高中数学选择题答题技巧

1 高考数学选择题简捷解法专题 1 一 数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现 从而大大降低思维难度 是解决数学问题的 有力策略 这种方法使用得非常之多 例题 07 江苏 6 设函数定义在实数集上 它的图象关于直线对称 且当时 f x1x 1x 则有 31 x f x A B 132 323 fff 231 323 fff C D 213 332 fff 321 233 fff 解析 当时 的1x 31 x f x f x 图象关于直线对称 则图象如图所示 1x 这个图象是个示意图 事实上 就算画出 的图象代替它也可以 由图知 1 f xx 符合要求的选项是 B 练习 1 若 P 2 1 为圆的弦 AB 的中点 则直线 AB 的方程是 22 1 25xy A B C D 30 xy 230 xy 10 xy 250 xy 提示 画出圆和过点 P 的直线 再看四条直线的斜率 即可知选 A 练习 2 07 辽宁 已知变量 满足约束条件 则的取值范围是 xy 20 1 70 xy x xy y x A B C D 9 6 5 9 6 5 36 3 6 提示 把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率 不难求得答案 选 A y x 练习 3 曲线 2 14 2 2 yxx 与直线有两个公共点时 2 4yk x 的取值范围是 k A B 5 0 12 1 1 4 3 C D 5 12 53 12 4 提示 事实上不难看出 曲线方程的图象为 2 14 2 2 yxx 2 表示以 1 0 为圆心 2 为半径的上半圆 如图 直线 22 1 4 22 13 xyxy 过定点 2 4 那么斜率的范围就清楚了 选 D 2 4yk x 练习 4 函数在区间 1 xxy A 上是增函数 则区间 A 是 A B 0 2 1 0 C D 0 2 1 提示 作出该函数的图象如右 知应该选 B 练习 5 曲线与直线1 3 2 yx mxy 2 有两个交点 则的取值范围是 m A 或 B 4 m4 m44 m C 或 D 3 m3 m33 m 提示 作出曲线的图象如右 因为直线 与其有两个交点 则或 选 A mxy 24 m4 m 练习 6 06 湖南理 8 设函数 集合 若 1 xa f x x 0Mx f x 0Px fx 则实数的取值范围是 MP a A B C D 1 0 1 1 1 提示 数形结合 先画出的图象 当时 图象 f x 1 11 1 111 xaxaa f x xxx 1a 如左 当时图象如右 1a 由图象知 当时函数在上递增 同时的解集为的1a f x 1 0fx 0f x 1 真子集 选 C 练习 7 06 湖南理 10 若圆上至少有三个不同的点到直线 22 44100 xyxy 的距离为 则直线 的倾斜角的取值范围是 0l axby 2 2l 3 A B C D 12 4 5 12 12 6 3 0 2 提示 数形结合 先画出圆的图形 圆方程化为 由题意知 圆心到直线 222 2 2 3 2 xy 的距离应该满足 在已知圆中画一个半d02d 径为的同心圆 则过原点的直线与小圆有公共点 选 B 2 0l axby 练习 8 07 浙江文 10 若非零向量 a a b b 满足 a ba b b b 则 A 2b b a a 2b b B 2b b a a 2b b C 2a a 2a ba b D 2a a 2a b2a b 提示 关键是要画出向量 a a b b 的关系图 为此 先把条件进行等价转换 a ba b b b a ba b 2 2 b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2a b a b b b2 2 a a a a 2b b 0 a a a a 2b b 又 a a a 2ba 2b 2b b 所以 a a a a 2b b 2b b 为边长构成直角三角形 2b b 为斜边 如上图 2b b a a 2b b 选 A 另外也可以这样解 先构造等腰 OAB 使 OB AB 再构造 R OAC 如下图 因为 OC AC 所以选 A 练习 9 方程 cosx lgx 的实根的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 提示 在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象 如图 由两个函数图象的交点的个数为 3 知应选 C 练习 10 06 江苏 7 若 A B C 为三个集合 则一定有 ABBC A B C D AC CA AC A 提示 若 则ABC ABA BCBA 成立 排除 C D 选项 作出 Venn 图 可知 A 成立 练习 11 07 天津理 7 在 R 上定义的函数是偶函数 且 若在区间 f x 2 f xfx f x 1 2 上是减函数 则 f x 4 A 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是增函数 B 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是减函数 C 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是增函数 D 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是减函数 提示 数形结合法 是抽象函数 因此画出其简单图象即可得出结论 如下左图知选 B