高考数学-最后100个知识点

状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心1 高考数学高考数学 100100 个提醒个提醒 知识 方法与例题知识 方法与例题 一 集合与逻辑一 集合与逻辑 1 区分集合中元素的形式 如 xyxlg 函数的定 义域 xyylg 函数的值域 xyyxlg 函数图 象上的点集 如 如 1 1 设集合 3 Mx yx 集合 N 2 1 y yxxM 则MN 答 1 2 2 设 集合 1 2 3 4 Ma aR 2 3 4 5 Na a R 则 NM 答 2 2 2 条件为BA 在讨论的时候不要遗忘了 A的情况 如 012 2 xaxxA 如果 RA 求a的取 值 答 a 0 3 BxAxxBA 且 BxAxxBA 或 CUA x x U 但 x A BxAxBA 则 真子集怎定 义 含 n 个元素的集合的子集个数为 2n 真子集个数为 2n 1 如如满足 1 2 1 2 3 4 5 M 集合 M 有 个 答 7 4 CU A B CUA CUB CU A B CUA CUB card A B 5 A B A A B B A B CUB CUA A CUB CUA B U 6 补集思想补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关 问题 如如已知函数12 2 24 22 ppxpxxf在区间 1 1 上至 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心2 少存在一个实数c 使0 cf 求实数p的取值范围 答 3 3 2 7 原命题 pq 逆命题 qp 否命题 pq 逆否命题 qp 互为逆否的两个命题是等价的 如 sinsin 是 的 条件 答 充 分非必要条件 8 若pq 且qp 则 p 是 q 的充分非必要条件 或 q 是 p 的必要非充分条件 9 注意命题命题pq 的否定否定与它的否命题否命题的区别 命题pq 的否定是pq 否命题否命题是pq 命题 p 或 q 的否定是 P 且 Q p 且 q 的否定是 P 或 Q 注意 如如 若a和b都是偶数 则ba 是偶数 的 否命题是 若a和b不都是偶数 则ba 是奇数 否定是 若a和b都是偶数 则ba 是奇数 二 函数与导数二 函数与导数 10 指数式 对数式指数式 对数式 m nm n aa 1 m n m n a a 0 1a log 10 a log1 aa lg2lg51 logln ex x log 0 1 0 b a aNNb aaN logaN aN 如如 2 log81 2 的值为 答 1 64 11 一次函数 y ax b a 0 b 0 时奇函数 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心3 12 二次函数 三种形式 一般式 f x ax2 bx c 轴 b 2a a 0 顶点 顶点式 f x a x h 2 k 零点式 f x a x x1 x x2 轴 b 0 偶函数 区间最值 配方后一看开口方向 二讨论对称轴 与区间的相对位置关系 如 若函数42 2 1 2 xxy的定 义域 值域都是闭区间 2 2 b 则b 答 2 实根分布 先画图再研究 0 0 轴与区间关系轴与区间关系 区 间端点函数值符号端点函数值符号 13 反比例函数 0 x x c y 平移平移 bx c ay 中心为 b a 14 对勾函数 x a xy 是奇函数 上为增函数 在区间时 0 0 0 a 递减 在时 0 0 0aaa 递增 在 a a 15 单调性 定义法定义法 导数法导数法 如 如 已知函数 3 f xxax 在区间 1 上是增函数 则a的取值范围是 答 3 注意注意 0 x f能推出 xf为增函数 但反之不 一定 如函数 3 xxf 在 上单调递增 但0 x f 0 x f是 xf为增函数的充分不必要条件 注意注意 函数单调性与奇偶性的逆用单调性与奇偶性的逆用了吗 比 较大小 解不等式 求参数范围 如如已知奇函数 xf是定义在 2 2 上的减函数 若0 12 1 mfmf 求实数m的取值范围 答 12 23 m 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心4 复合函数复合函数由同增异减判定 图像判定 作用 比大小 解证不等式 如如函数 2 1 2 log2yxx 的单调递增 区间是 答 1 2 16 奇偶性 f x 是偶函数 f x f x f x f x 是 奇函数 f x f x 定义域含零的奇函数过原点 f 0 0 定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的 必要而不充分的条件必要而不充分的条件 17 周期性周期性 1 类比类比 三角函数图像三角函数图像 得得 若 yf x 图像有两条对称轴 xa xb ab 则 yf x 必是周期函数 且一周期为2 Tab 若 yf x 图像有两个对称中心 0 0 A aB bab 则 yf x 是周期函数 且一周期为2 Tab 如果函数 yf x 的图像有一个对称中心 0 A a和 一条对称轴 xb ab 则函数 yf x 必是周期函数 且 一周期为4 Tab 如如已知定义在R上的函数 f x是以 2 为周期的奇函 数 则方程 0f x 在 2 2 上至少有 个实数 根 答 5 2 由周期函数的定义由周期函数的定义 函数 f x满足 xafxf 0 a 则 f x是周期为a的周期函数 得得 函数 f x满足 xafxf 则 