含绝对值的不等式

含绝对值的不等式含绝对值的不等式 学习要求学习要求 1 理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号 转化为不含绝对值符 号的不等式 或不等式组 来解 2 弄懂去绝对值符号的理论依据 掌握去绝对值符号的主要方法 会解简单的含有绝 对值的不等式 重点难点重点难点 1 1 实数绝对值的定义 实数绝对值的定义 a 这是去掉绝对值符号的依据 是解含绝对值符号的不等式的基础 2 2 最简单的含绝对值符号的不等式的解 最简单的含绝对值符号的不等式的解 若a 0 时 则 x a a xa xa 注注 这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的 即 x 可看作是数轴上的动点 P x 到 原点的距离 3 3 常用的同解变形 常用的同解变形 f x g x g x f x g x f x g x f x g x f2 x g2 x 4 4 三角形不等式 三角形不等式 a b a b a b 例题选讲例题选讲 第一阶梯第一阶梯 例例 1 1 实数绝对值的涵义是什么 探路探路 实数绝对值的定义是分类给出的 解解 正数的绝对值就是它本身 负数的绝对值是它的相反数 零的绝对值是零 即 评注评注 绝对值的概念是分类定义的 因此 在解决这类问题时 必须要分类讨论 例例 2 2 型如 x a 其中 a 0 不等式的解法 探路探路 利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可 解解 当 a 0 时 x ax2 a2 a xa x2 a2 x a 或 x a 其几何意义为 评注评注 解 型如 x 0 和 x a a 0 的不等式 可以利用平方法化为关于 x 的二 次不等式来解 也可以利用定义法来解 均可求得它们的解集 今后 要熟记 x 0 的解集为 a xa a 0 的解集为 x a 或 x a 是十分重要的 例例 3 3 由定理 a b a b a b 导出定理 a b a b a b 探路探路 利用 代换法 证明证明 由定理一可知 a b a b a b 即 a b a b a b 评注评注 关于和 差 积 商的绝对值与绝对值的和 差 积 商 有下面性质 1 a b a b 2 b 0 3 a b a b a b 4 a b a b a b 例例 4 4 不等式 1 的解集是 A x 5 x 16 B x 6 x 18 C x 7 x 20 D x 8 x 22 探路探路 根据不等式的性质 f x a a f x 0 求解 解 1 1 3 1 2 4 4 x 2 16 6 x 18 即 x 6 x4 探路探路 含多个绝对值符号的不等式 利用零点 分区间 讨论法 解解 由 3x 2 0 得 x 由 x 2 0 得 x 2 原式或 或 或 或 x 1 或 02 x0故原不等式的解集为 x 0 评注评注 解含有两个或两个以上绝对值符号的不等式 一般采用零点 分区间 讨论法 即先求 出使每个含绝对值符号的解析式值等于零的未知数的值 将这些值依次在数轴上标注出来 它 们把序轴分成若干个区间 讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上的符号 去掉绝对 值符号 转化为不含绝对值的不等式去解 分类讨论思想 解关于 x 的不等式 若对 x 讨论 所求不等式的解集是各种情况所得解 集的并集 第二阶梯第二阶梯 例例 1 1 解下列不等式 1 2 3 2 x2 3x 4 探路探路 当 a 0 时 有 f x a a f x a f x a f x a 或 f x 4 或 x2 3x 0 或 x2 3x 40 得 x4 解 x2 3x 4 0 得 x 原不等式的解集是 x x4 评注评注 依据 a 0 x R 时 有 x a a xa x a 或 x a 可知 去掉绝对值符号的主要方法 为 f x a a f x 0 f x af x a 或 f x 0 例例 2 2 解下列不等式 i x2 9 x 3 探路探路 根据实数绝对值的意义 即 a 去掉绝对值符号 再行解之 解解 原不等式 I 或 II 不等式组 I x 3 或 3 x 4 不等式组 II 2 x 3 原不等式的解集是 x x 3 或 2 x 4 探路探路 2 根据不等式的性质 f x g x g x f x g x 去掉绝对值符号 再行解之 解 原不等式 x 3 x2 9 x 3 x 3 或 2 x 4 原不等式的解集为 x x 3 或 2 x 4 评注评注 解含绝对值符号不等式的基本方法是去掉绝对值符号 然后再解 去绝对值符号的常用手 段有三种 