f x 练习 12 07 山东文 11 改编 方程的解的取值区间是 32 1 2 x x 0 x A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 提示 数形结合 在同一坐标系中作出函数的图象 则立刻知选 B 如上右图 32 1 2 x yxy 二 特值代验 包括选取符合题意的特殊数值 特殊位置和特殊图形 代入或者比照选项来确定答案 这种方法叫做特 值代验法 是一种使用频率很高的方法 例题 93 年全国高考 在各项均为正数的等比数列中 若 则 n a 56 9a a 3132310 logloglogaaa A 12 B 10 C 8 D 3 2log 5 解析 思路一 小题大做 由条件有从而 4529 56111 9 a aa q a qa q A 101 2929 510 1231011 3a a aaaqa q A A A AA 所以原式 选 B 10 312103 log log 310a aa 思路二 小题小做 由知原式 选 564738291 10 9a aa aa aa aa a 510 3563 log log 33a a B 思路三 小题巧做 因为答案唯一 故取一个满足条件的特殊数列即可 选 B 56 3 1aaq 练习 1 07 江西文 8 若 则下列命题中正确的是 0 2 x A B C D 2 sin xx 2 sin xx 3 sin xx 3 sin xx 提示 取验证即可 选 B 6 3 x 练习 2 06 北京理 7 设 则 4710310 22222 n f nnN f n A B C D 2 81 7 n 1 2 81 7 n 3 2 81 7 n 4 2 1 7 n n 提示 思路一 f n 是以 2 为首项 8 为公比的等比数列的前项的和 4n 5 所以 选 D 这属于直接法 4 4 2 1 8 2 1 1 87 n n f nn 思路 2 令 则 对照选项 只有 D 成立 0n 3 4 47104 2 1 2 2 0 2222 81 1 27 f 练习 3 06 全国 1 理 9 设平面向量a a1 1 a a2 2 a a3 3的和a a1 1 a a2 2 a a3 3 0 如果平面向量b b1 1 b b2 2 b b3 3满 足 b bi i 2 2 a ai i 且a ai i顺时针旋转以后与b bi i同向 其中 i 1 2 3 则 30 A b b1 1 b b2 2 b b3 3 0 B b b1 1 b b2 2 b b3 3 0 C b b1 1 b b2 2 b b3 3 0 D b b1 1 b b2 2 b b3 3 0 提示 因为a a1 1 a a2 2 a a3 3 0 所以a a1 1 a a2 2 a a3 3构成封闭三角形 不妨设其为正三角形 则b bi i实际上是 将三角形顺时针旋转后再将其各边延长 2 倍 仍为封闭三角形 故选 D 30 练习 4 若 则的图象是 0 1 x f xaaa 1 2 0 f 1 1 fx A B C D 提示 抓住特殊点 2 所以对数函数是减函数 图象往左移动一个单位得 1 2 0f 1 fx 必过原点 选 A 1 1 fx 练习 5 若函数是偶函数 则的对称轴是 1 yf x 2 yfx A B C D 0 x 1x 1 2 x 2x 提示 因为若函数是偶函数 作一个特殊函数 则变为 1 yf x 2 1 yx 2 yfx 即知的对称轴是 选 C 2 21 yx 2 yfx 1 2 x 练习 6 已知数列 an 的通项公式为an 2n 1 其前 n 和为 Sn 那么 Cn1S1 Cn2S2 CnnSn A 2n 3n B 3n 2n C 5n 2n D 3n 4n 提示 愚蠢的解法是 先根据通项公式an 2n 1求得和的公式 Sn 再代入式子 Cn1S1 Cn2S2 CnnSn 再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解 有些书上就是这么做的 其实这既然是小题 就应该 按照小题的解思路来求做 令 n 2 代入式子 再对照选项 选 B 练习 7 06 辽宁理 10 直线与曲线 的公共点的个2yk 2222 918k xykx 1kR k 数是 A 1 B 2 C 3 D 4 提示 取 原方程变为 这是两个椭圆 与直线有 4 个公共点 选 D 1k 2 2 1 1 9 y x 2y 6 练习 8 如图左 若 D E F 分别是 三棱锥 S ABC 的侧棱 SA SB SC 上的点 且 SD DA SE EB CF FS 2 1 那么平 面 DEF 截三棱锥 S ABC 所得的上下两部分 的体积之比为 A 4 31 B 6 23 C 4 23 D 2 25 提示 特殊化处理 不妨设三棱锥 S ABC 是棱长为 3 的正三棱锥 K 是 FC 的中点 分 12 V V 12 V V 别表示上下两部分的体积 则 选 C 2 2228 33327 S DEFS DEF SABCSABC VSh VSh 1 2 844 278423 V V 练习 9 ABC 的外接圆的圆心为 O 两条边上的高的交点为 H 则的 OHm OAOBOC m 取值是 A 1 B 1 C 2 D 2 提示 特殊化处理 不妨设 ABC 为直角三角形 则圆心 O 在斜边中点处 此时有 选 B OHOAOBOC 1m 练习 10 双曲线方程为 则的取值范围是 22 1 25 xy kk k A B C D 或5k 25k 22k 22k 5k 提示 在选项中选一些特殊值例如代入验证即可 选 D 6 0k 三 筛选判断 包括逐一验证法 将选项逐一代入条件中进行验证 或者逻辑排除法 