f x是周期为 2a的周 期函数 若 1 0 f xaa f x 恒成立 则2Ta 若 1 0 f xaa f x 恒成立 则2Ta 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心5 如如 1 1 设 xf是 上的奇函数 2 xfxf 当10 x时 xxf 则 5 47 f等于 答 5 0 2 2 定义在R上的偶函数 f x满足 2 f xf x 且在 3 2 上是减函数 若 是锐角三角形的两个内角 则 sin cos ff 的大小关系为 答 sin cos ff 18 常见的图象变换常见的图象变换 函数 axfy 的图象是把函数 xfy 的图象沿 x轴向左 0 a或向右 0 a平移a个单位得到的 如如要 得到 3lg xy 的图像 只需作xylg 关于 轴对称 的图像 再向 平移 3 个单位而得到 答 y 右 3 3 函数 lg 2 1f xxx 的图象与x轴的交点个数有 个 答 2 函数 xfy a的图象是把函数 xfy 助图象沿 y轴向上 0 a或向下 0 a平移a个单位得到的 如如将 函数a ax b y 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位 所得图象如果与原图象关于直线xy 对称 那 么 0 1 baA RbaB 1 0 1 baC RbaD 0 答 C 函数 axfy 0 a的图象是把函数 xfy 的图象 沿x轴伸缩为原来的 a 1 得到的 如 如 1 1 将函数 yf x 的图像上所有点的横坐标变为原来的 1 3 纵坐标 不变 再将此图像沿x轴方向向左平移 2 个单位 所 得图像对应的函数为 答 36 fx 2 2 如若 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心6 函数 21 yfx 是偶函数 则函数 2 yfx 的对称轴方程 是 答 1 2 x 函数 xafy 0 a的图象是把函数 xfy 的图象 沿y轴伸缩为原来的a倍得到的 1919 函数的对称性 函数的对称性 满足条件 f xaf bx 的函数的图象关于直线 2 ab x 对称 如如已知二次函数 0 2 abxaxxf满足条 件 3 5 xfxf且方程xxf 有等根 则 xf 答 2 1 2 xx 点 x y关于y轴的对称点为 x y 函数 xfy 关 于y轴的对称曲线方程为 xfy 点 x y关于x轴的对称点为 xy 函数 xfy 关 于x轴的对称曲线方程为 xfy 点 x y关于原点的对称点为 xy 函数 xfy 关于原点的对称曲线方程为 xfy 点 x y关于直线yxa 的对称点为 yaxa 曲线 0f x y 关于直线yxa 的对称曲线的方程为 0fyaxa 特别地 点 x y关于直线yx 的对称 点为 y x 曲线 0f x y 关于直线yx 的对称曲线的方 程为 0f y x 点 x y关于直线yx 的对称点为 yx 曲线 0f x y 关于直线yx 的对称曲线的方程为 0fyx 如如己知函数 33 232 x f xx x 若 1 xfy的 图像是 1 C 它关于直线yx 对称图像是 22 C C关于原点对 称的图像为 33 CC 则对应的函数解析式是 答 2 21 x y x 若 f a x f b x 则 f x 图像关于直线 x 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心7 2 ba 对称 两函数 y f a x 与 y f b x 图像关于直线 x 2 ab 对称 提醒提醒 证明函数图像的对称性 即证明图像上任 一点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在图像上 如 如 1 1 已知函数 1 Ra xa ax xf 求证 函数 xf的 图像关于点 1 M a 成中心对称图形 曲线 0f x y 关于点 a b的对称曲线的方程为 2 2 0faxby 如如若函数xxy 2 与 xgy 的图象关于 点 2 3 对称 则 xg 答 2 76xx 形如 0 axb ycadbc cxd 的图像是双曲线 对称 中心是点 d a c c 如如已知函数图象 C 与 2 1 1C y xaaxa 关于直线yx 对称 且图象 C 关于 点 2 3 对称 则a的值为 答 2 f x的图象先保留 f x原来在x轴上方的图象 作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形 然后擦去 x轴下方的图象得到 fx的图象先保留 f x在y轴右 方的图象 擦去y轴左方的图象 然后作出y轴右方的 图象关于y轴的对称图形得到 如 如 1 1 作出函数 2 log 1 yx 及 2 log 1 yx 的图象 2 2 若函数 xf是 定义在 R 上的奇函数 则函数 xfxfxF 的图象关 于 对称 答 y轴 20 20 求解抽象函数抽象函数问题的常用方法是 1 借鉴模型函数进行类比探究借鉴模型函数进行类比探究 几类常见的抽 象函数 正比例函数型 0 f xkx k f xyf xf y 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心8 幂函数型 2 f xx f xyf x f y xf x f yf y 指数函数型 x f xa f xyf x f y f x f xy f y 对数函数型 logaf xx f xyf xf y x ff xf y y 三角函数型 tanf xx 1 f xf y f xy f x