2000年全国初中数学联合竞赛试卷技巧归纳

A thesis submitted to XXX in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering 20002000 年全国初中数学联合竞赛试卷年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试第一试 4 月 2 日上午 8 30 9 30 一 选择题一 选择题 本题满分 42 分 每小题 7 分 1 计算的值是 146 546 5 A 1 B C 2 D 5 55 2 若 则的值是 615 325 xyxy yxyx 22 22 456 23 xxyy xxyy A B C 5 D 6 9 2 9 4 3 设 a b 是不相等的任意正数 又 则 x y 这两个数一定 22 11 ba xy ab A 都不大于 2 B 都不小于 2 C 至少有 1 个大于 2 D 至少有 1 个小于 2 4 正整数 n 小于 100 并满足等式 n 其中表示不超过 x 的最大整 236 nnn x 数 这样的正整数 n 有 A 2 个 B 3 个 C 12 个 D 16 个 5 已知一个梯形的四条边的长分别为 1 2 3 4 则此梯形的面积等于 A 4 B 6 C 8 D 2 10 2 3 6 已知 ABCD 是一个半径为 R 的圆的内接四边形 AB 12 CD 6 分别延长 AB 和 DC 它们相交于 P 且 BP 8 APD 60 则 R 等于 A 10 B 2 C 12 D 14 212 二 填空题二 填空题 本题满分 28 分 每小题 7 分 1 是正数 并且抛物线 y x2 ax 2b 和 y x2 2bx a 都与 x 轴有公共点 则 a2 b2 ab 的最小值是 2 某果品店组合销售水果 甲种搭配 2 千克 A 水果 4 千克 B 水果 乙种搭配 3 千 克 A 水果 8 千克 B 水果 1 千克 C 水果 丙种搭配 2 千克 A 水果 6 千克 B 水果 l 千克 C 水果 A 水果价格每千克 2 元 B 水果价格每千克 1 2 元 C 水果价格每千克 10 元 某天该店销售三种搭配共得 441 2 元 其中 A 水果的销售额为 116 元 则 C 水 果的销售额为 元 3 实数 x y 满足和 2x2 xy 5x y 4 0 则 x y 1xy 4 设正三角形 ABC 的边长为 2 M 是 AB 边上的中点 P 是边 BC 上的任意一点 PA PM 的最大值和最小值分别记为 s 和 t 则 s2 t2 第二试第二试 4 月 2 日上午 10 30 11 30 一一 本题满分 20 分 设 p 是实数 二次函数 y x2 2px p 的图象与轴有两个不同的交点 A x1 0 B x2 0 1 求证 2px1 x22 3p 0 2 若 A B 间的距离不超过丨 2p 3 丨 求 p 的最大值 二 二 本题满分 25 分 EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形 两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐角为 且 BEG 与 CFH 都是锐角 已知 EG k FH 四边形 EFGH 的面积为 s l 1 求证 2 sin s kl 2 试用表示正方形 ABCD 的面积 k l s 三三 本题满分 25 分 设关于的二次方程 k2 6k 8 x2 2k2 6k 4 x k2 4 的两根都是整数 求满足条件的 x 所有实数 k 的值 第一试试题答案第一试试题答案 一 1 C 2 A 3 C 4 D 5 D 6 B 二 1 20 2 150 3 4 4 第二试部分试题答案第二试部分试题答案 三 20002000 年全国初中数学联赛试题解答年全国初中数学联赛试题解答 第一试第一试 一 1 原式 2 53 5614 2 由已知条件知x 0 y 0 把已知等式变形并利用等比消去y 得 则 x 3y 故 3 设 a 1 b 3 得 x 10 y 从而否定 A 及 B 设 a 3 b 4 得 3 2 x y 于是否定 D 故只有 C 正确 3 17 4 10 4 由 以及若x 不是整数 则 x x 知 2 n 3 n 6 n 即 n 是 6 的倍数 因此 小于100 的这样的正整数有 16 个 5 以 1 2 3 4 为边作梯形只有以下六种可能 1 以 1 2 为底 2 以 1 3 为底 3 以 1 4 为底 4 以 2 3 为底 5 以 2 4 为底 6 以 3 4 为底 易知只有 3 才能构成梯形 其他都不能构成梯形 如图 设在梯形ABCD 中 AB 3 BC 4 CD 2 DA 1 过 A 作 AH BC 于 H 作 AE DC 交 BC 于 E 则 ABE 是等腰三角形 由 得 则 6 由切割线定理得 PB PA PC PD 有 8 20 PC PC 6 解得 PC 10 如图 连结AC 在 PAC 中 由PA 2PC APC 60 得 PCA 90 从而 AD 是圆的直径 由勾股定理 得 AD2 AC2 CD2 PA2 PC2 CD2 202 102 62 336 二 1 20 由题设知 a2 8b 0 4b2 4a 0 则 a4 64b2 64a a 4 b2 a 4 a2 b2 20 又当 a 4 b 2 时 抛物线y x2 ax 2b 和 y x2 2bx a 都与 x 轴有公共 点 则a2 b2 的最小值是20 2 150 设该天卖出甲种 乙种 丙种水果分别为x y z 套 依题意有 2 1 11 消去x 得 31 y z 465 故 y z 15 所以 共卖出C 水果 15 千克 C 水果的销售额为 15 20 150 元 3 4 由题设等式知 2x2 5x 4 y x 1 x x 1 有 x2 4x 4 0 即 x 2 2 0 从而 x 2 代入已知等式得 y 2 故 x y 4 4 4 先求 s PA AC PM CM PA PM CA CM 2 当点 P 为顶点C 时 等号成立 则 s 2 再求 t 如图 作正 A BC 设 M 为 A B 的中点 则 PBM PBM PM PM PA PM PA PM AM 连结 CM 则 ACM 90 t 故 三 1 由题设知 2p 2 4 p 4p2 4p 0 2px1 2px2 p 3p 2p x1 x2 4p 4p2 4p 0 2 AB x2 x1 有 4p2 4p 4p2 12p 9 p PP44 2 32 P 又当 p 时满足题意 故p 的最大值为 四 如图 在正方形ABCD 中 过E F G H 分别作对边的垂线 得矩 形 PQRT 设 ABCD 的边长为a PQ b QR c 由勾股定理得 由 S A E H S T H E S B E F S P E F S C F G S Q F G S D G H S R G H 得 S 正 方 形A B C D S 矩 形P Q R T 2S 四 边 形 E F G H 则 a2 bc 2 5 有 5a2 44 a2 即 S 正 方 形A B C