应为 可得 K 1 故 所以 2 H s 极点分布与原函数的对应关系 零 极点与冲激响应冲激响应与系统函数的关系为 设H s 具有单极点 冲激响应的性质完全由系统函数的极点决定 pi称为系统的自然频率或固有频率 H s 的零极点与h t 的时域波形 一阶极点 当 极点在左半平面 衰减振荡当 极点在右半平面 增幅振荡 二阶极点 有实际物理意义的物理系统都是因果系统 即随 表明的极点位于左半平面 由此可知 收敛域包括虚轴 均存在 两者可通用 只需将即可 几种典型情况 系统函数的零 极点分布确定系统的冲激响应模式 要点 系统函数位于s平面左半平面的极点对应的是衰减的冲激响应波形 系统是稳定的 系统函数位于s平面右半平面的极点对应的是增长的冲激响应波形 系统函数位于s平面虚轴上的极点对应的是等幅振荡或直流的冲激响应波形 单极点 重极点时 冲激响应为增幅响应 需强调说明的是 系统函数H s 的零点分布影响着单位冲激响应的幅值和相位 但不影响冲激响应的模式 三 H s E s 的极点分布与自由响应 强迫响应特性的对应 激励 系统函数 响应 自由响应分量 强制响应分量 几点认识 自由响应的极点只由系统本身的特性所决定 与激励函数的形式无关 然而系数都有关 响应函数r t 由两部分组成 系统函数的极点 自由响应分量 激励函数的极点 强迫响应分量 定义系统特征方程的根为系统的固有频率 或称 自然频率 自由频率 H s 的极点都是系统的固有频率 H s 零 极点相消时 某些固有频率将丢失 系统函数H s 只能用于研究零状态响应 包含了系统为零状态响应提供的全部信息 但是 它不包含零输入响应的全部信息 这是因为当H s 的零 极点相消时 某些固有频率要丢失 暂态响应和稳态响应 瞬态响应是指激励信号接入以后 完全响应中瞬时出现的有关成分 随着t增大 将消失 稳态响应 完全响应 瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应 例4 7 2 给定系统微分方程 试分别求它们的完全响应 并指出其零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应各分量 暂态响应分量和稳态响应分量 解 方程两端取拉氏变换 零输入响应 零状态响应 则 稳态响应 暂态响应 自由响应 强迫响应 极点位于s左半平面 极点位于虚轴 暂态响应 稳态响应 H s 的极点 E s 的极点 自由响应 强迫响应 定义几种常见的滤波器根据H s 零极图绘制系统的频响特性曲线 4 8由系统函数零 极点分布决定频响特性 信号与系统SignalsandSystems 一 定义 所谓 频响特性 是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况 前提 稳定的因果系统 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统 时域 频域 H s 的全部极点落在s左半平面 其收敛域包括虚轴 拉氏变换 存在傅里叶变换 存在 H s 和频响特性的关系 频响特性 系统的稳态响应 二 几种常见的滤波器 三 根据H s 零极图绘制系统的频响特性曲线 令分子中每一项 分母中每一项 画零极点图 s 0 当沿虚轴移动时 各复数因子 矢量 的模和幅角都随之改变 于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线 由矢量图确定频率响应特性 例4 8 1 确定图示系统的频响特性 频响特性分析 例4 8 2 研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性 写出网络转移函数表达式 解 频响特性 例4 8 3 其转移函数为 相当于低通与高通级联构成的带通系统 解 频响特性 全通网络最小相移网络级联 4 9全通函数与最小相移函数的零 极点分布 信号与系统SignalsandSystems 一 全通网络 所谓全通是指它的幅频特性为常数 对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过 