即通过对四个选项之间的内 在逻辑关系进行排除与确定 例题 设集合 A 和 B 都属于正整数集 映射 f 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元AB 素 则在映射 f 下 像 20 的原像是 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 经逐一验证 在 2 3 4 5 中 只有 4 符合方程 20 选 C 2nn 练习 1 06 安徽理 6 将函数sin 0 yx 的图象按向量a a 平移以后的图象如图所示 则 0 6 平移以后的图象所对应的函数解析式是 A B sin 6 yx sin 6 yx 7 12 C D sin 2 3 yx sin 2 3 yx 提示 若选 A 或 B 则周期为 与图象所示周期不符 若选 D 则与 按向量a a 平2 0 6 移 不符 选 C 此题属于容易题 7 练习 2 06 重庆理 9 如图 单位圆中的 A AB 长度为 表示与弦 AB 所围成的弓形的面的x f x A AB 2 倍 则函数的图象是 yf x A B C D 提示 解法 1 设 则 AOB x 则 S弓形 S扇形 S AOB 11 1 2sincos 2222 x 当时 11 sin sin 22 xxx 0 x 则 其图象位于下方 当时 其sin0 x sinxxx yx 2 x sin0 x sinxxx 图象位于上方 所以只有选 D 这种方法属于小题大作 yx 解法 2 结合直觉法逐一验证 显然 面积不是弧长的一次函数 排除 A 当从很小的值 f xxx 逐渐增大时 的增长不会太快 排除 B 只要则必然有面积 排除 C 选 D 事实 f xx f x 上 直觉好的学生完全可以直接选 D 练习 3 06 天津文 8 若椭圆的中心点为 E 1 0 它的一个焦点为 F 3 0 相应于焦点 的准线方程是 则这个椭圆的方程是 7 2 x A B C D 22 2 1 2 1 213 xy 22 2 1 2 1 213 xy 2 2 1 1 5 x y 2 2 1 1 5 x y 提示 椭圆中心为 1 0 排除 A C 椭圆相当于向左平移了 1 个单位长度 故 c 2 选 D 2 7 1 2 a c 2 5a 练习 4 不等式的解集是 2 2 1 x x A B 1 0 1 1 0 1 C D 1 0 0 1 1 1 提示 如果直接解 差不多相当于一道大题 取 代入原不等式 成立 排除 B C 取2x 排除 D 选 A 2x 练习 5 06 江西理 12 某地一年内的气温 Q t 与时间 t 月份 之间的关系如右图 2 2 2 2 2 2 2 2 8 已知该年的平均气温为 10 令 C t 表示时间 段 0 t 的平均气温 C t 与 t 之间的函数关系 如下图 则正确的应该是 A B C D 提示 由图可以发现 t 6 时 C t 0 排除 C t 12 时 C t 10 排除 D t 6 时的某一 段气温超过 10 排除 B 选 A 练习 6 集合与集合之间的关系是 21 MnnZ 41 NkkZ A B C D MN MN MN MN 提示 C D 是矛盾对立关系 必有一真 所以 A B 均假 表示全体奇数 也表示21n 41k 奇数 故且 B 假 只有 C 真 选 C 此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系 MN 当然 此题用现场操作法来解也是可以的 即令 k 0 1 2 3 然后观察两个集合的关系就 知道答案了 练习 7 当时 恒成立 则的一个可能的值是 4 0 x 2 4 41 3 axxx a A 5 B C D 5 3 5 3 5 提示 若选项 A 正确 则 B C D 也正确 若选项 B 正确 则 C D 也正确 若选项 C 正确 则 D 也正确 选 D 练习 8 01 广东河南 10 对于抛物线上任意一点 Q 点 P a 0 都满足 2 4yx PQa 则的取值范围是 a A B C D 0 2 0 2 0 2 提示 用逻辑排除法 画出草图 知 a 0 符合条件 则排除 C D 又取 则 P 是焦点 1a 记点 Q 到准线的距离为 d 则由抛物线定义知道 此时 a d PQ 即表明符合条件 排除 A 选1a B 另外 很多资料上解此题是用的直接法 照录如下 供 不放心 的读者比较 设点 Q 的坐标为 由 得 整理得 2 0 0 4 y yPQa 2 222 0 0 4 y yaa 22 00 16 8 0yya 即恒成立 而的最小值是 2 选 B 2 0 0y 2 0 1680ya 2 0 2 8 y a 2 0 2 8 y 2a 练习 9 07 全国卷 理 12 函数的一个单调增区间是 22 coscos 2 x f xx A B C D 2 33 6 2 0 3 6 6 提示 标准 答案是用直接法通过求导数解不等式组 再结合图象解得的 选 A 建议你用代入验证 9 法进行筛选 因为函数是连续的 选项里面的各个端点值其实是可以取到的 由 显然 66 ff 直接排除 D 在 A B C 中只要计算两个即可 因为 B 中代入会出现 所以最好只算 A C 现在就 6 12 验算 A 有 符合 选 A 2 33 ff 四 等价转化 解题的本质就是转化 能够转化下去就能够解下去 至于怎样转化 要通过必要的训练 达到见识足 技能熟的境界 在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要 例题 05 辽宁 12 一给定函数的图象在下列图中 并且对任意 由关系 yf x 1 0 1a 式得到的数列满足 则该函数的图象是 