-轴对称证明题

轴对称专题 轴对称图形轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形就叫做 轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 有的轴对称图形的对称轴不止一条 如圆就有无数条对称轴 轴对称轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个 图形关于这条直线对称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的点是对应点 叫做对称 点 两个图形关于直线对称也叫做轴对称 图形轴对称的性质图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴 对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴对称与轴对称图形的区别轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系 成轴对称的两个图形是全等形 轴对称图 形是一个具有特殊形状的图形 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形 这两个图形是 全等形 并且成轴对称 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 1 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 或 线段的中垂线 2 线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 反过来 与一条线 段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 因此线段的垂直平分线可以看成与 线段两个端点距离相等的所有点的集合 轴对称变换轴对称变换 轴对称变换轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到 轴对称变换的性质轴对称变换的性质 1 经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状 大小完全一样 2 经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对 称点 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 作一个图形关于某条直线的轴对称图形作一个图形关于某条直线的轴对称图形 1 作出一些关键点或特殊点的对称点 2 按原图形的连接方式连接所得到的对称点 即得到原图形的轴对称图形 用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称关于坐标轴对称 点 P x y 关于 x 轴对称的点的坐标是 x y 点 P x y 关于 y 轴对称的点的坐标是 x y 关于原点对称关于原点对称 点 P x y 关于原点对称的点的坐标是 x y 关于坐标轴夹角平分线对称关于坐标轴夹角平分线对称 点 P x y 关于第一 三象限坐标轴夹角平分线 y x 对称的点的坐标是 y x 点 P x y 关于第二 四象限坐标轴夹角平分线 y x 对称的点的坐标是 y x 关于平行于坐标轴的直线对称关于平行于坐标轴的直线对称 点 P x y 关于直线 x m 对称的点的坐标是 2m x y 点 P x y 关于直线 y n 对称的点的坐标是 x 2n y 等腰三角形等腰三角形 等腰三角形等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形 相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底边 两 腰所夹的角叫做顶角 腰与底边的夹角叫做底角 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 性质 1 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 性质 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 特别的 1 等腰三角形是轴对称图形 2 等腰三角形两腰上的中线 角平分线 高线对应相等 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对等边 特别的 1 有一边上的角平分线 中线 高线互相重合的三角形是等腰三角形 2 有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形 3 有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形 4 有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形 利用利用 三角形奠基法三角形奠基法 作图作图 根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形 然后再以这个图形为基础 作出 所求的三角形 等边三角形等边三角形 等边三角形等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形 也叫做正三角形 等边三角形的性质等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等 并且每一个内角都等于 60 