论文--浅谈导数的应用

浅谈导数的应用 摘要 法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想 导数是我们进一步学 习数学和其他自然科学的基础 是研究现代科学技术中必不可少的工具 我们要明 确导数的内涵 知道运用导数思想解题的方法 从而通过提出问题的数学特征 建 立导数关系的数学模型 一般地 导数思想是从构造函数利用导数函数的性质 解 决不同类型的问题 导数思想在中学数学 高等数学以及我们日常生活中占有极其 重要的地位 本文详细介绍导数思想的内涵和本质 使人们对导数的内容有更深的 理解 以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想 从而优化解决问题的过程 关键词 极限 导数 微分 1 Shallowly Discusses the Application of Derivative Abstract To study extremely problems French mathematician Fermat brought in derivative idea Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further an indispensable tool in research of modern science and technology We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem On average we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems The derivative idea plays an important part in middle school math advanced math and our daily life In this chapter the concept and essence of derivative are introduced to deepen people s understanding in math and help to simplify people s derivative Key words Limit Derivative Differential 2 0 引 言 导数来源于人类的社会实践 服务于人类的社会实践 导数是人类进一步学 1 习数学和其他自然科学的基础 用导数来研究函数的性质 是研究现代科学技术中 必不可少的工具 导数是在极限概念的基础上建立起来的 是微分学的一个重要概 念 也是一个重要的解题方法 学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的 切线方程 导数还是对函数图像与性质的总结和概括 是研究函数单调性的最佳的重 要工具 是初等数学和高等数学的重要衔接点 导数还可以解决生产和生活中的最 优决策和最优设计问题 即最大值 最小值问题 1 导数的产生和发展 导数概念是根据解决实际问题的需要 在极限的基础上建立起来的 它是微 9 分学中最重要的概念 而微分是微分学中又一个重要的概念 它与导数有密切的关 系 两者在科学技术中有着广泛的应用 我们知道在一定条件下一个函数在某点可 导和可微是等价的 大部分高等数学 经济数学和数学分析课本中都是先引进导数 的概念 再引进微分的概念 到底导数和微分这两个概念 哪个概念产生在前 哪 个概念产生在后呢 1 1 微分概念的导出背景 当一个函数的自变量有微小的改变时 它的因变量一般来说也会有一个相应的 改变 微分的原始思想在于寻找一种方法 当因变量的改变也是很微小的时候 能 够简便而又比较精确的估计出这个改变量 我们来看一个简单的例子 维持物体围 绕地球作永不着地 理论上 的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度 在中学 3 里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为 7 9 千米 秒 现在我们改用另 一种思路去推导它 设卫星当前时刻在地球表面附近的点沿着水平方向飞行 假如没有外力影响A 的话 那么它在一秒钟后本应到达点 但事实上它要受到地球的引力 因而实际B 到达的而是点 4 9 米是自由落体的物体在重力加速度的作用下 第一秒中CBC 所走过的距离 容易看出 如果点与地心的距离是相等的 那么由运动的独立CO 性原理 就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行 也就是作环绕地球 飞行了 因此 卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段的长度 是直角三ABABC 角形 和可近似的取为地球的平均半径 6371 千米 也就是 