1 nn af a 1 nn aa nN A B C D 解析 问题等价于对函数图象上任一点都满足 只能选 A yf x x yyx 练习 1 设 且 sin3 cos3 则 的取值范围是 cossin t 0 t A 0 B 22 2 C 1 0 D 0 2 1 3 3 提示 因为sin3 cos3 sin cos sin2 sincos cos2 而sin2 sincos cos2 0 恒成立 故sin3 cos3t 0 选 A 另解 由 sin3 cos3 0 知非锐角 而我们知道只有为锐角或者直角时 所以排除 B C D 0 cossin t2 选 A 练习 2 是椭圆的左 右焦点 点 P 在椭圆上运动 则的最大值是 12 F F 2 2 1 4 x y 12 PF PF A A 4 B 5 C 1 D 2 提示 设动点 P 的坐标是 由是椭圆的左 右焦点得 2cos sin 12 F F 1 3 0 F 则 2 3 0 F 12 PF PF 2cos3 sin 2cos3 sin A 22 4cos3sin 选 D 这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题 特别提 2 3cos2 2 10 醒 下列 简捷 解法是掉进了命题人的 陷阱 的 2 12 12 4 2 PFPF PF PFa 练习 3 若 则 log 2log 20 ab A B C D 01ab 01ba 1ab 1ba 提示 利用换底公式等价转化 选 B lg2lg2 log 2log 200lglg0 lglg ab ba ab 01ba 练习 4 且 则 a b c dR dc abcd adbc A B dbac bcda C D bdca bdac 提示 此题条件较多 又以符号语言出现 令人眼花缭乱 对策之一是 符号语言图形化 如图 用线段代表立马知道选 C 当然 a b c d 这也属于数形结合方法 对策之二是 抽象语言具体化 分别用数字 1 4 2 3 代表容易知 a b c d 道选 C 也许你认为对策一的转化并不等价 是的 但是作为选择题 可以事先把条件 a b c dR 收严一些变为 a b c dR 练习 5 已知若函数在上单调递增 则的取值范围0 sinsin 22 xx f x 4 3 是 A B C D 2 0 3 3 0 2 0 2 2 提示 化简得 在上递增 1 sin 2 f xx sin x 2 2 而在上单调递增 2222 xx f x 4 3 又 选 B 3 0 4 3222 0 练习 6 把 10 个相同的小球放入编号为 1 2 3 的三个不同盒子中 使盒子里球的个数不小于它 的编号数 则不同的放法种数是 A B C D 3 6 C 2 6 C 3 9 C 2 9 1 2 C 提示 首先在编号为 1 2 3 的三个盒子中分别放入 0 1 2 个小球 则余下的 7 个球只要用隔 11 板法分成 3 堆即可 有种 选 B 如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只 0 1 2 个小球 而 2 6 C 更容易想到在三个盒子中分别放入只 1 2 3 个小球 那也好办 你将余下的 4 个球加上虚拟的 或曰 借来的 3 个小球 在排成一列的 7 球 6 空中插入 2 块隔板 也与本问题等价 练习 7 方程的正整数解的组数是 1234 12xxxx A 24 B 72 C 144 D 165 提示 问题等价于把 12 个相同的小球分成 4 堆 故在排成一列的 12 球 11 空中插入 3 块隔板即可 答案为 选 D 3 11 165C 练习 8 从 1 2 3 10 中每次取出 3 个互不相邻的数 共有的取法数是 A 35 B 56 C 84 D 120 提示 逆向思维 问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的 7 个数的 8 个空中 那么 问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数 为 选 B 3 8 56C 练习 9 理科 已知 则 2 1 1 lim3 1 x axbx x b A 4 B 5 C 4 D 5 提示 逆向思维 分母 一定是存在于分子的一个因式 那么一定有1x 必然有 且 22 1 1 1 1 1axbxxaxaxa x 1 ba 选 B 2 11 1 limlim 1 1 xx axbx ax x 1 134 aa 5b 练习 10 异面直线所成的角为 m n60 过空间一点 O 的直线 与所成的角等于 l m n60 则这样的直线有 条 A 1 B 2 C 3 D 4 提示 把异面直线平移到过点 O 的位置 记他们所确定的平面为 则问题等价于过点 O 有多少 m n 条直线与所成的角等于 如图 恰有 3 条 选 C m n60 练习 11 不等式的解集为 那么不等式 2 0axbxc 12xx 的解集为 2 1 1 2a xb xcax A B C D 03xx 0 3x xor x 21xx 2 1x xor x 提示 把不等式化为 其结构与原不等式 2 1 1 2a xb xcax 2 1 1 0a xb xc 相同 则只须令 得 选 A 2 0axbxc 112x 03x 五 巧用定义 定义是知识的生长点 因此回归定义是解决问题的一种重要策略 例题 某销售公司完善管理机制以后 其销售额每季度平均比上季度增长 7 那么经过季度增x 1 l 2 l 12 长到原来的倍 则函数的图象大致是 y yf x A B C D 解析 由题设知 这是一个递增的指数函数 其中 1 0 07 xy 