关于黄金分割数学论文

精品文档 1欢迎下载 关于黄金分割数学论文关于黄金分割数学论文 学生姓名 柳静漪 班级 初一四班 精品文档 2欢迎下载 1 1 简述黄金分割简述黄金分割 1 黄金分割又称黄金律 是指事物各部分间一定的数学比例关系 即将整体一 分为二 较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比 其比值为1 0 618 或1 618 1 即长段为全段的0 618 0 618被公认为最具有审美意义的比例数字 上述比例是最能引起人的美感的比例 因此被称为黄金分割 2 关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯 据说在古希腊 有一天 毕达哥拉斯走在街上 在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听 于是 驻足倾听 他发现铁匠打铁节奏很有规律 这个声音的比例被毕达哥拉斯用数 理的方式表达出来 被应用在很多领域 后来很多人专门研究过 开普勒称其为 神圣分割 也有人称其为 金法 在金字塔建成 1000 年后才出现毕达哥拉斯 定律 可见这很早就存在 只是不知道这个谜底 3 把一条线段分割为两部分 使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分 之比 其比值是 5 1 2 取其小数点后三位的近似值是 0 618 由于按此 比例设计的造型十分美丽柔和 因此称为黄金分割 也称为中外比 这是一个 十分有趣的数字 我们以 0 618 来近似 通过简单的计算就可以发现 1 0 618 1 618 1 0 618 0 618 0 618 或根号 5 减 1 的差除以二 如图所示 黄金分割图形 2 2 黄金分割与生活黄金分割与生活 精品文档 3欢迎下载 1 黄金分割与人体 人体肚脐的位置到脚底的长度与人体身高的比值符合黄金比例 例如一个人身高为 136cm 从肚脐到脚底有 84cm 肚脐以上 52cm 则 52 84 0 619 同时 84 136 0 618 符合黄金分割比例 2 黄金分割与建筑物 从 4600 年前修建的埃及金字塔 到 2400 年前修建的巴特农神殿 到埃菲尔铁 塔 东方明珠 联合国大厦 在许多著名的建筑中 人们发现了一个惊人的巧 合 那就是 它们都运用了黄金分割 3 黄金分割与乐器 斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时 运用了黄金分割来确定 f 形洞的确 切位置 二胡要获得最佳音色 其千斤须放在琴弦长度的 0 618 处 三 黄金分割与数学三 黄金分割与数学 1 黄金分割与图形 黄金分割三角形 正五边形对角线连满后出现的所有三角形 都是黄金分割三角形 黄金分割 三角形有一个特殊性 所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生 成与其本身相似的三角形 但黄金分割三角形是唯一一种可以用 5 个而不是 4 个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形 由于五角星 的顶角是 36 度 这样也可以得出黄金分割的数值为 2sin18 即 2 sin 10 将一个正五边形的所有对角线连接起来 所产生的五角星里面的所有三角 形都是黄金分割三角形 正五边形内的黄金分割三角形 黄金矩形 若矩形的宽与长的比等于 5 1 2 0 618 那么这个矩形称为黄金矩形 精品文档 4欢迎下载 尺规作图 设已知线段为 AB 过点 B 作 BD AB 且 BD AB 2 2 连结 AD 以 D 为圆心 DB 为半径作弧 交 AD 于 E 以 A 为圆心 AE 为半径作弧 交 AB 于 C 则点 C 就是 AB 的黄金分割点 事实上 在一个黄金矩形中 以一个顶点为圆心 矩形的较短边为半径作一个 四分之一圆 交较长边与一点 过这个点 作一条直线垂直于较长边 这时 生成的新矩形 不是那个正方形 仍然是一个黄金矩形 这个操作可以无限重 复 产生无数个黄金矩形 2 黄金分割与斐波那契数列 让我们首先从一个数列开始 它的前面两个数是 1 1 后面的每个数都是它 前面的两个数之和 例如 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 这个数列的名字叫做 斐波那契数列 这些数被称为 斐波那契数 斐波 那契数列与黄金分割有什么关系呢 经研究发现 相邻两个菲波那契数的比值 是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的 即 f n f n 1 0 618 由于 斐波那契数都是整数 两个整数相除之商是有理数 所以只是逐渐逼近黄金分 割比这个无理数 但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时 就会发现 相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的 1 1 1 2 3 0 66 3 5 0 6 5 8 0 625 8 13 0 615 13 21 0 619 21 34 0 617 34 35 0 618 4 4 黄金分割与数学家黄金分割与数学家 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯 学派研究过正五边形和正十边形的作图 因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派 已经触及甚至掌握了黄金分割 公元前4世纪 古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题 并建立 起比例理论 他认为所谓黄金分割 指的是把长为 L 的线段分为两部分 使其 中一部分对于全部之比 等于另一部分对于该部分之比 而计算黄金分割最简 单的方法 是计算斐波那契数列 1 1 2 3 5 8 13 21 第二位起相 邻两数之比 即2 3 3 5 5 8 8 13 13 21 的近似值 黄金分割在文艺复兴前后 经过阿拉伯人传入欧洲 受到了欧洲人的欢迎 他 们称之为 金法 17世纪欧洲的一位数学家 甚至称它为 各种算法中最可宝 贵的算法 这种算法在印度称之为 三率法 或 三数法则 也就是我们现在常 说的比例方法 精品文档 5欢迎下载 公元前300年前后欧几里得撰写 几何原本 时吸收了欧多克索斯的研究成果 进一步系统论述了黄金分割 成为最早的有关黄金分割的论著 中世纪后 黄金分割被披上神秘的外衣 意大利数家帕乔利将中末比为神圣比 例 并专门为此著书立说 德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割 其实有关 黄金分割 中国也有记载 虽然没有古希腊的早 但它是中国古代 数学家独立创造的 后来传入了印度 经考证 欧洲的比例算法是源于中国而 经过印度由阿拉伯传入欧洲的 而不是直接从古希腊传入的 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行 黄金分割数有许多有趣的性质 人类 对它的实际应用也很广泛 最著名的例子是优选学中的黄金分割法 或0 618法 是由美国数学家基 弗于1953年首先提出的 70年代由华罗庚提倡在中国推广 5 优选法优选法 数字0 618 更为数学家所关注 它的出现 不仅解决了许多数学难题 如 十等分 五等分圆周 求18度 36度角的正弦 余弦值等 而且还使优选法 成为可能 优选法是一种求最优化问题的方法 如在炼钢时需要加入某种化学 元素来增加钢材的强度 假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000 2000克之间 为了求得最恰当的加入量 需要在1000克与2000克这个区间中进 行试验 通常是取区间的中点 即1500克 作试验 然后将试验结果分别与 1000克和2000克时的实验结果作比较 从中选取强度较高的两点作为新的区间 再取新区间的中点做试验 再比较端点 依次下去 直到取得最理想的结果 这种实验法称为对分法 但这种方法并不是最快的实验方法 如果将实验点取 在区间的0 618处 那么实验的次数将大大减少 这种取区间的0 618处作为试 验点的方法就是一维的优选法 也称0 618 法 实践证明 对于一个因素的问题 用 0 618法 做16次试验就可以完成 对分法 做2500次试验所达到的效果 因此大画家达 芬奇把0 618 称为 黄金数 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法 著名数学家华罗庚曾为 普及它作出重要贡献 优选法中有一种0 618法应用了黄金分割法 例如 在一 种试验中 温度的变化范围是0 10 我们要寻找在哪个温度时实验效果最 佳 为此 可以先找出温度变化范围的黄金分割点 考察10 0 618 6 18 时