离散型随机变量期望与方差.ppt

第4讲 离散型随机变量期望与方差 1 离散型随机变量的均值和方差 一般地 若离散型随机变量X的分布列为 则称E X 为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 x1p1 x2p2 xipi xnpn 2 均值和方差的性质 设a b是常数 随机变量X Y满足Y aX b 则E Y E aX b D Y D aX b 3 两点分布 二项分布及超几何分布的均值和方差 1 若X服从两点分布 则E X D X 2 若X B n p 则E X D X aE X b a2D X np 1 p x1 E X 2p1 x2 E X 2p2 xn E X 2pn p 1 p p np 1 已知随机变量 的分布列是 B 则D A 0 6 B 0 8 C 1 D 1 2 2 已知随机变量 B n p 且E 2 4 D 1 44 则n p的值为 A n 4 p 0 6C n 8 p 0 3 B n 6 p 0 4D n 24 p 0 1 B A 3 已知X的分布列如下表 设Y 2X 1 则Y的数学期望 是 B 16 2B 3 C 1 29D 36 4 2011年上海 马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表 请小牛同学计算 的数学期望 尽管 处无法完全看清 且两个 处字迹模糊 但能肯定这两个 处的 数值相同 据此 小牛给出了正确答案E 2 5 已知离散型随机变量X的分布列如下表 若E X 0 D X 1 则a b 考点1 离散型随机变量的均值和方差 例1 2011年湖南改编 某商店试销某种商品20天 获得如下数据 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时有该商品3件 当天营业结束后检查存货 若发现存货少于2件 则当天进货补充至3件 否则不进货 将频率视为概率 1 求当天商品不进货的概率 2 记X为第二天开始营业时该商品的件数 求X的分布列和数学期望及方差 先求出离散型随机变量的分布列 然后再代入公式求其数学期望和方差 标与否互不影响 若A项技术指标达标的概率为 B项技术指标 达标的概率为 按质量检验规定 两项技术指标都达标的零件为合 互动探究 1 2011年广东惠州调研 某工厂在试验阶段大量生产一种零件 这种零件有A B两项技术指标需要检测 设各项技术指标达 34 89 格品 1 一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率 2 任意依次抽取该种零件4个 设 表示其中合格品的个数 求 分布列及E D 考点2 均值与方差的应用 例2 某校设计了一个实验学科的实验考查方案 考生从6道备选题中一次性随机抽取3题 按照题目要求独立完成全部实验操作 规定 至少正确完成其中2题的便可通过 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成 2题不能完成 考生乙每题正确23 1 分别写出甲 乙两考生正确完成题数的概率分布列 并计算数学期望 2 试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力 完成的概率都是 且每题正确完成与否互不影响 求 从做对题数的数学期望考察 两人水平相当 从做对题数的方差考察 甲较稳定 从至少完成2题的概率考察 甲获得通过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较强 随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再由方差决定 互动探究 2 某俱乐部举行迎圣诞活动 每位会员交50元活动费 可享受20元的消费 并参加一次游戏 掷两颗正方体骰子 点数之和为12点获一等奖 奖价值为a元的奖品 点数之和为11或10点获二等奖 奖价值为100元的奖品 点数之和为9或8点获三等奖 奖价值为30元的奖品 点数之和小于8点的不得奖 求 1 同行的三位会员一人获一等奖 两人获二等奖的概率 2 如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利 求a的值 考点3 均值与方差与其他知识的结合 例3 2011届广东韶关摸底 A B两个投资项目的利润率分别为随机变量x1和x2 根据市场分析 x1和x2的分布列分别为 1 在A B两个项目上各投资100万元 y1和y2分别表示投资项目A和B所获得的利润 求方差Dy1 Dy2 2 将x 0 x 100 万元投资A项目 100 x万元投资B项目 f x 表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和 求f x 的最小值 并指出x为何值时 f x 取到最小值 注 D ax b a2Dx 解析 1 由题设可知y1和y2的分布列分别为 E y1 5 0 8 10 0 2 6 D y1 5 6 2 0 8 10 6 2 0 2 4 E y2 2 0 2 8 0 5 12 0 3 8 D y2 2 8 2 0 2 8 8 2 0 5 12 8 2 0 3 12 本题利用随机变量方差的性质将其转化为二次函数的最值问题 互动探究 3 2011年广东揭阳模拟 某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表 现采用分层抽样方法 层内采用不放回简单随机抽样 从甲 乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于 低碳生活 的调查 1 求从甲 乙两科室各抽取的人数 2 求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率 3 记 表示抽取的3名工作人员中男性的人数 求 的分布列 及数学期望 1 掌握离散型随机变量的数学期望和方差计算公式 特别的二 项分布的数学期望和方差的规律 2 数学期望和方差的意义及在实际问题中的应用