即根据实数绝对值的意义 去绝对值符号 根据不等式性质 去绝对值符号 在这 里不必考虑 g x 的符号问题 也可以根据 a 2 a2 a R 将不等式两边平方 此时要注意 不等式两边平方的条件 ii 2x 探路探路 f x g x f x g x 或 f x 2x 或 2x 得 x 由 2x 得 x 原不等式的解集为 x x 评注评注 熟练应用 f x g x f x g x 或 f x 3 此不等式恒成立 x 3 ii 当 x 3 时 原不等式化为 x 3 x 3 3 此不等式恒成立 x 3 iii 当 3 x3 求 i ii iii 的并集 得原不等式的解集为 第三阶梯第三阶梯 例例 1 1 设集合 若 A B 求实数 a 的取值范围 探路探路 分别解绝对值不等式 分式不等式 化简集合 A B 再将集合的包含关系转化为与 之等价的不等式组 求 a 的取值范围 注意此时应包括端点 解 x a 2 2 x a 2a 2 x a 2 A x a 2 x a 2 1 1 0 0 x 2 x 3 0 2 x 3 B x 2 x 3 AB 于是 0 a 1 评注评注 本题考查的方向是求满足条件实数 a 的取值范围 考查的知识点为 绝对值不等式 分式 不等式的解法以及集合的知识 考查数形结合的数学思想 必须指出的是集合的包含关系 可 直观地解释为数轴上区间的覆盖关系 从而将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组 求 得 a 的取值范围 例例 2 2 求证 探路探路 用综合法不易得手时 可从结论分析入手 逐步寻找使前一个不等式成立的充分条件或充 要条件 成立 原不等式成立 评注评注 本题考查用分析法证明不等式 是对课本 P27 例 4 证明方法的挖潜 每一个不等式都 是前一个不等式成立的充分条件或充要条件 因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头 表示后一个不等式是前一个不等式成立的充分条件 或用双向箭头 表示后一个 不等式是前一个不等式成立的充要条件 连结 也可以用 需证 即证 等语句连结 通 过练习 落实数学思想和方法 例例 3 3 已知 a 1 b 1 试比较 a b a b 与 2 的大小 探路探路 要比较大小的对象含有绝对值符号 可联想算术平方根 对其进行变形 再利用不等 式的性质进行放缩处理 评注评注 对于含有绝对值符号的比较大小问题 可视为绝对值不等式的证明 要结合绝对值不等式 的性质 利用放缩等方法解决问题 探路探路 本题也可以按 a b 与 a b 的符号分类讨论 解答问题 解 i 当 a b 与 a b 同号时 有 ii 当 a b 与 a b 异号时 有 iii 当 a b 与 a b 至少一者为零时 结论显然 综上所述 a b a b 0 且 a 1 解关于 x 的不等式 探路探路 利用 同底法 解 原不等式 i 当 0 a1 时 不等式组 无解 原不等式的解集为 评注评注 本题是含字母系数 a 的对数不等式 参数 a 的作用有两个 一是由 0 a1 来决定对 数函数的单调性 在对数不等式变换为代数不等式时 决定不等号的方向是否改变 二是决定 所得代数不等式的解集 还需指出的是 对数函数的定义域为 R 的制约作用也不可忽视 第四阶梯第四阶梯 例例 1 1 解不等式 x2 4x 1 4 解解 4 x2 4x 1 4 5 x 3 或 1 x2x 解解 x2 32x x2 2x 30 3 x 1 或 x3 x3 即原不等式的解集 1 3 例例3 3 解不等式 1 解解 2 2x 3 2 x 1 2 2x 3 2 x 1 2 0 2x 3 x 1 2x 3 x 1 0 x 4 3x 2 0 4 x 3 x 1 原不等式的解集为 4 例例4 4 解不等式 x 1 x 2 5 分析分析 为了去掉绝对值符号 首先找到两式的零点 1 和 2 它们把 分成了三个 区间 1 1 2 2 从而可将不等式 化为三个不等式组 求它们的 解集的并集即可 解解 将不等式 化为三个不等式组 I 2 x 1 II 1 x 2 III 2 x 3 原不等式的解集为 2 1 1 2 2 3 即 2 3 例例 5 5 解不等式 x 1 x 2 1 解解 x 1 x 2 x 1 x 2 3 原不等式无解 说明说明 本题没有采用例 4 的解法 而是利用三角形不等式直接判断出结果 它提示我们今后 解这一类问题 应先判断 例例6 6 已知 a 1 b 1 求证 1 证法证法 1 1 欲证 只需证 1 只需证 a b 1 ab 只需证 a b 2 1 ab 2 只需证 a b 2 1 ab 2 0 只需证 a2 b2 a2b2 1 0 只需证 