1 0 071 0 x 所以选 D 练习 1 已知对于任意 都有 且 则Ryx 2 22 xyxy f xf yff 0 0 f 是 xf A 奇函数 B 偶函数 C 奇函数且偶函数 D 非奇且非偶函数 提示 令 则由得 又令 代入条件式可得 因0 y0 0 f1 0 fxy xfxf 此是偶函数 选 B xf 练习 2 点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点 过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切 则圆心 Q 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 圆或线段 D 线段 提示 设 P 的半径为 R P M 为两定点 那 么 QP QM QA QP R 常数 由椭圆定义知圆 心 Q 的轨迹是椭圆 选 B 练习 3 若椭圆内有一点 P 1 1 F 为右焦点 椭圆上有一点 M 使 MP 2 MF 22 1 43 xy 最小 则点 M 为 A B C D 2 6 1 3 3 1 2 3 1 2 2 6 1 3 提示 在椭圆中 则 设点 M 到右准线的距离为 MN 则由椭圆2 3ab 1 1 2 c ce a 的第二定义知 从而 这样 过点 P 作 1 2 2 MF MNMF MN 2 MPMFMPMN 右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求 M 点 知易 M 故选 A 2 6 1 3 练习 4 设是双曲线的左 右焦点 P 为双曲线右支上任意一点 12 F F 22 22 1 0 0 xy ab ab 13 若的最小值为 则该双曲线的离心率的取值范围是 2 2 1 PF PF 8ae A 2 3 B 1 3 C D 3 1 2 提示 当且仅当 即 2 2 2 2 1 1 11 1 2 4 48 PF aPFa PFaa PFPF PF 2 1 1 4a PF PF 1 2PFa 时取等于号 又 得 选 B 2 4PFa 1212 PFPFFF 62ac 13e 练习 5 已知 P 为抛物线上任一动点 记点 P 到轴的距离为 对于给定点 A 4 5 2 4yx yd PA d 的最小值是 A 4 B C D 34171 341 提示 比 P 到准线的距离 即 PF 少d 1 PA d PA PF 1 而 A 点在抛物线外 PA d 的最小值为 AF 1 选 D 341 练习 6 函数的反函数 则的图象 yf x 1 1 2 3 x fx x yf x A 关于点 2 3 对称 B 关于点 2 3 对称 C 关于直线 y 3 对称 D 关于直线 x 2 对称 提示 注意到的图象是双曲线 其对称中心的横坐标是 3 由反函数的定义 知 1 1 2 3 x fx x 图象的对称中心的纵坐标是 3 只能选 B yf x 练习 7 已知函数是 R 上的增函数 那么是的 yf x 0ab f af bfafb 条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 不充分不必要 提示 由条件以及函数单调性的定义 有 而这个过程并不可逆 0 abf afb abf af bfafb baf afb 因此选 A 练习 8 点 P 是以为焦点的椭圆上的一点 过焦点作的外角平分线的垂线 垂 12 F F 2 F 12 FPF 足为 M 则点 M 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 提示 如图 易知 M 是的中点 2 PQPF 2 F Q OM 是的中位线 由椭圆的定义知 1 FQ 1112 111 222 MOFQFPPQFPF P 14 定值 定值 椭圆的长半轴长 a 选 A 12 FPF P MO 练习 9 在平面直角坐标系中 若方程 m x2 y2 2y 1 x 2y 3 2表示的是双曲线 则 的取 值范围是 A 0 1 B 1 C 0 5 D 5 提示 方程 m x2 y2 2y 1 x 2y 3 2可变形为 即得 2 22 23 21 xy m xyy 这表示双曲线上一点到定点 0 1 与定直线 22 1 1 23 xy xym 22 1 5 23 5 xy xym x y 的距离之比为常数 又由 得到 选 C 若用特值代验 右边230 xy 5 e m 1e 05m 展开式含有项 你无法判断 xy 高考数学选择题简捷解法专题 2 六 直觉判断 数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式 逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则 而直觉思维不受固 定的逻辑规则约束 直接领悟事物本质 大大节约思考时间 逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位 而直觉思维又是思维中最活跃 最积极 最具有创造性的成分 两者具有辨证互补的关系 因此 作为选拔 人才的高考命题人 很自然要考虑对直觉思维的考查 例题 已知 则的值为 1 sincos 2 5 xxx tan x A B 或 C D 4 3 4 3 3 4 3 4 4 3 解析 由题目中出现的数字 3 4 5 是勾股数以及的范围 直接意识到 x 34 sin cos 55 xx 从而得到 选 C 3 tan 4 x 练习 1 如图 已知一个正三角形内接于一个边长为的正三角形中 a 问取什么值时 内接正三角形的面积最小 x A B C D 2 a 3 a 4 