2010-2011第一学期概率统计(工)试题答案

1 20102010 20112011 学年第一学期学年第一学期概率论与数理统计概率论与数理统计 课程期末考试课程期末考试 工类工类 试题答案试题答案 一一 填空题填空题 每空每空 3 3 分 共分 共 3030 分分 1 1 设设 P A 0 5 P B 0 6 P A B 0 7 P A 0 5 P B 0 6 P A B 0 7 则则 P A B P A B 2 32 3 2 2 若若 X X 为为 0 0 1 1 区间上均匀分布 记区间上均匀分布 记 3 01 0 XA Y Y 表示对表示对 X X 进行进行 2525 次次 独立观测时事件独立观测时事件 A A 发生的次数 则发生的次数 则 E Y E Y 5 5 YVar 4 4 3 3 若随机变量若随机变量 21 X X 相互独立 且相互独立 且 X X 1 3 3 2 N X X 令 令 2 2 1 2 N 21 2XXX 则则X P 4 X 6 P 4 X 6 5 1 2 N 0 68260 6826 注注 1 1 为正态分布为正态分布 N 0 1 0 1 的分布函的分布函 x 数 数 8413 0 1 4 4 设随机变量设随机变量 的数学期望的数学期望 E X 7 E X 7 方差方差X Var X 5 Var X 5 用切比雪夫不等式估计得用切比雪夫不等式估计得 P 2 X 12 P 2 X 12 0 80 8 5 5 若若 2 21 nXXX n 为抽自正态总体为抽自正态总体 2 N的随机样本 记的随机样本 记 n i i n i i XX n SX n X 1 22 1 1 1 1 则则 N 0 1 t t Xn 2 SXn 2 22 1 Sn 1 n 2 1 n 6 6 设 设是抽自正态总体是抽自正态总体的简单样本 的简单样本 10021 XXX 1 N 则则的置信系数为的置信系数为 0 950 95 的置信区间为的置信区间为 0 1960 196 XX 注注 2 为正态分布 N 0 1 的右 分位点 a Za01 a 96 1 025 0 Z645 1 05 0 Z 二 计算题二 计算题 每题每题 1414 分 共分 共 7070 分 做题时须写出解题过程 分 做题时须写出解题过程 否则不能得分否则不能得分 1 1 有型号相同的产品两箱 第一箱装 有型号相同的产品两箱 第一箱装 1212 件产品 件产品 其中两件为次品 第二箱装其中两件为次品 第二箱装 8 8 件 其中一件为次品 件 其中一件为次品 先从第一箱中随机抽取两件放入第二箱 再从第二先从第一箱中随机抽取两件放入第二箱 再从第二 箱中随机抽取一件 箱中随机抽取一件 1 1 求从第二箱中取出次品的概率 求从第二箱中取出次品的概率 2 2 若从第二箱中取出了次品 求从第一箱中未取若从第二箱中取出了次品 求从第一箱中未取 到次品的概率 到次品的概率 解解 以以表示从第一箱中取到表示从第一箱中取到 i i 件次品 件次品 i A i 0i 0 1 1 2 2 B B 表示从第二箱中取到次品 表示从第二箱中取到次品 则则 1 1 210 BAPBAPBAPBP 221100 ABPAPABPAPABPAP 3 10 3 10 2 10 1 2 12 2 2 0 10 2 12 1 2 1 10 2 12 0 2 2 10 C CC C CC C CC 101112 32 101112 810 101112 910 15 2 2 2 0 0 BP BAP BAP 88 45 2 15 101112 910 2 设随机变量设随机变量 有概率密度函数有概率密度函数 X 令令 2 XY 其他 0 1 0 1 0 1 1 xx xx xf 1 求求 Y 的概率密度函数的概率密度函数 yfY 2 求求 Y 的期望的期望与方差与方差 YE YVar 解解 1 1 记记为随机变量为随机变量 Y Y 的分布函数 则的分布函数 则时 时 yF Y 0 y 时 时 0 yF Y 1 0 y yydxxf yXyPyXP yYPyF y y Y 2 2 时 时 于是 于是 1 y1 yF Y 4 0 1 0 1 1 其他 yy yfY 2 2 1 0 2 0 1 2 1 1 2 2 6 1 1 1 dxxxdxxx dxxfx XEYE 由 1 0 4 0 1 4 1 1 44 15 1 1 1 dxxxdxxx dxxfxXE 及 22 YEYEYVar 224 XEXE 得 180 7 36 1 15 1 YVar 5 3 设二维随机向量 YX 的联合概率密度函 数为 0 0 其他 yxec yxf y 1 求常数 c 2 求 X 和 Y 的边缘概率密度和 xfX yfY 3 求 1 YXP 解解 1 由于 c dxyec dxecdy dydxyxf y y y 0 00 1 得 1 c 2 00 0 00 0 x xe x xdye dyyxfxf x x y X 6 00 0 00 0 0 y yey y ydxe dxyxfyf y y y Y 3 5 0 0 22 11 5 0 0 1 1 1 edxee dyedx YXP xx x x y 4 若 2 21 nXXX n 为抽自总体的随机样 X 本 总体 有概率密度函数X 0 0 0 x ex f x x 其中 0 常数 求 1 的矩估计 2 的极大似然估 计 解解 记 n i i X n X 1 1 7 由 E 0 1 de d x Xx f x xx xq q 令 得 解该式 得 XEX 1 X 1 X q 记 为参数 1 e n nn X i i Lf x qq 的似然函数 则对似然函数为 ln ln Lnn Xqq 进一步 有 dln d L n nX 令 得 0 ln d Ld 1 X q 8 5 设一批 1000 克包装袋装食盐的重量服 从正态分布 其中 和 为未知 2 N 常数 为检查包装质量 从生产0 线上随机抽取食盐 10 袋 并称其重量 得样本均值 g 样本方差998 4 x g2 对检验水平 2 5 76 s 05 0 做检验 1 0 1000H 1 1000H 2 2 0 4 0H 2 1 4 0H 附附 分布与 分布表t 2 9 0 025 2 2622t 9 0 05 1 8331t 10 0 025 2 2281t 10 0 05 1 8125t 2 9 0 025 19 023 2 9 0 05 16 919 2 9 0 975 2 700 2 9 0 95 3 325 2 10 0 025 20 483 2 10 0 05 18 307 2 10 0 975 3 247 2 10 0 95 3 940 解解 由 10n 05 0 998 4 x 2 5 76 s 2 4s 0 1000 0