f y 如如已知 xf是定义在 R 上的奇函数 且为周期函 数 若它的最小正周期为 T 则 2 T f 答 0 21 反函数 函数存在反函数的条件一一映射 奇 函数若有反函数则反函数是奇函数 周期函数 定 义域为非单元素集的偶函数无反函数 互为反函数 的两函数具相同单调性 f x 定义域为 A 值域为 B 则 f f 1 x x x B f 1 f x x x A 原函数 定义域是反函数的值域 原函数值域是反函数的定义 域 如 如 已知函数 yf x 的图象过点 1 1 那么 4fx 的反函数的图象一定经过点 答 1 3 22 题型方法总结 判定相同函数判定相同函数 定义域相同且对应法则相同 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心9 求函数解析式的常用方法 1 待定系数法待定系数法 已知所求函数的类型 二次 函数的表达形式有三种 一般式 2 f xaxbxc 顶 点式 2 f xa xmn 零点式 12 f xa xxxx 如如已知 f x为二次函数 且 2 2 xfxf 且 f 0 1 图象在 x 轴上截得的线段长为 22 求 f x的解析式 答 2 1 21 2 f xxx 2 代换 配凑 法代换 配凑 法 已知形如 f g x的表达 式 求 f x的表达式 如 如 1 1 已知 sin cos1 2 xxf 求 2 xf的解析式 答 242 2 2 2 f xxxx 2 2 若 2 2 1 1 x x x xf 则函数 1 xf 答 2 23xx 3 3 若函数 xf是定义在 R 上的奇函数 且当 0 x时 1 3 xxxf 那么当 0 x时 xf 答 3 1 xx 这里需值得注意值得注意的是 所求解析式的定义域的等价性 即 f x的定义域应是 g x的值域 3 方程的思想方程的思想 对已知等式进行赋值 从而 得到关于 f x及另外一个函数的方程组 如 如 1 1 已知 2 32f xfxx 求 f x的解析式 答 2 3 3 f xx 2 2 已知 f x是奇函数 xg是偶函数 且 f x xg 1 1 x 则 f x 答 2 1 x x 求定义求定义域 使函数解析式有意义解析式有意义 如 分母 偶次根式 被开方数 对数真数 底数 零指数幂的底数 实实 际问题有意义际问题有意义 若 f x 定义域为 a b 复合函数 f g x 定义域由 a g x b 解出 若 f g x 定义域为 a b 则 f x 定义域相当于 x a b 时 g x 的值域 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心10 如 若函数 xfy 的定义域为 2 2 1 则 log2xf的 定义域为 答 42 xx 2 2 若函 数 2 1 f x 的定义域为 2 1 则函数 f x的定义域为 答 1 5 求值域求值域 配方法 如 求函数 2 25 1 2 yxxx 的值域 答 4 8 逆求法 反求法 如 3 1 3 x x y 通过反解 用 y来表示3x 再由3x的取值范围 通过解不等式 得出 y的取值范围 答 0 1 换元法 如 如 1 1 2 2sin3cos1yxx 的值域为 答 17 4 8 2 2 211yxx 的值域为 答 3 令1xt 0t 运用换元法时 运用换元法时 要特别要注意新元要特别要注意新元t的范围的范围 三角有界法 转化为只含正弦 余弦的函数 运用三角函数有界性来求值域 如 2sin1 1cos y 的值域 答 3 2 不等式法不等式法 利用基本不等式 2 abab a bR 求函数的最值 如如设 12 x a ay成等差数 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心11 列 12 x b by成等比数列 则 21 2 21 bb aa 的取值范围是 答 0 4 单调性法 函数为单调函数 可根据函数的单 调性求值域 如如求 1 19 yxx x 2 2 9 sin 1 sin yx x 2 3 2log5 x yx 的值域为 答 80 0 9 11 9 2 0 数形结合数形结合 根据函数的几何图形 利用数型结 合的方法来求值域 如 如 1 1 已知点 P x y在圆 22 1xy 上 求 2 y x 及2yx 的取值范围 答 33 33 5 5 2 2 求函数 22 2 8 yxx 的 值域 答 10 判别式法 如 判别式法 如 1 1 求 2 1 x y x 的值域 答 1 1 2 2 2 2 求函数 2 3 x y x 的值域 答 1 0 2 如如 求 2 1 1 xx y x 的值域 答 3 1 导数法导数法 分离参数法 如如求函数 32 2440f xxxx 3 3 x 的最小值 答 48 用 2 种方法求下列函数的值域 32 1 1 32 x yx x 0 3 2 x x xx y 0 1 3 2 x x xx y 解应用题解应用题 审题 理顺数量关系 建模 求模 验证 恒成立问题恒成立问题 分离参数法 最值法 化为一次或二次方程 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心12 根的分布问题 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒 成立 a f x min 任意定义在 R 上函数 f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和 即 f x g xh x 其中 g x fxfx 2 是偶函数 h x fxfx 2 