函数的奇偶性、对称性、周期试题

试卷第 1 页 总 15 页 2 定义在上的函数满足 当时 R f x 6 xfxf 1 3 x 当时 则 2 2 xxf 3 1 xxxf 1 2 3 2015 ffff A B C D 33635516762015 答案 A 解析 试题分析 根据可知 是周期为的周期函数 且 6 xfxf f x6 1234561210101ffffff 所以答案为 A 20156 33551 335 1336ff 考点 1 函数的周期性 2 利用函数的周期性求函数值 3 设函数的定义域为 且是奇函数 是偶函数 设 xgxfR xf xg 则下列结论中正确的是 1 1 xgxfxh A 关于对称 xh 0 1 B 关于对称 xh 0 1 C 关于对称 xh1 x D 关于对称 xh1 x 答案 C 解析 试题分析 因为函数是奇函数 所以是偶函数 即与均为偶 f x f x f x g x 函数 其图象均关于对称 所以与的图象都关于直线对称 y 1 f x 1 g x 1x 即的图象关于直线对称 故选 C 1 1 h xf xg x 1x 考点 1 函数的奇偶性 2 图象平移 4 定义为 R 上的函数 f x满足 2 7f x f x 1 3f 2 f 2 则 2014 f A 3 B 7 2 C 7 3 D 2 答案 D 解析 试题解析 7 2 7 2 f x f xf x f x 试卷第 2 页 总 15 页 7 4 4 2 f xf xT f x 2014 4 5032 2 2fff 考点 本题考查函数的性质 点评 解决本题的关键是求出函数的周期 5 已知函数满足 当时 f x 1 2 f xf xf xxR 0 3x 则 2 f xx 2014 f A B C D 55 1 1 答案 C 解析 试题分析 由 从而 2 1 xfxfxf 3 2 1 xfxfxf 故的周期为 6 3 xfxf f x 1 1 4 43356 2014 ffff 考点 函数的性质 6 设是定义在实数集上的函数 且满足下列关系 xfR 10 10 xfxf 则是 20 20 xfxf xf A 偶函数 但不是周期函数 B 偶函数 又是周期函数 C 奇函数 但不是周期函数 D 奇函数 又是周期函数 答案 D 解析 试题分析 f 20 x f 10 10 x f 10 10 x f x f 20 x f 20 x f 40 x 结合 f 20 x f x 得到 f 40 x f x f x 是以 T 40 为周期的周期函数 又 f x f 40 x f 20 20 x f 20 20 x f x f x 是奇 函数 故选 D 考点 本题考查函数的奇偶性 周期性 点评 解决本题的关键是准确理解相关的定义及其变形 即满足 f x T f x 则 f x 是周期函数 函数的奇偶性 则考虑 f x 与 f x 的关系 7 设 f x 定义 R 上奇函数 且 y f x 图象关于直线 x 对称 则 f 1 3 2 3 A 1 B 1 C 0 D 2 答案 C 解析 试题分析 由题意可得 所以 2 3 fxf xf xfx 试卷第 3 页 总 15 页 选 C 22 0 0 33 fff 考点 函数的奇偶性及对称性 8 已知在上是奇函数 且满足 当时 则 xf R 4 xfxf 2 0 x 2 2 xxf 的值为 7 f A B C D 2 298 98 答案 A 解析 试题分析 根据周期函数定义可知是周期为 4 的周期函数 4 xfxf f x 又根据函数是奇函数 可得 71 81fff f x 1f 1f 因为 所以 故正确答案为选项 A 10 2 2 11 2 12f 考点 周期函数的定义和性质 奇函数定义和性质 9 已知定义在上的函数 对任意 都有成立 R f xxR 63f xf xf 若函数的图象关于直线对称 则 1yf x 1x 2013 f A B C D 0201332013 答案 A 解析 试题分析 由题意得 又有函 2013 2013335 6 335 3 336 3 ffff 数的图象关于直线对称 则函数图像关于轴对称 即 1yf x 1x f xy 还有 得 则 3 3 ff 3 6 3 3 fff 3 0f 故选 A 2013 336 3 336 3 0fff 考点 函数的性质 10 设偶函数对任意都有 且当时 f xxR 1 3f x f x 3 2x 则 4f xx 107 5f A 10 B C 10 D 1 10 1 10 答案 B 解析 试题分析 因为 所以 所以函数是周期 1 3f x f x 6f xf x f x 为 6 的周期函数 又 试卷第 4 页 总 15 页 而 11 18 60 5 0 5 0 5 2 5 2 5 107 5 ffff ff 故 故选 B 2 5 10f 107 5f 1 10 考点 函数的性质 11 函数的定义域为 若函数的周期 6 当时 f xR f x31x 当时 则 2 2f xx 13x f