6371000 米 于OAOC 是由勾股定理即可求其加速度 1 2 产生导数的实际背景 从数学的发展历史来看 导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的 也就是 说 人们先有了微分的概念 随后才发现 对于处理微分问题来说 像这么一种特 定形式的极限 即导数 是一个有力的工具 从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想 但与导数概念直接联 系的是以下两个问题 已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线 这是由英国数 学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的 3 用导数思想来处理微分问题 因为一方面 从微分的形式来看 在比较复杂 10 的情况下 比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等 无论是形式的思 考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些 并且导数 有它本身的意义 在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色 1 3 导数的概念 1 函数在点处的导数可以写成以下形式 xfy 0 x 4 0 00 0 0 lim xx xfhxf xf xx 2 导数的物理意义和几何意义 函数在点处的导数是函数在该点处的 xfy x 4 平均变化率的极限 因而它反映了客观运动的瞬时变化率 在几何学上 x y 在某点处的导数表示函数的图形在点处的切线斜率 xfy 0 xf 0 xfy 00 y x 即 其中是过点的切线的倾角 0 tanx f 00 y x 7 2 导数的应用 2 1 导数在中学数学中的应用 在中学数学中 常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程 还会用到导数的 单调性以及用导数求极值点和最值的问题 由此可见 导数在中学数学中的应用是 十分广泛的 不妨通过以下例题来说明 例例 1 1 已知数列 问数列中是否有最大项 若有 请求 6 n a 1 10 9 na n n 出最大项 若没有 请说明理由 解解 因为数列是一种特殊的函数关系 是离散的 不能直接求导 所以可设 同时取对数后求导可得 1 10 9 xy x 0 x 1 1 10ln9ln1 10 9 x xy x 令 得 当时 当时 且0 y 4877 8 x4877 8 0 x0 y 4877 8 x0 y 有唯一解 当时 最大 故或时 最大 4877 8 x y 8 n9 n n a 8 98 10 9 9 aa 2 11 利用导数求曲线的切线方程 归纳起来有两种问题类型 下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题 情况一 设为可导函数 求过点作 的切线方 xfy 000 yxmC xfy 程 1 若 即 则 过的切线方 Cyxm 000 xfy 00 xfy 0 xfk 0 m 程为 000 xxxfyy 5 2 若 即 可设切点 则过的 Cyxm 000 00 xfy 111 yxm 11 xfy 1 m 切线方程为 此切线过 于是可由 111 xxxfxfy 0 m 解出 因而过的切线方程为 10110 xxxfxfy 1 x 0 m 111 xxxfxfy 或 010 xxxfyy 情况二 设 为可导函数 曲线 与曲线 xfy xgy p xfy q 相切 求切线方程 xgy 解 由于两曲线 相切 必须假设公切点满足 即pq 000 yxmpm 0 qm 0 1 00 xfy 2 00 xgy 又因为两曲线在公切点处切线的斜率相等 即 0 m 3 00 xgxf 解 1 2 3 式 可得公切点坐标 从而求得公切线方程 000 yxm 2 12 三角函数的问题 此类问题同样可以用导数的思想来解决 例如 可以利用导数求三角函数的周 期 还可以判断其奇偶性 以及求其单调区间等 下面先考虑两个结论 1 可导的偶函数的导函数是奇函数 可导的奇函数的导函数是偶函数 证明 设是可导的偶函数 有且即 xf xfxf xfxf 所以 即有的导数为奇函数 同理可 xfxf xfxf xf x f 证奇函数的导函数是偶函数 2 可导的周期函数 其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期 证明 设为可导的周期函数 其周期为 根据周期定义有 xft 于是有 xfntxf 2 1 0 n xfntxf 6 例例 2 2 设函数 图像上一条对称轴是直 6 xxf2sin 0 xfy 线 1 求 2 求函数的单调区间 3 证明直线 8 x xfy 与函数的图像不相切 025 cyx xfy 解解 1 