零 极点分布 极点位于左半平面 零点位于右半平面 零点与极点对于虚轴互为镜像 频率特性 幅频特性 常数相频特性 不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性 只改变信号的相位频谱特性 在传输系统中常用来进行相位校正 例如 作相位均衡器或移相器 由于N1N2N3与M1M2M3相消 幅频特性等于常数K 即 二 最小相移网络 若网络函数在右半平面有一个或多个零点 就称为 非最小相移函数 这类网络称为 非最小相移网络 三 级联 非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联 非最小相移网络 最小相移网络 全通网络 引言定义 BIBO 证明由H s 的极点位置判断系统稳定性 4 9线性系统的稳定性 信号与系统SignalsandSystems 一 引言 某连续时间系统的系统函数 当输入为u t 时 系统的零状态响应的象函数为 但t很大时 这个正指数项超过其他项并随着t的增大而不断增大 续 实际的系统不会是完全线性的 这样 很大的信号将使设备工作在非线性部分 放大器的晶体管会饱和或截止 一个机械系统可能停车或发生故障等 这不仅使系统不能正常工作 有时还会发生损坏危险 如烧毁设备等 稳定性是系统自身的性质之一 系统是否稳定与激励信号的情况无关 冲激响应和h t H s 系统函数从两方面表征了同一系统的本性 所以能从两个方面确定系统的稳定性 二 定义 BIBO 一个系统 如果对任意的有界输入 其零状态响应也是有界的 则称该系统有界输入有界输出 BIBO 稳定的系统 简称稳定系统 对所有的激励信号e t 其响应r t 满足 则称该系统是稳定的 式中稳定系统的充分必要条件是 绝对可积条件 三 证明 对任意有界输入e t 系统的零状态响应为 充分性得证 充分性 必要性得证 必要性 四 由H s 的极点位置判断系统稳定性 1 稳定系统 若H s 的全部极点位于s平面的左半平面 不包括虚轴 则可满足 系统是稳定的 例如 系统稳定 系统稳定 2 不稳定系统 如果H s 的极点位于s右半平面 或在虚轴上有二阶 或以上 极点 系统是不稳定系统 3 临界稳定系统 如果H s 极点位于s平面虚轴上 且只有一阶 为非零数值或等幅振荡 4 系统稳定性的判据 从频域看要求H s 的极点 右半平面不能有极点 稳定 虚轴上极点是单阶的 临界稳定 实际不稳定 例4 10 1 当常数k满足什么条件时 系统是稳定的 加法器输出端的信号 输出信号 如图所示反馈系统 子系统的系统函数 解 则反馈系统的系统函数为 为使极点均在s左半平面 必须 例4 1 求下列函数的拉氏变换 拉氏变换有单边和双边拉氏变换 为了区别起见 本书以表示单边拉氏变换 以表示双边拉氏变换 若文字中未作说明 则指单边拉氏变换 单边拉氏变换只研究的时间函数 因此 它和傅里叶变换之间有一些差异 例如在时移定理 微分定理和初值定理等方面 本例只讨论时移定理 请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用 分析 解答 例4 2 4 2 a 求三角脉冲函数如图4 2 a 所示的象函数 和傅里叶变换类似 求拉氏变换的时 往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质 这比按拉氏变换的定义式积分简单 为比较起见 本例用多种方法求解 分析 方法一 按定义式求解 方法二 利用线性叠加和时移性质求解 方法三 利用微分性质求解 方法四 利用卷积性质求解 解答 方法一 按定义式求解 方法二 利用线性叠加和时移性质求解 于是 由于 方法三 利用微分性质求解 分析 信号的波形仅由直线组成 信号导数的象函数容易求得 或者信号经过几次微分后出现原信号 这时利用微分性质比较简单 将微分两次 所得波形如图 b 所示 图 b 显然 根据微分性质 由图 b 可以看出 于是 方法四 利用卷积性质求解 可看作是图4 2 c 所示的矩形脉冲自身的卷积 所以 于是 根据卷积性质 而 图4 2 c 例4 3 应用微分性质求图4 3 a 中的 象函数 图4 3 a 的