a3 2 a 提示 显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小 选 A 练习 2 课本题改编 测量某个零件直径的尺寸 得到 10 个数据 如果用作为 12310 x x xx x 该零件直径的近似值 当取什么值时 最小 x 2222 12310 xxxxxxxx A 因为第一次测量最可靠 B 因为最后一次测量最可靠 1 x 10 x C 因为这两次测量最可靠 D 110 2 xx 12310 10 xxxx 提示 若直觉好 直接选 D 若直觉欠好 可以用退化策略 取两个数尝试便可以得到答案了 15 练习 3 若 则 727 0127 1 2 xaa xa xa x 0127 aaaa A 1 B 1 C 0 D 7 3 提示 直觉法 系数取绝对值以后 其和会相当大 选 D 或者退化判断法将 7 次改为 1 次 还有 一个绝妙的主意 干脆把问题转化为 已知 求 727 0127 12 xaa xa xa x 这与原问题完全等价 此时令得解 0127 aaaa 1x 练习 4 已知 a b 是不相等的两个正数 如果设 11 pab ab 2 1 qab ab 那么数值最大的一个是 2 2 2 ab r ab A B C D 与 a b 的值有关 pqr 提示 显然 p q r 都趋向于正无穷大 无法比较大小 选 D 要注意 这里似乎是考核均值不等 式 其实根本不具备条件 缺乏定值条件 练习 5 98 高考 向高为 H 的水瓶中注水 注满为止 如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如下 列左图 那么水瓶的形状是 O O A B C D 提示 抓住特殊位置进行直觉思维 可以取 OH 的中点 当高 H 为一半时 其体积过半 只有 B 符 合 选 B 练习 6 07 江西理 7 文 11 四位好朋友在一次聚会上 他们按照各自不同的爱好选择了形状不 同 内空高度相等 杯口半径相等的圆口酒杯 如图 盛满酒好他们约定 先各自饮杯中酒的一半 设 剩余酒的高度从左到右依次为则它们的大小关系正确的是 1234 h h h h A B C D 214 hhh 123 hhh 324 hhh 241 hhh 提示 选 A 练习 7 01 年高考 过点 A 1 1 B 1 1 且圆心在直线上的圆的方程是 20 xy A B 22 3 1 4xy 22 3 1 4xy 16 C D 22 1 1 4xy 22 1 1 4xy 提示 显然只有点 1 1 在直线上 选 C 20 xy 练习 8 97 全国理科 函数的最小正周期是 sin 2 cos2 3 yxx A B C D 2 2 4 提示 因为总有 所以函数的周期只与有关 这里sincossin axbxAx y 所以选 B 2 练习 9 97 年高考 不等式组的解集是 0 32 32 x xx xx A B 02xx 02 5xx C D 06xx 03xx 提示 直接解肯定是错误的策略 四个选项左端都是 0 只有右端的值不同 在这四个值中会是哪 一个呢 它必定是方程的根 代入验证 2 不是 3 不是 2 5 也不是 所以选 C 33 33 xx xx 练习 10 ABC 中 cosAcosBcosC 的最大值是 A B C 1 D 3 8 3 8 1 2 1 提示 本题选自某一著名的数学期刊 作者提供了下列 标准 解法 特抄录如下供读者比较 设 y cosAcosBcosC 则 2y cos A B cos A B cosC cos2C cos A B cosC 2y 0 构造一元二次方程 x2 cos A B x 2y 0 则 cosC 是一元二次方程的根 由 cosC 是实数知 cos2 A B 8y 0 即 8y cos2 A B 1 故应选 B 8 1 y 这就是 经典 的小题大作 事实上 由于三个角 A B C 的地位完全平等 直觉告诉我们 最大 值必定在某一特殊角度取得 故只要令 A B C 60 即得答案 B 这就是直觉法的威力 这也正是命题人 的意图所在 练习 11 07 浙江文 8 甲乙两人进行乒乓球比赛 比赛规则为 3 局 2 胜 即以先赢 2 局者为 胜 根据以往经验 每局比赛中甲获胜的概率为 0 6 则本次比赛中甲获胜的概率为 A 0 216 B 0 36 C 0 432 D 0 648 提示 先看 标准 解法 甲获胜分两种情况 甲 乙 2 0 其概率为 0 6 0 6 0 36 甲 乙 2 1 其概率为 所以甲获胜的概率为 0 36 0 288 0 648 选 D 1 2 0 6 0 4 0 60 288C 现在再用直觉法来解 因为这种比赛没有平局 2 人获胜的概率之和为 1 而甲获胜的概率比乙大 应该超过 0 5 只有选 D 练习 12 则 sincos2 tancot A 1 B 2 C 1 D 2 提示 显然 选 B 4 七 趋势判断 17 趋势判断法 包括极限判断法 连同估值法 大致可以归于直觉判断法一类 具体来讲 顾名思义 趋 势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果 要求化静为动 在运动中寻找规律 因此是一种较高层次的 思维方法 例题 06 年全国卷 11 用长度分别为 2 3 4 5 6 单位 cm 的 5 根细木棍围成一个 三角形 允许连接 但不允许折断 能够得到的三角形的最大面积为多少 A 8 cm2 B 6 cm2 C 3 cm2 D 20 cm251055 解析 此三角形的周长是定值 20 当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线 