是奇函数 利用一些方法 如赋值法 令利用一些方法 如赋值法 令x 0 0 或或 1 1 求出 求出 0 f或或 1 f 令 令yx 或或yx 等 等 递推法 反证法等 递推法 反证法等 进行逻辑探究进行逻辑探究 如 如 1 1 若xR f x满足 f xyf x f y 则 f x的奇偶性是 答 奇函数 2 2 若xR f x满足 f xyf x f y 则 f x的奇偶性是 答 偶函数 3 3 已知 f x是定义在 3 3 上的奇函数 当 03x 时 f x的图像如右图所示 那么 不等式 cos0f xx A的解集是 答 1 0 1 3 22 4 4 设 f x的定义域为R 对任 意 x yR 都有 x ff xf y y 且1x 时 0f x 又 1 1 2 f 求证 f x为减函数 解不等式 2 5 f xfx 答 0 14 5 23 导数几何物理意义导数几何物理意义 k f x0 表示曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处切线的斜率 V s t 表示 t 时刻即时速度 a v t 表示 t 时 刻加速度 如如一物体的运动方程是 2 1stt 其中s的 单位是米 t的单位是秒 那么物体在3t 时的瞬时速 O 1 2 3 x y 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心13 度为 答 5 米 秒 24 基本公式 mm 1 0 C x mx mQ C 为常数 25 导数应用导数应用 过某点的切线过某点的切线不一定只有一条 如 已知函数 3 3f xxx 过点 2 6 P 作曲线 yf x 的切线 求此切线的方程 答 30 xy 或24540 xy 研究单调性步骤 分析 y f x 定义域 求导数 解不 等式 f x 0 得增区间 解不等式 f x 0 得减区间 注 意 f x 0 的点 如 设0 a函数axxxf 3 在 1 上 单调函数 则实数a的取值范围 答 03a 求极值 最值步骤 求导数 求0 x f的根 检验 x f 在 根左右两侧符号 若左正右负左正右负 则 f x 在该根处取极大 值 若左负右正左负右正 则 f x 在该根处取极小值 把极值与 区间端点函数值比较 最大的为最大值 最小的是最小 值 如 1 1 函数51232 23 xxxy在 0 3 上的最 大值 最小值分别是 答 5 15 2 2 已 知函数 32 f xxbxcxd 在区间 1 2 上是减函数 那么b c有最 值 答 大 15 2 3 3 方程 01096 23 xxx的实根的个数为 答 1 特别提醒特别提醒 1 1 0 x是极值点的充要条件是 0 x点两侧导 数异号 而不仅是 0 fx 0 0 fx 0 是 0 x为极值点的 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心14 必要而不充分条件必要而不充分条件 2 2 给出函数极大 小 值的条件 一定要既考虑 0 0fx 又要考虑检验 左正右负左正右负 左负右正左负右正 的转化 否则条件没有用完 这一点 一定要切记 如 函数 322 1f xxaxbxax 在处有极 小值 10 则 a b 的值为 答 7 三 数列 26 an 2 1 1 1 NnnSS nS nn 注意验证 a1是否包含在 an 的公式中 27 2 2 111 中项常数 等差 Nnnaaadaaa nnnnnn 0 2 BAbaBnAnsbana nn 的二次常数项为一次 2 nn 1n 1 n 1n aaa n2 nN a q a0 n n a a 等比定 m aa 1 1n n n n qmmsq 如如若 n a是等比数列 且3n n Sr 则r 答 1 28 首项正的递减 或首项负的递增 等差数列前 n 项 和最大 或最小 问题 转化为解不等式 0 0 0 0 11 n n n n a a a a 或 或 用二次函数处理 等比前 n 项积 由此你能求一般 数列中的最大或最小项吗 如 如 1 1 等差数列 n a中 1 25a 917 SS 问此数列前多少项和最大 并求此最大 值 答 前 13 项和最大 最大值为 169 2 2 若 n a是等差数列 首项 1 0 a 20032004 0aa 20032004 0aa 则使 前n项和0 n S 成立的最大正整数n是 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心15 答 4006 29 等差数列中 an a1 n 1 d Sn d nn na 2 1 1 d nn nan 2 1 2 1n aan 等比数列中 an a1 qn 1 当 q 1 Sn na1 当 q 1 Sn q qa n 1 1 1 q qaa n 1 1 30 常用性质 等差数列中 an am n m d nm aa d nm 当 m n p q am an ap aq 等比数列中 an amqn m 当 m n p q aman apaq 如 如 1 1 在等比数列 n a中 3847 124 512aaa a 公比 q 是整数 则 10 a 答 512 2 2 各项均为 正数的等比数列 n a中 若 56 9aa 则 3132310 logloglogaaa 答 10 31 常见数列 an bn 等差则 kan tbn 等差 an bn 等比则 kan k 0 n b 1 anbn n n b a 等比 an 等 差 则 n a c c 0 成等比 bn bn 0 等比 则 logcbn c 0 且 c 1 等差 32 等差三数为 