等边三角形的判定方法等边三角形的判定方法 1 三条边都相等的三角形是等边三角形 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 3 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 角平分线的性质角平分线的性质 角平分线的作法角平分线的作法 见课本 角平分线的性质角平分线的性质 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 A B C P M NO OP 平分 AOB PM OA 于 M PN OB 于 N PM PN 角平分线的判定角平分线的判定 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 A B C P M NO PM OA 于 M PN OB 于 N PM PN OP 平分 AOB 三角形的角平分线的性质三角形的角平分线的性质 三角形三个内角的平分线交于一点 并且这一点到三边的距离相等 添加辅助线口诀添加辅助线口诀 几何证明难不难 关键常在辅助线 知中点 作中线 倍长中线把线连 线段垂直平分线 常向两端来连线 线段和差及倍分 延长截取全等现 公共角 公共边 隐含条件要挖掘 平移对称加旋转 全等图形多变换 角平分线取一点 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称之后关系现 角平分线加平行 等腰三角形来添 角平分线伴垂直 三线合一试试看 角平分线 平行线 等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时 我们就可以寻找到等腰三角形 如图 1 1 中 若 AD 平 分 AD EC 则是等腰三角形 如图 1 2 中 若 AD 平分 DE AC 则 是等腰三角形 如图 1 3 中 若 AD 平分 CE AB 则是等腰三角形 如图 1 4 中 若 AD 平分 EF AD 则是等腰三角形 图 1 例 1 如图 在中 AB AC 在 AC 上取点 P 过点 P 作 交 BA 的延长线于点 E 垂足为点 F 求证 AE AP 1 已知 如图 1 11 在直角坐标系中 点 A 在 y 轴上 BC x 轴于点 C 点 A 关于直线 OB 的对称点 D 恰好在 BC 上 点 E 与点 O 关于直线 BC 对称 OBC 35 求 OED 的度数 2 已知 如图 2 3 线段 AB 求作 线段 AB 的垂直平分线 MN 作法 图 2 3 3 已知 如图 2 4 ABC 及两点 M N 求作 点 P 使得 PM PN 且 P 点到 ABC 两边的距离相等 作法 图 2 4 4 已知点 A 在直线 l 外 点 P 为直线 l 上的一个动点 探究是否存在一个定点 B 当点 P 在直线 l 上运动时 点 P 与 A B 两点的距离总相等 如果存在 请作出定点 B 若不 存在 请说明理由 图 2 5 5 如图 2 6 AD 为 BAC 的平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F 那么点 E F 是否 关于 AD 对称 若对称 请说明理由 图 2 6 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 6 已知 如图 3 7 A B 两点在直线 l 的同侧 点 A 与 A 关于直线 l 对称 连接 A B 交 l 于 P 点 若 A B a 1 求 AP PB 2 若点 M 是直线 l 上异于 P 点的任意一点 求证 AM MB AP PB 7 已知 A B 两点在直线 l 的同侧 试分别画出符合条件的点 M 1 如图 3 8 在 l 上求作一点 M 使得 AM BM 最小 作 3 如图 3 10 在 l 上求作一点 M 使得 AM BM 最小 图 3 10 8 1 如图 3 11 点 A B C 在直线 l 的同侧 在直线 l 上 求作一点 P 使得四边 形 APBC 的周长最小 图 3 11 2 如图 3 12 已知线段 a 点 A B 在直线 l 的同侧 在直线 l 上 求作两点 P Q 点 P 在点 Q 的左侧 且 PQ a 四边形 APQB 的周长最小 图 3 12 9 1 已知 如图 3 13 点 M 在锐角 AOB 的内部 在 OA 边上求作一点 P 在 OB 边上求作一点 Q 使得 PMQ 的周长最小 图 3 13 2 已知 如图 3 14 点 M 在锐角 AOB 的内部 在 OB 边上求作一点 P 使得点 P 到点 M 的距离与点 P 到 OA 边的距离之和最小 图 3 14 10 已知 如图 6 5 ABC 中 BC 边上有 D E 两点 1 2 3 4 求证 ABC 是等腰三角形 图 6 5 11 已知 如图 5 2 ABC 中 AB AC D E 在 BC 边上 且 AD AE 求证 BD CE 图 5 2 12 已知 如图 5 3 D E 分别为 AB AC 上的点 AC BC BD AD AE DE CE 求 B 的度数 图 5 3 13 已知 如图 5 4 ABC 中 AB AC D 是 AB 上一点 延长 CA 至 E 使 AE AD 试确定 ED 与 BC 的位置关系 并证明你的结论 图 5 4 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 14 已知 如图 5 5 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC D 是 BC 的中点 AE BF 求证 1 DE DF 2 DEF 为等腰直角三角形 图 5 5 15 在平面直角坐标系中 点 P 2 3 Q 3 2 请在 x 轴和 y 轴上分别找到 