其面积趋向于 零 可知 只有当三角形的形状趋向于最 饱满 时也就是形状接近于正三角形时面积最大 故三边长 应该为 7 7 6 因此易知最大面积为cm2 选 B 6 10 练习 1 在正 n 棱锥中 相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是 A B C D 2 n n 1 n n 0 2 21 nn nn 提示 进行极限分析 当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时 相邻两侧面所成二面角 且 当锥体且底面正多边形相对固定不变时 正 n 棱锥形状趋近于正 n 棱柱 h 且选 A 2 n n 2 n n 练习 2 设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为 S 记 则一定满足 4 1 i i S S A B C D 24 34 2 54 5 3 55 5 提示 进行极限分析 当某一顶点 A 无限趋近于对面时 S S对面 不妨设S S1 则 S2 S3 S4 那么 选项中只有 A 符合 选 A 当然 我们也可以进行特殊化处理 当四面体四个面的面 1 S 2 积相等时 凭直觉知道选 A 4 练习 3 正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 侧面与底面 所成角为 则 的值是 2coscos2 A 1 B C 0 D 1 1 2 提示 进行极限分析 当四棱锥的高无限增大时 那么90 90 选 D 2coscos22cos90cos1801 练习 4 在 ABC 中 角 A B C 所对边长分别为 a b c 若 c a 等于 AC 边上的高 那么 的值是 sincos 22 CACA A 1 B C D 1 1 2 1 3 提示 进行极限分析 时 点 此时高 那么 0A C A0 hca 180 0CA 18 所以 选 A sincos 22 CACA sin90cos01 练习 5 若则 0 sincos sincos 4 ab A B C D ab ab 1ab 2ab 提示 进行极限分析 当时 当时 从而 选 A 0 1a 4 2b ba 练习 6 双曲线的左焦点为 F 22 1xy 点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点 则直 线 PF 的斜率的变化范围是 A B 0 1 1 C D 0 1 1 提示 进行极限分析 当 P时 PF 的斜率 当时 斜率不存在 即 A0k PFx 或 当 P 在无穷远处时 PF 的斜率 选 C k k 1k 练习 7 06 辽宁文 11 与方程的曲线关于直线对称的曲线方程为 2 21 0 xx yeex yx A B C D ln 1 yx ln 1 yx ln 1 yx ln 1 yx 提示 用趋势判断法 显然已知曲线方程可以化为 是个增函数 再令 2 1 0 x yex 那么那么根据反函数的定义 在正确选项中当时应该有只有 A 符 x y y x 合 当然也可以用定义法解决 直接求出反函数与选项比较之 练习 8 若 则对任意实数 n sincos1 sincos nn A 1 B 区间 0 1 C D 不能确定 1 1 2n 提示 用估值法 由条件完全可以估计到中必定有一个的值是 1 另sincos1 sin cos 一个等于 0 则选 A 另外 当 n 1 2 时 答案也是 1 练习 9 已知 且 则之间的大小关系是 1c 1xcc 1ycc x y A B C D 与 c 的值有关xy xy xy 提示 此题解法较多 如分子有理化法 代值验证法 单调性法 但是用趋势判断法也不错 当 时 当时 可见函数递减 选 B 1c 21x x 0 x 1tt 八 估值判断 有些问题 属于比较大小或者确定位置的问题 我们只要对数值进行估算 或者对位置进行估计 就可 以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间 例题 已知是方程的根 是方程的根 则 1 xlg3xx 2 x103 x x 12 xx 19 A 6 B 3 C 2 D 1 解析 我们首先可以用图象法来解 如图 在同一 坐标系中作出四个函数 10 xy lgyx 3yx 的图象 设与的图象交于点 A 其yx 3yx lgyx 横坐标为 与的图象交于点 C 其横坐标 1 x10 xy 3yx 为 与的图象交于点 B 其横坐标为 因为与为反函数 点 A 与点 2 x3yx yx 3 2 10 xy lgyx B 关于直线对称 所以2 3 选 B yx 12 xx 3 2 此属于数形结合法 也算不错 但非最好 现在用估计法来解它 因为是方程的根 所 1 xlg3xx 以是方程的根 所以所以选 B 1 23 x 2 x103 x x 2 01 x 12 24 xx 练习 1 用 1 2 3 4 5 这五个数字 组成没有重复数字的三位数 其中偶数共有 A 24 个 B 30 个 C 40 个 D 60 个 提示 如果用直接法可以分两步 先排个位 在两个偶数中任取一个有种方法 第二步在剩 1 2 C 下的 4 个数字中任取两个排在十位与百位有种 由乘法原理 共有 24 个 选 B 用估计法 五 2 4 A 12 24 C A 个数字可以组成个三位数 其中偶数不到一半 选 B 3 5 60A 练习 2 农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成 2003 年某地农民人均收入为 3150 元 其中工资性收入为 1800 元 其它收入 