a d a a d 四数 a 3d a d a d a 3d 等比三数可设 a q a aq 四个数成等比的错误设 法 a q3 a q aq aq3 为什么 如如有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心16 成等比数列 且第一个数与第四个数的和是 16 第二 个数与第三个数的和为 12 求此四个数 答 15 9 3 1 或 0 4 8 16 33 等差数列 an 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm S2m Sm S3m S2m S4m S3m 仍为等差数列 等比数列 an 的任意连续 m 项的和且不为零时不为零时构成的 数列 Sm S2m Sm S3m S2m S4m S3m 仍为等比数 列 如 公比为 1 时 4 S 8 S 4 S 12 S 8 S 不成等比数 列 34 等差数列 an 项数 2n 时 S 偶 S奇 nd 项数 2n 1 时 S 奇 S偶 an 项数为n2时 则q S S 奇 偶 项数为奇数 21n 时 1 SaqS 奇偶 35 求和常法 公式 分组 裂项相消 错位相减 倒 序相加 关键找通项结构 分组法求数列的和 如 an 2n 3n 错位相减法求和 如 an 2n 1 2n 裂项法求和 如求和 111 1 12123123n 答 2 1 n n 倒 序相加法求和 如如 求证 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心17 012 35 21 1 2 nn nnnn CCCnCn A 已知 2 2 1 x f x x 则 111 1 2 3 4 234 fffffff 答 7 2 36 求数列 an 的最大 最小项的方法 函数思想 an 1 an 0 0 0 如 an 2n2 29n 3 1 1 1 1 n n a a an 0 如 an n n n 10 1 9 an f n 研 究函数 f n 的增减性 如 an 156 2 n n 求通项常法 1 已知数列的前 n 项和 n s 求通 项 n a 可利用公式 2 n SS 1 n S a 1nn 1 n 如 如 数列 n a满足 12 2 111 25 222 n n aaan 求 n a 答 1 14 1 2 2 n n n a n 2 先猜后证 3 递推式为 1n a n a f n 采用累加法 1n a n a f n 采用累积法 如如已知数列 n a满足 1 1a nn aa nn 1 1 1 2 n 则 n a 答 121 n an 4 构造法形如形如 1nn akab 1 n nn akab k b为常数 的递推数列如如 已知 11 1 32 nn aaa 求 n a 答 1 2 31 n n a A 5 涉及递推公式的问题 常借助于 迭代法 解决 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心18 适当注意以下 3 个公式的合理运用 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 an 1 1 2 2n 1n 1n n a a a a a a a 6 倒数法形如形如 1 1 n n n a a kab 的递推数列都可以用倒数 法求通项 如如 已知 1 1 1 1 31 n n n a aa a 求 n a 答 1 32 n a n 已知数列满足 1 a 1 11nnnn aaa a 求 n a 答 2 1 n a n 37 常见和 1 123 1 2 nn n 2221 12 1 21 6 nn nn 33332 1 123 2 n n n 四 三角四 三角 38 终边相同 2k 弧长公式弧长公式 lR 扇形 面积公式 211 22 SlRR 1 弧度 1rad 57 3 如 如已 知扇形 AOB 的周长是 6cm 该扇形的中心角是 1 弧度 求该扇形的面积 答 2 2 cm 39 函数 y sin xAb 0 0 A 五点法作图 振幅 相位 初相 周期 T 2 频率 k 时奇函数 k 2 时偶函数 对称轴处对称轴处 y y 取最值取最值 对称中心处 值为 0 余弦正切可类比 如 如 1 1 函数 5 2 2 ysinx 的 奇偶性是 答 偶函数 2 2 已知函数 3 1f x axbsin x a b 为常数 且57f 则 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心19 5f 答 5 3 3 函数 cos sincos2xxxy 的图象的对称中心和对称轴分别是 答 1 28 k kZ 28 k x kZ 4 4 已知3f x sin x cos x 为 偶函数 求 的值 答 6 k kZ 变换 正左移负右移 b 正上移负下移 sin sin sin 1 xyxyxy 倍 横坐标伸缩到原来的 左或右平移 sin sinsin 1 xyxyxy 左或右平移倍横坐标伸缩到原来的 bxAyxAy bA sin sin 上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的 40 正弦定理 2R A a sin B b sin C c sin 内切圆半径 r cba S ABC 2 余弦定理 a 2 b2 c2 2bc Acos bc acb A 2 cos 222 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 术语 坡度 仰角 俯角 