因为 又因为图像的一条对称轴是直线 知 xxf2cos2 8 x 则有 所以 1 2 又0 8 f0 4 cos 24 kk 所以 0 4 3 2 由前问而考虑到端点值有 4 3 2cos2xxf0y 即函数的斜率的取值范围为 而直线 3 222 42 kxk xfy 2 2 的斜率为 则直线与曲线的图像不相切 520 xyc 5 2 2 数学是具有高度抽象性和概括性的学科 通过导数可以培养学生的科学概括 深入钻研 自觉纠错的良好的思维品质 可以使学生养成严格的推理习惯和全面分 析问题的能力 2 2 导数在高等数学中的应用 2 21 利用洛必达法则 泰勒公式求极限 例例 3 3 求极限 2 x x x e x 1 1 0 1 lim 解解 因为 1 1 1 00 2 0 1 1 1 limlimexpln ln 1 limexp x x x xx x xx exe xx x 7 而利用洛必达法则 e e x x x x xx x x x xx 1 1 0 0 2 0 1 lim 2 1 2 1 1 1 lim 1ln lim 利用洛必达法则求极限要注意以下几点 验证所求的极限式是不是或 0 0 型 如果不是 要将其转化为或型 在求极限之前 应首先利用等价无穷小 0 0 代换或通过其他变形 如有理化 变量代换 把未定式代换成最简式 洛必达法则 可以反复多次使用 只要满足其前提条件即可 如果不存在 不能判定 xg xf lim 也不存在 xg xf lim 2 22 利用函数单调性 中值定理 泰勒公式 最值证明不等式此类问题的解决方 法 两种思路 1 利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左 端 把其中的某个字母 比如 改为 并把左端的函数记为 利用函数的ax xF 单调性证明或 若要证明的不等式是 一般是构造函数 0 xF 0 xF xgxf 利用的符号判断它的单调性 2 证明数列极限形式 须 xgxfxF x F 将离散变量转换为连续变量 再用洛必达法则 如下所示 例例 4 4 求极限 5 2 11 lim 1 n x nn 解解 先求函数极限 取对数后的极限式为 x x xx 2 11 1lim 8 1 1 2 lim 1 2 1 12 lim 1 ln1ln lim 11 1lnlim 2 2 2 2 22 2 xx xx x xxx x x xxx xx x xx xx 所以有归结原则可得 2 11 lim 1 n x nn e xx x x 2 11 1lim 2 23 函数极值及相关问题 例例 5 5 设在上二阶可导且 证明 7 xf 1 xf 400 22 ff 存在 使得 0 ff 证明证明 有题设和欲证的结论 可以将辅助函数设成 那么 22 xfxfxF 就存在 使得 同理存在使得 0 2 20 20 ff f 2 0 则 故在内取得最 1 20 20 ff f 2 40 2 FFF xF 大值 2 3 导数在经济学中的应用 2 31 常见的经济函数 需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求 一种商品的需求量与Q 该商品的价格密切相关 如果不考虑其他因素的影响 则商品的需求量可以看作P 是价格的函数 即需求函数 需求量随价格的上升而减少 P PQQ 供给函数是指在某一时期内 生产者在一定价格条件下 愿意并可能出售的产 品 一种商品由生产者向社会提供的数量与该商品价格有关 在不考虑其他因QP 素的条件下 商品的供给量也可以看作是价格 P 的函数 也就是供应函数Q 9 pQQ 例例 6 6 厂商的总收益函数和总成本函数分别为和 8 2 30QQQR 政府对产品的征税 求 1 厂商纳税前的最大利润及此时的产 12 2 QQQC 量和价格 2 征税收益的最大值及此时的税率 t 3 厂商纳税后的最大利润及此 时的产品价格 解解 1 纳税前的利润函数为 12821230 222 QQQQQQL 当时 利润最大 且 此时价格 7 Q 977 L30723p 2 纳税后的总成本函数为 税后利润函数为TtQ 2 21 t CQQtQ 获得最大利润的条件是 由 QCQRQL t dQ QdC dQ QdR t 30222QQt 得 经过纳税后的最大利润的产量为 于是征税的收益函数为 0 28 4 t Q 0 Q 求最大值即可 当 此时 征税的收益最大 2 0 28 4 1 tttQT 0 14t 0 7 2 Q 其值为 00 49Tt Q 3 纳税后利润函数 当 tQQQQCQRQL t 1228 2 14 t 时 最大利润 此时产品的价格为 7 2 Q max 1 23 2 L 53 2 例例 7 7 新产品的推销与广告 8 1 新产品的推销 一种新产品问世 经营者要关心产品的卖出情况 下面我们 根据两种不同的假设来估算两种推销的速度 假设 1 假设产品以自然推销的方式卖出 换句话说 被卖出的产品实际上起 着宣传作用 吸引着未购买的消费者 设产品总数与时刻 的关系为 