xx 122013fff 2014f A 337 B 338 C 1678 D 2012 答案 A 解析 试题分析 由已知得 1 1f 2 2f 3 3 1ff 4 2 0ff 5 1 1ff 故 6 0 0ff 1261fff 122013fff 2014f 335 1234ffff 337 考点 函数周期性 考点 函数的图象 周期性 对称性 13 已知函数 f x 在定义域上的值不全为零 若函数 f x 1 的图象关于 1 0 对称 函数 f x 3 的图象关于直线 x 1 对称 则下列式子中错误的是 A B fxf x 2 6 f xf x C D 2 2 0fxfx 3 3 0fxfx 答案 D 解析 试题分析 函数的图象关于对称 函数的图象关于对 1 f x 1 0 f x 2 0 称 令 1 F xf x 即 2F xFx 3 1fxfx 4fxf x 令 其图象关于直线对称 3 G xf x 1 x 2GxGx 即 53f xfx 44f xfx 由 得 4f xf x 8f xf x 试卷第 5 页 总 15 页 由 得 844fxfxfx 4444fxfxf x A 对 fxf x 由 得 即 B 对 282f xf x 26f xf x 由 得 又 220fxf x fxf x C 对 2 2 220fxfxfxfx 若 则 330fxfx 6fxf x 12fxf x 由 得 又 即 124fxf x 4f xf x f xf x 与题意矛盾 D 错 0f x 考点 函数的图象与图象变化 15 设是定义在上且以 5 为周期的奇函数 若则 f xR 2 3 2 1 3 3 aa ff a 的取值范围是 a A B C 0 3 D 2 3 02 3 02 答案 B 解析 试题分析 由题意 得 所以 5 xfxfxfxf 1 2 2 3 fff 即 1 3 3 2 a aa 0 3 2 2 a aa 0 3 2 aaa302 xa或 考点 函数的奇偶性 周期性 试卷第 6 页 总 15 页 第第 IIII 卷 非选择题 卷 非选择题 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人得分 二 填空题 题型注释 二 填空题 题型注释 16 定义在 R 上的偶函数 f x 满足对任意 x R 都有 f x 8 f x f 4 且 x 0 4 时 f x 4 x 则 f 2 015 的值为 答案 3 解析 试题分析 因为定义在上的偶函数满足对任意 都有R f xxR 8 4 f xf xf 令 则 故4x 4 4 4 fff 4 4 0ff 所以满足对任意 都有 故函数的周期 f xxR 8 f xf x f x8T 所以 2015 252 8 1 1 1 4 13ffff 故答案为 3 考点 函数的周期性和奇偶性 18 定义在实数集 R 上的函数满足 且 f x 20f xf x 4fxf x 现有以下三种叙述 8 是函数的一个周期 f x 的图象关于直线对称 f x2x 是偶函数 f x 其中正确的序号是 答案 解析 试题分析 由 得 则 20f xf x 2 xfxf 即 4 是的一个周期 8 也是的一个周期 2 4 xfxfxf xf xf 由 得的图像关于直线对称 由与 4fxf x xf2 x 4fxf x 得 即 即函数为偶函数 4 xfxf 4 xfxf xfxf xf 考点 1 函数的奇偶性 2 函数的对称性 3 函数的周期性 20 函数满足对任意都有成立 且函数 yf x xR 2 f xfx 的图象关于点对称 则 1 yf x 1 0 1 4f 试卷第 7 页 总 15 页 的值为 2012 2013 2014 fff 答案 4 解析 试题分析 函数的图象关于点对称 是 R 上的奇函数 1 yf x 1 0 f x 2 f xf x 故的周期为 4 4 2 f xf xf x f x 2013 503 4 1 1 4fff 2012 2014 2012 20122 2012 2012 0ffffff 2012 2013 2014 4fff 考点 函数的对称性 奇偶性 周期性 21 定义在上的偶函数 且对任意实数都有 当R xfx 2 xfxf 时 若在区间内 函数有 6 个零点 1 0 x 2 xxf 3 3 kkxxfxg3 则实数的取值范围为 k 答案 6 1 0 解析 由得函数的周期为 2 2 xfxf 由 得 03 kkxxfxg 3 xkxf 分别作出函数 的图象 设 xfy 3 xky 0 3 A 1 3 B 要使函数有 6 个零点 则直线的斜率 3 xky AB kk 0 因为 6 1 3 3 01 AB k 所以 6 1 0 k 即实数的取值范围是 k 6 1 0 命题意图 本题考查函数的性质 函数的零点等基础知识 意在考查数形结合思想 试卷第 8 页 总 15 页 转化与化归能力 运算求解能力 22 已知偶函数的图象关于直线对称 yf x 1x 且时 则 