1350 元 预计该地区农民自 2004 年起工资性收入将以每年 6 的年 增长率增长 其它收入每年增加 160 元 根据以上数据 2008 年该地区农民人均收入介于 元 A 4200 4400 B 4400 4600 C 4600 4800 D 4800 5000 提示 由条件知该地区农民工资性收入自 2004 年起构成以的等比数列 所 1 1800 1 6 aq 以 2008 年工资性收入为元 其它收入构成以 1350 为 5 6 1800 1 0 06 1800 1 5 0 06 2340a 首项 公差为 160 的等差数列 所以所以 2008 年其它收入为 1350 160 5 2150 元 所以 2008 年该地区 农民人均收入约为 2340 2150 4490 元 选 B 练习 3 已知过球面上 A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半 且 AB BC CA 2 则 球面面积是 A B C D 16 9 8 3 4 64 9 提示 用估计法 设球半径 R ABC 外接圆半径为 2 3 3 r 则S球 选 D 22 16 445 3 Rr 练习 4 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形 EF AB 20 EF 与平面 ABCD 的距离为 2 则 3 2 EF 该多面体的体积为 A B 5 C 6 D 9 2 15 2 提示 该多面体的体积比较难求 可连接 BE CF 问题转化为四棱锥 E ABCD 与三棱锥 E BCF 的体 积之和 而 6 所以只能选 D E ABCD V 练习 5 在直角坐标平面上 已知 A 1 0 B 3 0 点 C 在直线上 若 ACB 22yx 则点 C 的纵坐标的取值范围是 90 A B 4 54 5 55 2 52 5 1 1 55 C D 4 54 5 0 0 55 4 5 4 5 55 提示 如图 M N 在直线上 且 AMB ANB 要使 ACB 点 C 应该在22yx 90 90 M N 之间 故点 C 的纵坐标应该属于某一开区间 而点 C 的纵坐标是可以为负值的 选 D 练习 6 已知三棱锥 P ABC 的侧面与底面所成二面角都是 底面三角形三边长分别是60 7 8 9 则此三棱锥的侧面面积为 A B C D 12 524 56 518 5 提示 你可以先求出的面积为 再利用射影面积公式求出侧面面积为 你也ABCA12 524 5 可以先求出的面积为 之后求出 P 在底面的射影到个侧面的距离 都是三棱锥 P ABC 的高ABCA12 5 的一半 再利用等体积法求得结果 但好象都不如用估值法 假设底面三角形三边长都是 8 则面积为 这个面积当然比原来大了一点点 再利用射影面积公式求出侧面面积为 四个 2 3 816 3 4 32 3 选项中只有与之最接近 选 B 24 5 练习 7 07 海南 宁夏理 11 文 12 甲 乙 丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭 20 次 三 人测试成绩如下表 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差 则有 123 S SS A B C D 312 SSS 213 SSS 123 SSS 231 SSS 提示 固然可以用直接法算出答案来 标准答案正是这样做的 但是显然时间会花得多 你可以用估 计法 他们的期望值相同 离开期望值比较近的数据越多 则方差 等价于标准差会越小 所以选 B 甲的成绩 环数78910 频数5555 乙的成绩 环数78910 频数6446 丙的成绩 环数78910 频数4664 21 这当然也可以看作是直觉法 练习 8 07 全国 理 12 设 F 为抛物线的焦点 A B C 为该抛物线上的三点 若 2 4yx 则等于 0FAFBFC FAFBFC A 9 B 6 C 4 D 3 提示 很明显 直觉 三点 A B C 在该抛物线上的图 形完全可能如右边所示 数形结合 可以估计 估值法 到 稍大于 通径 长为 4 FBFC MN 选 B 6FAFBFC 当然也可以用定义法 由可知 由抛物线定义有0FAFBFC 3 ABC xxx 所以 6 1 1 1 ABC FAxFBxFCx FAFBFC 练习 9 07 福建理 12 如图 三行三列的方阵中有 9 个数 1 2 3 1 2 3 ij a ij 从中任取三个数 则至少有两个数位于同行或同列的概率是 A B C D 3 7 4 7 1 14 13 14 提示 用估值法 至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也不同列 这种情况仅有 6 种 在总共种取法数中所占比例很小 选 D 3 9 C 练习 10 07 湖北理 9 连续投掷两次骰子的点数为 记向量 b b m n m n 与向量 a a 1 1 的夹角为 则的概率是 0 2 A B C D 5 12 1 2 7 12 5 6 提示 用估值法 画个草图 立刻发现在 范围内 含在 OB 上 的向量 b b 的个数AOB 超过一半些许 选 C 完全没有必要计算 练习 11 05 年四川 若 则 ln2ln3ln5 235 abc A B C D abc cba cab bac 提示 注意到 可知不能够用单调性法去判断 问题等价于的 ln2ln4 24 lg2lg3lg5 235 abc 时候比较 a b c 的大小 lg2 0 3010 lg3 0 4771 lg5 0 6990 a 0 1505 b 0 1590 c 0 1398 选