再假设每t tx 一产品在单位时间内平均吸引位顾客 则满足微分方程 k x t 4 kxtx 设初始条件为 10 5 0 0 xx 则易得到上述微分方程的解为 6 kt extx 0 这是指数假设 下面我们对结果 6 式进行分析与验证 经过与实际情况比较 发现 6 式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符 在产品卖出之初 时 显然 这是由 6 式得的 这一结果与事实不符 产生这一错0 t0 x 0 tx 误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的 便不可能进行任何推销 事实上 厂家在产品销售之初 往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的 令 若t 针对某种耐用商品而言 这显然与事实不符 事实上 往往是有上界的 针对 tx 假设 1 的上述分析的缺陷 我们用下面的假设 2 来改进 假设 2 设需求量的上界为 假设经营者可通过其他方式推销产品 这样产M 品的增长也与尚未购买产品的顾客有关 故与成正比 比例系数为 t x xMx k 则满足 tx 7 xMkxtx 再加上初始条件 8 0 0 xx 利用分离变量方法易求得上述微分方程的解 9 kMt exMx Mx tx 00 0 当时 若 则易从 9 式中得到 另外在 9 中令 易得到0 t 0 0 x 0 txt 这样从根本上解决了假设 1 的不足 由 7 式易得 即是关 Mtx 0 t x tx 于时刻 的单调增加函数 实际情况自然如此 产品的卖出量不可能越来越少 另外t 对 7 式两端求导得 故令得到 当 txxMktx 2 0 t x 2 0 M tx 时 由 得 即函数单调增加 同理 当 0 tt 0 t x 0 txtx 0 t x t x 11 时单调递减 这说明在销售量小于最大需求量的一半时 销售速度是不断 0 tt t x 增加的 销售量恰好达到最大需求量的一半时 该产品最为畅销 其后销售速度开 始下降 2 32 广告 在当今社会中 广告在商品推销中起着极其重要的作用 当生产者生产出一批 产品后 下一步便是思考更快更多的买出产品 由于广告的大众性和快捷性 其在 促销活动中备受经营者的青睐 当然 经营者在利用广告这一手段时自然要关心广 告与促销到底有何关系 广告在不同时期的效果如何 假设 1 独家销售的广告 首先 如下假设 1 商品的销售速度会因做广告而增加 但当商品在市场上趋于饱和时 销售速度会 趋于极限值 这是销售速度将开始下降 2 自然衰减是销售速度的一种性质 商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加 而减少 3 设为 时刻商品的销售速度 表示销售速度的上限 为衰减因子常 S ttM0 数 即广告作用随时间增加而自然衰减的速度 为 时刻的广告水平 以费用表 A tt 示 根据上面的假设 我们可以得到 10 tS M tS tAptS 1 其中为响应系数 即对的影响力 为常数 假设 1 当销售进行到某个p tA tSp 时刻时 无论怎样做广告 都无法阻止销售速度的下降 故选择如下广告策略 其中为常数 0 0 t A t At A 在时间内 设用于广告的花费为 则 代入 10 式有 0a a A 令 则有 a PS a M P tS PaPa brc M 12 11 cbStS 解 11 式得 12 b c ketS bt 给定初始值 则 12 式成为 0 0 SS 13 btbt eSe b c tS 0 1 当时 由的表达式 则 10 式变为 t A t 14 StS 其解为 15 t ketS 为保证销售速度不间断 我们在 13 式中取而得到 将其作为 14 式 S tt S 的初始值 故 15 式解为 16 t eStS 这样 联合 13 式与 16 式 我们得到 0 1 0 teS teSe b c tS t btbt 假设 2 竞争销售的广告 我们做如下假设 1 两家公司销售同一产品 而市场量有限 tM 2 每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的 比例系数为 i C1 2i 3 设是销售量 是可获得的市场 i tS1 2i tN 分析 根据题意显然有 tStStMtN 21 由假设 2 有 17 NCtS 1 13 18 NCtS 22 将上述二式相除 易得 19 tSCtS 132 其中为常数 对 19 式积分得 2 3 1 C C C 20 4132 CtSCtS 为积分常数 假设市场容量 为常量 则 4 C t etM 1 21 413 11CtSCetN t 再将 19 式代入 17 式得 22 CBeAStS t 11 其中 解方程 22 易得 311 CCA 1 CB 41 CCC 代入 20 式 得 3211 kekektS BtAt 23 3212 mememtS B