0 1x 1f xx 3 2 f 答案 1 2 解析 试题分析 由偶函数的图象关于直线对称知 f 1 x f 1 x 所以 yf x 1x 故答案为 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 3 2 3 fffff 1 2 考点 函数的奇偶性 23 定义在上的奇函数满足 且 则 R f x 3 f xf x 1 2f 2013 2015 ff 答案 2 解析 试题分析 由 f x 3 f x 得 f x 6 f x 3 f x f x 即函数 f x 的周期是 6 所以 f 2013 f 335 6 3 f 3 f 0 f 2015 f 336 6 1 f 1 f 1 2 因为 f x 是定义在 R 上的奇函数 所以根据奇函数的性质可知 f 0 0 所以0 2 2 2013 2015 ff 考点 函数奇偶性的性质 24 已知定义在 R 上的奇函数满足 且在区间 0 2 上是增函 xf xfxf 4 数 若方程 在区间 8 8 上有四个不同的根 则 0 mmxf 4321 xxxx 4321 xxxx 答案 8 解析 试题解析 即 48422 xfxfxfxfxfxf 8 xfxf 是一个周期为 8 的周期函数 又函数是奇函数 所以关于原点对 xf xf 称 由在上是增函数 可做函数图象示意图如图 xf 2 0 试卷第 9 页 总 15 页 设 因为函数图像关于轴对称 所以函数图像关于对称 4321 xxxx y4 x 所以 8 12 4 4321 4321 xxxx xxxx 考点 函数的性质 25 给出下列命题 已知集合 M 满足 且 M 中至多有一个偶数 这样的集合 M 有 6 4 3 2 1 M 个 函数 在区间上为减函数 则的取值范围为2 1 2 2 xaaxxf 4 a 5 1 0 a 已知函数 则 1 x x xf 60 61 1 3 1 2 1 61 3 2 ffffff 如果函数的图象关于 y 轴对称 且 xfy 0 1 2014 2 xxxf 则当时 0 x1 2014 2 xxf 其中正确的命题的序号是 答案 解析 试题分析 中满足条件的 M 有 11 个 中 在区间2 1 2 2 xaaxxf 上为减函数 则的取值范围为 中 可得 4 a 5 1 0 a 1 x x xf 故 1 1 x f xf 中为偶函数 60 61 1 3 1 2 1 61 3 2 ffffff xfy 当时 0 x 当时 故正确的命题的序号 2 2014 1f xx 0 x 2 2014 1f xx 试卷第 10 页 总 15 页 是 考点 集合的概念及函数的应用 解析 试题分析 所 f x 是周期为 11 1 2 1 f xf xf x f xf x 2 的函数 故 正确 又因为当 x 1 1 时 可知 f x 的图象 2 1f xx 由图像可知 正确 由图象可知 f x t 1 2 函数在 1 2 上单调递 4 yt t 减 所以最大值为 5 最小值为 4 故 错误 因为 x 的方程 有实根 所以 因为 f x 1 2 所 2 0f xf xm 2 f xf xm 以 0 2 故 m 的范围是 0 2 有图像可知当时 2 f xf x 12 1 3x x 故 错误 1212 22 xxf xf x f 考点 函数的性质 27 定义在 R 上的函数为奇函数 1 0 2 xfxfxfxf且函数满足 对于下列命题 函数满足 函数图象关于点 1 0 对称 xf 4 xfxf xf 函数的图象关于直线对称 函数的最大值为 xf2 x xf 2 f 其中正确的序号为 0 2009 f 答案 1 解析 试题分析 由得 则0 2 xfxf 2 xfxf 所以的周期为 4 则 对 由为奇 2 2 2 xfxfxf xf 1 xf 函数得的图像关于点对称 则 对 由为奇函数得 xf 0 1 1 xf 试卷第 11 页 总 15 页 令得 又 1 1 xfxf1 xx 2 xfxf 2 xfxf 则 对 由得 故 2 2 xfxf 1 1 xfxf0 1 f 0 1 2009 ff 考点 1 周期函数的定义 2 奇函数的定义 3 赋值法的应用 28 已知函数的图象的对称中心是 3 1 则实数 1 ax xa xf a 答案 2 a 解析 试题分析 函数的 函数图像的对称中心是 3 1 1 ax xa xf 将函数的表达式化为 所以 所 1 1 1 1 axax xa xf31 a 以 2 a 考点 函数的对称中心 29 已知函数与的定义域为 有下列 5 个命题 f x g xR 若 则的图象自身关于直线轴对称 2 2 f xfx f xy 与的图象关于直线对称 2 yf x 2 yfx 2x 函数与的图象关于轴对称 2 yf x 2 yfx y 为奇函数 且图象关于直线对称 则周期为 2 f x f x 1 2 x f x 为偶函数 为奇函数 且 则周期为 2 f x g x 1g xf x f x 其中正确命题的序号是 