a2 1 b2 1 0 a 1 b 1 a2 1 b2 1 即 a2 1 0 b2 1 0 式成立 原不等式成立 证法证法2 2 欲证 只需证 1 1 只需证 1 1 0 只需证 0 只需证 0 只需证 0 a 1 b 1 a2 1 b2 1 即 a2 1 0 b2 10 式成立 原不等式成立 例例7 7 求证 证法证法1 1 a b 1 a b a b 1 a b a b a b 上式显然成立 成立 又 原命题成立 证法证法2 2 这里只证明 分析分析 观察两式结构均为 的形式 又 a b a b 而原不等式要成立 只需证 明函数 y 在 0 上单调递增即可 证明证明 设 0 x1 x2 则 0 x1 x2 x2 x1 0 1 x1 0 1 x2 0 0 0 即 设 x1 a b x2 a b a b a b 参考练习参考练习 1 解不等式 x2 3x 8 10 2 解不等式 x 7 x 2 1 4 解不等式 log3x log3 3 x 1 5 求 y 的值域 6 设 f x x2 ax b 是整系数二次三项式 求证 f 1 f 2 f 3 不可能同时成立 7 已知 x y z 0 求证 x 2y 3z 参考答案参考答案 1 6 2 1 3 2 1 3 2 6 4 提示 首先求定义域 0 3 其次求出二零点 1 2 分三个区间 0 1 1 2 2 3 解即可 解集 0 3 5 提示 可用反解法解出 sinx 则解不等式 1得 y 4 6 提示 用反证法 略证 假设 1 a b 4 2a b 及 9 3a b 0 的解集是 A x B x 或 x C x D x 1 2 不等式 x 2 x 2 5 B x 2 C 5 x7 3 解关于 x 的不等式 x2 2ax a2 1 A a 1 x a 1 B a 1 x a 1 C a x a 1 D a 1 x a 4 解不等式 A x 2 B x 2 或 C D x 2 5 解不等式 A B C D 答案与解析答案与解析 答案 答案 1 B 2 C 3 A 4 B 5 A 解析 解析 1 分析 分析 首先观察不等式 不难发现 1 x 是非负的 所以 2x 1 4 必须大于 0 解 2x 1 4 0 就可以了 2 分析 分析 首先寻找零点 就是 x 2 0 和 x 2 0 得到 x 2 和 x 2 然后分 x 2 和 2 x 2 和 2 x 三个区间分别去掉绝对值符号求解 注 注 也可取特殊值代入验证 0 满足不等式 所以解集中应该有 0 排除 A D 再代入 5 验证 3 分析 分析 原不等式等价于 x2 2ax a2 1 即 x a 2 1 1 x a 1 原不等式的解集为 a 1 x a 1 4 分析 分析 原不等式 5 分析 分析 原不等式 绝对值不等式内容归纳绝对值不等式内容归纳 1 1 含有绝对值的不等式的性质 含有绝对值的不等式的性质 1 a b a b a b 证明 证明 a a a b b b a b a b a b a b a b 又 a a b b b b 由 得 a a b b a b b 即 a b a b 由 得 a b a b a b 由以上定理很容易推得以下的结论 2 a b a b a b 3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 2 2 几个基本不等式的解集几个基本不等式的解集 1 x a a x0 2 x ax a 或 x0 3 x m 0 a x m a m a xa a 0 x m a 或 x mm a 或 x g x f2 x g2 x f x g x f x g x 或 f x g x f x g x g x f x b 2 a b a b 取等号a b 同号 3 a b a b 取等号a b 同号且 a b 4 a b a b 取等号a b 异号 7 7 拓展 拓展 1 定理在形式上包含两部分 a b a b 和 a b a b 但 a b a b a b b a b b 这说明前者与后者在本质上是一致的 故可先证明 前者 再由前者推出后者 2 定理可改写为 a b a b a b 当 a b 同号或至少有一个为 0 时右侧等号成 立 当 a b 异号或至少有一为 0 时左侧等号成立 等号成立的条件常可用于求最值问题 3 推论推论 1 1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 可推广到多个数的情况 a1 a2 an a1 a2 an 当且仅当 a1 a2 an非异号时等号成立 它是不等式的 证明中 放缩 的依据 同时也使求函数的最值有了更简洁的途径 4 定理可与向量模的不等式 联系起来 因此也可称为 三角形不等