高考数学（理科）一轮复习直线、圆的位置关系学案有答案

1 / 19高考数学（理科）一轮复习直线、圆的位置关系学案有答案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课件m 学案 50直线、圆的位置关系导学目标：1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1直线与圆的位置关系位置关系有三种：_、_、_.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式 ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去 x 或 y 整理成一元二次方程后，计算判别式 (2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：dr_.2 / 192圆的切线方程若圆的方程为 x2y2r2，点 P(x0，y0)在圆上，则过P 点且与圆 x2y2r2 相切的切线方程为_注：点 P 必须在圆 x2y2r2 上经过圆(xa)2(yb)2r2 上点 P(x0，y0)的切线方程为_3计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|1k2|xAxB|24xAxB.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法4圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_、_、_、_、_.判断圆与圆的位置关系常用方法：3 / 19(几何法)设两圆圆心分别为 o1、o2，半径为r1、r2(r1r2)，则|o1o2|r1r2_；|o1o2|r1r2_；|r1r2|r1r2_；|o1o2|r1r2|_；0|o1o2|r1r2|_ (2)已知两圆 x2y2D1xE1yF10 和x2y2D2xE2yF20 相交，则与两圆共交点的圆系方程为_，其中 为 1 的任意常数，因此圆系不包括第二个圆当 1 时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.自我检测1(XX江西)直线 ykx3 与圆(x3)2(y2)24 相交于 m，N 两点，若|mN|23，则 k 的取值范围是()A.34，0B.，340，c.33，33D.23，02圆 x2y24x0 在点 P(1，3)处的切线方程为()Ax3y20Bx3y404 / 19cx3y40Dx3y203(XX宁夏调研)圆 c1：x2y22x2y20与圆 c2：x2y24x2y10 的公切线有且仅有()A1 条 B2 条c3 条 D4 条4过点(0,1)的直线与 x2y24 相交于 A、B 两点，则|AB|的最小值为()A2B23c3D255(XX聊城月考)直线 yx1 与圆 x2y21的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心c直线过圆心 D相离探究点一直线与圆的位置关系例 1已知圆 c：x2y22x4y30.(1)若圆 c 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 c 外一点 P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为m，o 为坐标原点，且有|Pm|Po|，求使得|Pm|取得最小值时点 P 的坐标变式迁移 1从圆 c：(x1)2(y1)21 外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方5 / 19程探究点二圆的弦长、中点弦问题例 2(XX汉沽模拟)已知点 P(0,5)及圆c：x2y24x12y240.(1)若直线 l 过点 P 且被圆 c 截得的线段长为 43，求 l 的方程；(2)求过 P 点的圆 c 的弦的中点的轨迹方程变式迁移 2已知圆 c：x2y26x8y210 和直线 kxy4k30.(1)证明：不论 k 取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当 k 取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长探究点三圆与圆的位置关系例 3已知圆 c1：x2y22mx4ym250，圆c2：x2y22x2mym230，m 为何值时，(1)圆 c1 与圆 c2 相外切；(2)圆 c1 与圆 c2 内含变式迁移 3已知A：x2y22x2y20，B：x2y22ax2bya210.当 a，b 变化时，若B 始终平分A 的周长，求：(1)B 的圆心 B 的轨迹方程；6 / 19(2)B 的半径最小时圆的方程探究点四综合应用例 4已知圆 c：x2y22x4y40.问在圆 c 上是否存在两点 A、B 关于直线 ykx1 对称，且以 AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线 AB 的方程；若不存在，说明理由变式迁移 4已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l与圆 c：(x2)2(y3)21 相交于 m、N 两点(1)求实数 k 的取值范围；(2)若 o 为坐标原点，且 omoN12，求 k 的值1求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条2解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式这就是通常所说的“几何法”和“代数法” 3判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手(满分：75 分)7 / 19一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1直线 l：y1k(x1)和圆 x2y22y0 的位置关系是()A相离 B相切或相交c相交 D相切2(XX珠海模拟)直线 3xym0 与圆x2y22x20 相切，则实数 m 等于()或3B3 或 33c33 或 3D33 或 333过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2y24y0 所截得的弦长为()2234若圆(x3)2(y5)2r2 上有且仅有两个点到直线4x3y20 的距离为 1，则半径 r 的取值范围是()A(4,6)B4,6)c(4,6D4,65(XX全国)已知圆 o 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PAPB的最小值为()A42B32c422D3228 / 19二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为 23，则 a_.7(XX三明模拟)已知点 A 是圆c：x2y2ax4y50 上任意一点，A 点关于直线x2y10 的对称点也在圆 c 上，则实数 a_.8(XX杭州高三调研)设直线 3x4y50 与圆c1：x2y24 交于 A，B 两点，若圆 c2 的圆心在线段 AB上，且圆 c2 与圆 c1 相切，切点在圆 c1 的劣弧上，则圆 c2的半径的最大值是_三、解答题(共 38 分)9(12 分)圆 x2y28 内一点 P(1,2)，过点 P 的直线 l 的倾斜角为 ，直线 l 交圆于 A、B 两点(1)当 34 时，求 AB 的长；(2)当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程10(12 分)(XX湛江模拟)自点 A(3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2y24x4y70 相切，求光线 l 所在直线的方程11(14 分)已知两圆 x2y22x6y10 和x2y210x12ym0.