方位角 以特定基准方向为 起点 一般为北方 依顺时针方式旋转至指示方向所 在位置 其间所夹的角度称之 方位角 的取值范围 是 0 360 等 41 同角基本关系 如 已知1 1tan tan 则 cossin cos3sin 2cossinsin 2 答 3 5 5 13 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心20 42 诱导公式简记 奇变偶不变 符号看象限 注意 公式中始终视 为锐角 43 重要公式 2 2cos1 sin2 2 2cos1 cos2 sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan 2 sin 2 cos 2 sin 2 cossin1 2 如 如 函数 2 55 3f x sinxcos xcos x 5 3 2 xR 的单调 递增区间为 答 5 1212 k k kZ 巧变角 巧变角 如 2 2 2 2 222 等 如 如 1 1 已知 2 tan 5 1 tan 44 那么tan 4 的值是 答 3 22 2 2 已知 为锐角 sin cosxy 3 cos 5 则y与x的函数关系为 答 2 343 1 1 555 yxxx 4444 辅助角公式中辅助角的确定 辅助角公式中辅助角的确定 22 sincossinaxbxabx 其中tan b a 如 1 1 当 函数23ycos xsinx 取得最大值时 tanx的值是 答 3 2 2 2 如果 sin2cos f xxx 是 奇函数 则tan 答 2 五 平面向量 45 向量定义 向量模 零向量 单位向量 相反向 量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 a的相反 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心21 向量是 a 共线向量 相等向量 注意注意 不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段 为什么 向量可以 平移 46 加 减法的平行四边形与三角形法则 ACBCAB CBACAB 47 bababa 41 5 向量数量积的性质向量数量积的性质 设两个非零向量a b 其夹角为 则 0aba b 当a b同向时 a b a b 特别地 2 22 aa aaaa 当a与b反向时 a b a b 当 为锐角时 a b 0 且 a b 不同向 0a b 是是 为锐角为锐角 的必要非充分条件的必要非充分条件 当 为钝角时 a b 0 且 a b 不 反向 0a b 是是 为钝角的必要非充分条件为钝角的必要非充分条件 a ba b 如 如 1 1 已知 2 a 2 3 b 如果 a与 b的夹角为锐角 则 的取值范围是 答 4 3 或0 且 1 3 48 向量 b b 在a方向上的投影 b b cos a ba 49 1 e和 2 e是平面一组基底 则该平面任一向量 2211 eea 21 唯一 特别 OP 12 OAOB 则 12 1 是三点 P A B 共线的充要条件如充要条件如平面直角坐标系中 O为坐标原点 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心22 已知两点 1 3 A 3 1 B 若点C满足 OC OBOA 21 其中 R 21 且1 21 则点C的轨迹是 答 直线 AB 50 在ABC 中 1 3 PGPAPBPC G为ABC 的重心 特别地0PAPBPCP 为ABC 的重心 PA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心 向量 0 ACAB ABAC 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在直线 0AB PCBC PACA PBP ABC 的内心 S AOB ABBA yxyx 2 1 如 1 1 若 O 是ABCA所在平面内一点 且满足 2OBOCOBOCOA 则ABCA的形状为 答 直 角三角形 2 2 若D为ABC 的边BC的中点 ABC 所 在平面内有一点P 满足0PABPCP 设 AP PD 则 的值为 答 2 3 3 若点O是ABC 的外心 且 0OAOBCO 则ABC 的内角C为 答 120 51 P 分 21P P的比为 则PP1 2 PP 0 内分 0 且 1 外分 OP 1 21 OPOP 若 1 则OP 2 1 1 OP 2 OP 设 P x y P1 x1 y1 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心23 P2 x2 y2 则 1 1 21 21 yy y xx x 中点 2 2 21 21 yy y xx x 重心 3 yyy y 3 xxx x 321 321 52 点 yxP按 kha 平移得 yxP 则 PP a 或 kyy hxx 函数 xfy 按 kha 平移得函数方程为 hxfky 如如 1 1 按向量a 把 2 3 平移到 1 2 则按向量a 把点 7 2 平移到点 答 2 2 函数 xy2sin 的图象按向量 a平移后 所得函数的解析式是 12cos xy 则 a 答 1 4 六 不等式 53 注意课本上的几个性质 另外需要特别注意 若 ab 0 则 ba 11 即不等式两边同号时 不等式两 边取倒数 不等号方向要改变 如果对不等式两边 同时乘以一个代数式 要注意它的正负号 如果正负 号未定 要注意分类讨论 