答案 解析 试题分析 函数关于直线对称 正确 xf 0 2 22 xx x 函数图像关于直线对称的函数解析式 2 xf2 x xfxfy 224 正确 把函数中代换得 关于轴对称 2 xfyxx xfy 2y 函数关于原点对称 关于直线对称 周期正确 2 1 x20 2 1 4 T 关于原点对称 关于直线对称 周期错 xg 1 xfxg1 x 4014 T 误 考点 函数的对称性和周期性 30 若是定义在 R 上的奇函数 且满足 给出下列 4 个结论 f x 2 f xf x 试卷第 12 页 总 15 页 1 2 是以 4 为周期的函数 2 0f f x 3 4 的图像关于直线对称 2 f xfx f x0 x 其中所有正确结论的序号是 答案 解析 试题分析 因为是定义在 R 上的奇函数 所以 则 f x0 0 f 0 0 2 ff 即周期为 4 2 f xf x 2 4 xfxfxfxf 因为是定义在 R 上的奇函数 所以 又 f x xfxf 2 f xf x 2 xfxf 因为是定义在 R 上的奇函数 所以的图像关于直线对称 故选 f x f x 0 0 考点 函数的奇偶性 周期性 评卷人得分 三 解答题 题型注释 三 解答题 题型注释 31 本小题满分 12 分 已知函数 2 f xxmxn 的图像过点 13 且 11fxfx 对任意实数都成立 函数 yg x 与 yf x 的图像关于原 点对称 1 求 f x与 xg的解析式 2 若 xgxF f x 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 答案 1 2 2 2f xxx 2 2g xxx 0 解析 试题分析 1 首先把 13 代入函数中得 f x2mn 11fxfx 对任意实数都成立 则有 即 0 2 42fnfmn 从而得函数的解析式 2 函数在区间上是增函数 则20mn f xg x 函数的导数在此区间上为非负 分三种情况讨论即可 试题解析 1 因 得 1 1 m n 3f2mn 试卷第 13 页 总 15 页 又有 11fxfx 对任意实数都成立 则 0 2 42fnfmn 即 20mn 所以 又因函数 yg x 与 yf x 的图像关于原点对称 则 2 2f xxx 2 2g xxx 2 因 xgxF f x 在 1 1 上是增函数 所以 在 1 1 上非负 22 22 xxF 所以 解 2 1 02 1 02 1 0 22 1 220 22 220220 或或 得 0 考点 1 函数的性质 2 导数判断函数的单调性 32 已知 f x 是实数集 R 上的函数 且对任意 xR f x f x 1 f x 1 恒成立 1 求证 f x 是周期函数 2 已知 f 4 2 求 f 2012 答案 1 详见解析 2 2 解析 试题分析 1 依次 1111f xf xf xf xf xf x 推导下去 问题即可得证 2 根据 1 推导的的周期 根据周期性求 f x 的值 2012f 试题解析 1 证明 11f xf xf x 11f xf xf x 则 211111f xfxf xf xf xf xf xf x 5 分 31211f xfxfxf x 6333f xfxf xf x 是周期函数且 6 是它的一个周期 7 分 f x 2 12 分 2012335 6226 4 42fffff 考点 函数的周期性 33 设 f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当 0 x 1 时 f x x 1 求 f 的值 2 当 4 x 4 时 求 f x 的图象与 x 轴所围图形的面积 答案 1 4 2 4 试卷第 14 页 总 15 页 解析 解 1 由 f x 2 f x 得 f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 所以 f x 是以 4 为周期的周期函数 从而得 f f 4 f 4 4 4 2 由 f x 是奇函数与 f x 2 f x 得 f x 1 2 f x 1 f x 1 即 f 1 x f 1 x 故知函数 y f x 的图象关于直线 x 1 对称 又 0 x 1 时 f x x 且 f x 的图象关于原点成中心对称 则 f x 的图象如图所 示 当 4 x 4 时 f x 的图象与 x 轴围成的图形面积为 S 则 S 4S OAB 4 2 1 4 1 2 35 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 4 f x 1 求 f 2 012 的值 2 求证 函数 f x 的图像关于直线 x 2 对称 3 若 f x 在区间 0 2 上是增函数 试比较 f 25 f 11 f 80 的大小 答案 1 0 2 见解析 3 f 25 f 80 f 11 解析 解 1 因为 f x 4 f x 所以 f x f x 4 f x 4 4