M 点和 N 点 使四边形 PQMN 周长最小 1 作出 M 点和 N 点 2 求出 M 点和 N 点的坐标 图 5 6 16 已知 如图 6 6 ABC 中 AB AC E 在 CA 的延长线上 ED BC 求证 AE AF 图 6 6 17 已知 如图 6 7 ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D BF 平分 ABC 交 CD 于 E 交 AC 于 F 求证 CE CF 图 6 7 18 如图 6 8 在 ABC 中 BAC 60 ACB 40 P Q 分别在 BC CA 上 并且 AP BQ 分别为 BAC ABC 的角平分线 求证 BQ AQ AB BP 图 6 8 19 如图 6 9 若 A B 是平面上的定点 在平面上找一点 C 使 ABC 构成等腰直角三 角形 问这样的 C 点有几个 并在图 6 9 中画出 C 点的位置 图 6 9 20 如图 6 10 对于顶角 A 为 36 的等腰 ABC 请设计出三种不同的分法 将 ABC 分割为三个三角形 并且使每个三角形都是等腰三角形 图 6 10 21 已知 如图 7 8 AD 是 BAC 的平分线 B EAC EF AD 于 F 求证 EF 平分 AEB 图 7 8 22 已知 如图 7 9 在 ABC 中 CE 是角平分线 EG BC 交 AC 边于 F 交 ACB 的外角 ACD 的平分线于 G 探究线段 EF 与 FG 的数量关系并证明你的结论 图 7 9 23 如图 7 10 过线段 AB 的两个端点作射线 AM BN 使 AM BN 请按以下步骤画图 并回答 1 画 MAB NBA 的平分线交于点 E AEB 是什么角 2 过点 E 任作一线段交 AM 于点 D 交 BN 于点 C 观察线段 DE CE 有什么发 现 请证明你的猜想 3 试猜想 AD BC 与 AB 有什么数量关系 图 7 10 24 已知 如图 7 11 ABC 中 AB AC A 100 BE 平分 B 交 AC 于 E 1 求证 BC AE BE 2 探究 若 A 108 那么 BC 等于哪两条线段长的和呢 试证明之 25 已知 如图 8 4 ABC 和 BDE 都是等边三角形 1 求证 AD CE 2 当 AC CE 时 判断并证明 AB 与 BE 的数量关系 图 8 4 26 如图 8 5 已知 ABC 是等边三角形 D E 分别在边 BC AC 上 且 CD CE 连 接 DE 并延长至点 F 使 EF AE 连接 AF BE 和 CF 1 请在图中找出一对全等三角形 用符号 表示 并加以证明 2 求证 AF BD 图 8 5 27 已知 如图 8 6 四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD CD AB BC 6cm BAD 30 B 90 求 CD 的长 图 8 6 28 1 如图 8 7 点 O 是线段 AD 的中点 分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作 等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD 连接 AC 和 BD 相交于点 E 连接 BC 求 AEB 的大小 图 8 7 2 如图 8 8 OAB 固定不动 保持 OCD 的形状和大小不变 将 OCD 绕着点 O 旋转 OAB 和 OCD 不能重叠 求 AEB 的大小 图 8 8 29 已知 如图 8 9 ABC 为等边三角形 延长 BC 到 D 延长 BA 到 E 使 AE BD 连接 CE DE 求证 CE DE 图 8 9 30 已知 如图 8 10 四边形 ABCD 中 A B 90 C 60 CD 2AD AB 4 1 在 AB 边上求作点 P 使 PC PD 最小 图 8 10 2 求出 1 中 PC PD 的最小值 31 如图 ABC 中 边 AB BC 的垂直平分线交于点 O 1 求证 PA PB PC 2 点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上 由此你还能得出什么结论 32 如图 ABC 和 ADE 是等边三角形 证明 BD CE 33 如图 ABC 中 D E 分别是 AC AB 上的点 BD 与 CE 交于点 O 给出下列 四个条件 EBD DCO BEO CDO BE CD OB OC 1 上述四个条件中 哪两个条件可判定 ABC 是等腰三角形 用序号写出所有情形 2 选择第 1 小题中的一种情形 证明 ABC 是等腰三角形 34 如图 P 在AOB 内 点 M N 分别是点 P 关于 AO BO 的对称点 且与 AO BO 相 交点 E F 若PEF 的周长为 15 求 MN 的长 N P O M F E B A 35 如图 5 所示 在 ABC 中 C 90 DE 垂直平分 AB 交 AB 于 E 交 BC 于 D 1 2 求 B 的度数 2 1 A BC D E 36 等腰 ABC 的腰长 AB 10cm AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于 D BCD 的周长 为 26cm 则底边 BC 的长是多少 37 如图 ABC 中 AB AC BO CO 分别为ABC ACB 的平分线 交点为 O 过 O 作 E F 平行于 BC 交 AB AC 于 F E 探索 BF CE 与 FE 的关系 说明理由 O F E C B A 38 如图 在ABC 中 ADBC 于 D 点 M N 分别在 BC 所在 的直线上 且 BM CN 1 AB AC 试判断AMN 的形状 并说明理由 2 若 AM AN 则ABC ACB 成立吗 为什么 NM DC B