如 已知11xy 13xy 则3xy 的取值范围是 答 137xy 5454 比较大小的常用方法 比较大小的常用方法 1 作差 作差后通过分 解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作 商 常用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心24 用函数的单调性 7 寻找中间量与 0 比 与 1 比或放缩法 8 图象法 其中比较法 作差 作商 是最基本的方法 如 如 1 1 设0 10 taa且 比 较 2 1 loglog 2 1 t t aa 和的大小 答 当1a 时 11 loglog 22 aa t t 1t 时取等号 当01a 时 11 loglog 22 aa t t 1t 时取等号 2 2 设2a 1 2 pa a 24 2 2 aa q 试比较qp 的大小 答 pq 55 常用不等式常用不等式 若0 ba 1 22 2 2211 abab ab ab 当且仅当ba 时取等号 2 a b c R R 222 abcabbcca 当且仅当 abc 时 取等号 3 若 0 0abm 则 bbm aam 糖水的浓度问题 如 如 如果正数a b满足3 baab 则ab的取值范围是 答 9 基本变形 ba 2 2 ba 注意注意 一正二定三取等一正二定三取等 积定和最小 和定积最大 常用的方法为 拆 凑 平方 如 函数 2 1 42 9 4 x x xy的最小值 答 8 若若21xy 则24 xy 的最小值是 答 2 2 正数 x y满足21xy 则 yx 11 的最小值为 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心25 答 32 2 56 bababa 何时取等 a a a a 57 证法 比较法 差比 作差 变形 分解或通分配 方 定号 另 商比 综合法 由因导果 分析法 执果索因 反证法 正难则反 放缩法放缩法方法有 添加或舍去一些项 如 aa 1 2 nnn 1 将分子或分母放大 或缩小 利用基本不等式 如 4lg16lg15lg 2 5lg3lg 5lg3log 2 2 1 1 nn nn 利用常用结论 kkk kk 2 1 1 1 1 kkkkk 1 1 1 1 11 2 1 11 1 11 2 kkkkk 程度大 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 11 22 kkkkkk 程度小 换元法 常用的换元有三角换元和代数换元 如 已知 222 ayx 可设 sin cosayax 已知1 22 yx 可设 sin cosryrx 10 r 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心26 已知1 2 2 2 2 b y a x 可设 sin cosbyax 已知1 2 2 2 2 b y a x 可设 tan secbyax 最值法 如 a fmax x 则 a f x 恒成立 58 解绝对值不等式 几何法 图像法 定义法 零 点分段法 两边平方 公式法 f x g x f x 0 参数方程 sinrby cosrax 直径式方程 x x1 x x2 y y1 y y2 0 75 若 x0 a 2 y0 b 2r2 则 P x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2内 上 外 76 直线与圆关系 常化为线心距与半径关系 如 用 垂径定理 构造 Rt 解决弦长问题 又 r 相离 d r 相切 dr R 两圆相离 d r R 两圆相外切 R r d r R 两圆相交 d R r 两圆相内切 db 0 参数方程 sinby cosax 定义 相应 d PF e2c e 2 2 a b 1 a c a2 b2 c2 长轴长为 2a2a 短轴长为 2b2b 焦半径左 PF1 a ex 右 PF2 a ex 左焦点弦 xx ea2AB BA 右焦点弦 xx ea2AB BA 准线 x c a2 通径 最短焦点弦 a b2 2 焦 准距 p c b2 21F PF S 2 tanb2 当 P 为短轴端点时 PF1F2最大 近地 a c 远地 a c 81 双曲线 方程1 b y a x 2 2 2 2 a b 0 定义 相应 d PF e 1 PF1 PF2 2a0 Ax By C 0 表示直线斜上侧区域 Ax By C0 Ax By C 0 表示直线斜右侧区域 Ax By C0 上 A x1 y1 B x2 y2 中点为 M x0 y0 则 KABKOM 2 2 a b 对抛物线 y2 2px p 0 有 KAB 21 yy p2 85 轨迹方程 直接法 建系 设点 列式 化简 定范 围 定义法 几何法 代入法 动点 P x y 依赖于动 点 Q x1 y1 而变化 Q x1 y1 在已知曲线上 用 x y 表 示 x1 y1 再将 x1 y1代入已知曲线即得所求方程 参数法 交轨法等 86 解题注意 考虑圆锥曲线焦点位置 抛物线还应注 意开口方向 以避免错误 求圆锥曲线方程常用待定系 数法 定义法 轨迹法 焦点 准线有关问题常用圆 锥曲线定义来简化运算或证明过程 运用假设技巧以 简化计算 如 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双 曲线 方程可设为 Ax2 Bx2 1 共渐进线x a b y 的双曲线 标准方程可设为 b y a x 2 2 2 2 为参数 