求：9 / 19(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)m45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长学案 50直线、圆的位置关系自主梳理1相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离y0yr2(x0a)(xa)(y0b)(yb)r24.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0自我检测1A课堂活动区例 1解题导引(1)过点 P 作圆的切线有三种类型：当 P 在圆外时，有 2 条切线；当 P 在圆上时，有 1 条切线；当 P 在圆内时，不存在(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类(3)切线长的求法：10 / 19过圆 c 外一点 P 作圆 c 的切线，切点为 m，半径为 R，则|Pm|Pc|2R2.解(1)将圆 c 配方得(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由|k2|1k22，解得 k26，得 y(26)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 xya0，由|12a|22，得|a1|2，即 a1，或 a3.直线方程为 xy10，或 xy30.综上，圆的切线方程为 y(26)x，或 y(26)x，或 xy10，或 xy30.(2)由|Po|Pm|，得 x21y21(x11)2(y12)22，整理得 2x14y130.即点 P 在直线 l：2x4y30 上当|Pm|取最小值时，即 oP 取得最小值，直线 oPl，直线 oP 的方程为 2xy0.解方程组 2xy0，2x4y30，得点 P 的坐标为310，35.变式迁移 1解设圆切线方程为 y3k(x2)，11 / 19即 kxy32k0，1|k22k|k21，k34，另一条斜率不存在，方程为 x2.切线方程为 x2 和 3x4y60.圆心 c 为(1,1)，kPc31212，过两切点的直线斜率为12，又 x2 与圆交于(2,1)，过切点的直线为 x2y40.例 2解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为 k，直线与圆 c 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点 c 到 l 的距离为 d，圆的半径为 r.方法一代数法：弦长|AB|1k2|x2x1|1k224x1x2；方法二几何法：弦长|AB|2r2d2.(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系解(1)方法一如图所示，|AB|43，取 AB 的中点 D，连接 cD，则cDAB，连接 Ac、Bc，则|AD|23，|Ac|4，在 RtAcD 中，可得|cD|2.12 / 19当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y5kx，即 kxy50.由点 c 到直线 AB 的距离公式，得|2k65|k222，解得 k34.当 k34 时，直线 l 的方程为 3x4y200.又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线的方程为 3x4y200 或 x0.方法二当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y5kx，即 ykx5.联立直线与圆的方程ykx5，x2y24x12y240，消去 y，得(1k2)x2(42k)x110.设方程的两根为 x1，x2，由根与系数的关系，得x1x22k41k2，x1x2111k2.由弦长公式，得 1k2|x1x2|24x1x243.13 / 19将式代入，解得 k34，此时直线方程为 3x4y200.又 k 不存在时也满足题意，此时直线方程为 x0.所求直线的方程为 x0 或 3x4y200.(2)设过 P 点的圆 c 的弦的中点为 D(x，y)，则 cDPD，即 cDPD0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为 x2y22x11y300.变式迁移 2(1)证明由 kxy4k30，得(x4)ky30.直线 kxy4k30 过定点 P(4,3)由 x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)224.直线和圆总有两个不同的交点(2)解kPc34431.可以证明与 Pc 垂直的直线被圆所截得的弦 AB 最短，因此过 P 点斜率为 1 的直线即为所求，其方程为y3x4，即 xy10.|Pc|341|22，|AB|2|Ac|2|Pc|222.例 3解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还14 / 19是从圆心距 d 与两圆半径和、差的关系入手解对于圆 c1 与圆 c2 的方程，经配方后c1：(xm)2(y2)29；c2：(x1)2(ym)24.(1)如果 c1 与 c2 外切，则有232.(m1)2(m2)225.m23m100，解得 m5 或 m2.(2)如果 c1 与 c2 内含，则有32.(m1)2(m2)20，得21，当 m5 或 m2 时，圆 c1 与圆 c2 外切；当21 时，圆 c1 与圆 c2 内含变式迁移 3解(1)两圆方程相减得公共弦方程2(a1)x2(b1)ya210.依题意，公共弦应为A 的直径，将(1，1)代入得 a22a2b50.15 / 19设圆 B 的圆心为(x，y)，xayb，其轨迹方程为 x22x2y50.(2)B 方程可化为(xa)2(yb)21b2.由得 b12(a1)242，b24，b215.当 a1，b2 时，B 半径最小，B 方程为(x1)2(y2)25.例 4解题导引这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以 AB 为直径的圆经过原点 o，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决因此能否将问题合理地转换是解题的关键解圆 c 的方程可化为(x1)2(y2)29，圆心为 c(1，2)假设在圆 c 上存在两点 A、B，则圆心 c(1，2)在直线ykx1 上，即 k1.于是可知，kAB1.设 lAB：yxb，代入圆 c 的方程，整理得 2x22(b1)xb24b40，4(b1)28(b24b4)0，解得332332.16 / 19设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2b1，x1x212b22b2.由 oAoB，知 x1x2y1y20，也就是 x1x2(x1b)(x2b)0，2x1x2b(x1x2)b20，b24b4b2bb20，化简得 b23b40，解得 b4 或 b1，均满足 0.即直线 AB 的方程为 xy40，或 xy10.变式迁移 4解(1)方法一直线 l 过点 A(0,1)且斜率为 k，直线 l 的方程为 ykx1.将其代入圆 c：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由题意：4(1k)24(1k2)70，得 473473.方法二同方法一得直线方程为 ykx1，即 kxy10.又圆心到直线距离d|2k31|k21|2k2|k21，d|2k2|k21473.(2)设 m(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得x1x244k1k2x1x271k2，17 / 19omoNx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14kk1(经检验符合题意)，k1.课后练习区1c617.109解(1)当 34 时，kAB1，直线 AB 的方程为 y2(x1)，即 xy10.(3 分)故圆心(0,0)到 AB 的距离 d|00