0 抛物线 y2 2px 上点可设为 p2 y2 0 y0 直线的另一种假设为 x my a 解 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心36 焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义 87 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 1 1 给出直线的方向向量 ku 1 或 nmu 2 2 给出OBOA 与AB相交 等于已知OBOA 过 AB的中点 3 3 给出0 PNPM 等于已知P是MN的中点 4 4 给出 BQBPAQAP 等于已知 A B与PQ的 中点三点共线 5 5 给出以下情形之一 ACAB 存在实 数 ABAC 且 若存在实数 1 OCOAOB 且且 等于已知CBA 三点共线 6 6 给出 1 OBOA OP 等于已知P是AB的定比 分点 为定比 即PBAP 7 7 给出0 MBMA 等于已知MBMA 即 AMB 是直角 给出0 mMBMA 等于已知AMB 是钝角 给出0 mMBMA 等于已知AMB 是锐角 8 8 给出MP MB MB MA MA 等于已知MP是AMB 的 平分线 9 9 在平行四边形ABCD中 给出 0 ADABADAB 等于已知ABCD是菱形 1010 在平行四边形ABCD中 给出 ABADABAD 等于已知ABCD是矩形 1111 在ABC 中 给出 222 OCOBOA 等于已知 O是ABC 的外心 三角形外接圆的圆心 三角形的外 心是三角形三边垂直平分线的交点 1212 在ABC 中 给出0 OCOBOA 等于已知 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心37 O是ABC 的重心 三角形的重心是三角形三条中线的 交点 1313 在ABC 中 给出OAOCOCOBOBOA 等 于已知O是ABC 的垂心 三角形的垂心是三角形三条 高的交点 1414 在ABC 中 给出 OAOP ABAC ABAC R 等于已知AP通过ABC 的内心 1515 在ABC 中 给出 0 OCcOBbOAa等于已 知O是ABC 的内心 三角形内切圆的圆心 三角形的 内心是三角形三条角平分线的交点 1616 在ABC 中 给出 1 2 ADABAC 等于已知 AD是ABC 中BC边的中线 九 排列 组合 二项式定理 88 计数原理 分类相加分类相加 每类方法都能独立地完成 这件事 它是相互独立的 一次的且每次得出的是最 后的结果 只需一种方法就能完成这件事 分步相乘分步相乘 一步得出的结果都不是最后的结果 任何一步都不 能独立地完成这件事 只有各个步骤都完成了 才能 完成这件事 各步是关联的 有序排列 无序组有序排列 无序组 合合 如 如 1 1 将 5 封信投入 3 个邮筒 不同的投法共有 种 答 5 3 2 2 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中 任意取出 3 台 其中至少要甲型与乙型电视机各一台 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心38 则不同的取法共有 种 答 70 3 3 从集合 1 2 3和 1 4 5 6中各取一个元素作为点的坐标 则在直 角坐标系中能确定不同点的个数是 答 23 4 4 72 的正约数 包括 1 和 72 共有 个 答 12 5 5 A 的一边 AB 上有 4 个点 另一边 AC 上有 5 个点 连同A 的顶点共 10 个点 以这些点为顶点 可以构成 个三角形 答 90 89 排列数公式 m n A n n 1 n 2 n m 1 mn n m n m n N 0 1 n n A n n n n 1 n 1 1 m n m n nAA 1 1 m n m n m n mAAA 90 组合数公式 123 2 1 1 1 mmm mnnn m A C m nm n mnm n m n 1 0 n C r n r n r n mn n m n CCCCC 1 1 CCCC 1r 1n r n r 1r r r 1 1 m n m n C m n C 91 主要解题方法 优先法 特殊元素优先或特殊 位置优先 如 如 某单位准备用不同花色的装饰石材分 别装饰办公楼中的办公室 走廊 大厅的地面及楼的 外墙 现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选 择 其中 1 号石材有微量的放射性 不可用于办公室 内 则不同的装饰效果有 种 答 300 捆 绑法如 如 1 1 把 4 名男生和 4 名女生排成一排 女生要 状元资料吧 读经品资料 上名牌大读经品资料 上名牌大 学学 用心 爱心 专心39 排在一起 不同的排法种数为 答 2880 2 2 某人射击 枪 命中 枪 枪命中中恰好有 枪连在一起的情况的不同种数为 答 20 插空法如 如 1 1 3 人坐在一排八个座位上 若每人的左 右两边都有空位 则不同的坐法种数有 种 答 24 2 2 某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成 节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个 节目插入原节目单中 那么不同的插法种数为 答 42 间接扣除法如如在平面直角坐标系中 由六个点 0 0 1 2 2 4 6 3 1 2 2 1 可 以确定三角形的