9.2.1等差数列

1 数列复习例题选讲数列复习例题选讲 例例 1 1 已知数列的前项和 n an24 1 nn aS Nn1 1 a 1 设 求证 数列为等比数列 2 设 求证 是等差数 n b 1 n a n a2 n b n n n a C 2 n C 列 证明 1 两式相减得 24 1 nn aS24 12 nn aS nnn aaa44 12 2 22 112nnnn aaaa 2 1nnn aab 又 2 1nn bb 1 24 11212 aaaaS又 32 5 1212 aaba 是以 3 为首项 2 为公比的等比数列 3 n b n b 1 n 2 n n n a C 2 n n n n nn aa CC 22 1 1 1 1 1 2 2 n nn aa 1 2 n n b 4 3 2 23 1 1 n n 且 是以为首项 为公差的等差数列 2 1 2 1 1 a C n C 2 1 4 3 点评 利用等差 等比数列的定义以及逻辑推理 当一个表达式中既含有又含有 一 n a n S 般要利用 消去或 n a n S 1 n S2 n n S n a 例例 2 2 已知数列的前项和为 且 求数列的通项公式 n an n SnSa nn n a 解 2 1 2 1 12 1 11 11 nnnn nn nn aaaa nSa nSa 设 则 2 1 1 papa nn paa nn 2 1 2 1 1 1 p 即 1 2 1 1 1 nn aa 2 1 1 1 1 n n a a 又 2 1 1 111 aSa 2 1 1 1 a 数列是以为首项 以为公比的等比数列 1 n a 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 n n a1 2 1 n n a 例例 3 已知数列的前项和与满足 成等比数列 且 n an n S n a n a n S 2 1 n S 2 n 求数列的前项和 1 1 a n an n S 解 由题意 2 1 2 nnn Sa S 1nnn aSS 2 111 11 22 nnnnnnnn SSSSSSS S 2 11 1 nn SS 1 2 11 1 n SSn 12 n 12 1 n Sn 点评 常规方法是先求通项公式 然后求和 但逆向思维 直接求出数列的前项和 n an 的递推公式 是一种最佳解法 n S 2 例例 4 已知为数列的前项和 且 n S n an 1 1 1 nnnaSa nn 1 求通项公式 n a 2 令 求数列的前项和 1 1 nn n aa b n bn n T 解 1 nnaana nnanS nnnaS nnn nn nn 2 1 1 1 1 11 11 2 1 nn aa 数列是以 为首项 以为公差的等差数列 n a12 1 2 nan 2 12 1 12 1 2 1 12 12 11 1 nnnnaa b nn n nn bbbbT 321 12 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 n n nn 例例 5 设数列的前项和为 已知 n an n S 12 4 12 NnSaS nn 1 求通项公式 n a 2 求数列的前项和 2 nann n T 解 1 2 32 12 12 1 1 1 1 n a a aaa Sa Sa n n nnn nn nn 3 1 12 4 2 1 12 12 a a aa aa 3 1 2 a a 数列是以 为首项 以为公比的等比数列 n a13 3 1 Nna n n 2 令 则 232 1 nnab n nn 1 2 21 bb 当时 由于23 1 n n 3 n 2 3 1 nb n n 设数列的前项和为 则 n bn n T3 2 21 TT 当时 3 n 2 1153 2 7 2 13 93 3 2 nnnn T nn n 综上 2 2 1153 1 2 2 Nnn nn n T n n 例例 6 已知数列 n a的前项和 1 1 2 2 n nn Sa 为正整数 nn 1 令2n nn ba 求证数列 n b是等差数列 并求数列 n a的通项公式 2 令 1 nn n ca n 求 12 nn Tccc 3 解 1 在 1 1 2 2 n nn Sa 中 令 可得 11 12 n Saa 即 1 1 2 a 1 n 当2n 时 21 1111 11 2 22 nn nnnnnnn SaaSSaa 11 n11 1 2a 21 2 nn nnn aaa n 即2 11 2 1 n21 n nnnnn babbb n 即当时 b 又 11 21 ba 数列 n b是首项和公差均为 1 的等差数列 于是1 1 12 2 n nnn n n bnnaa 2 由 1 得 11 1 2 n nn n can n 所以 n T n n 2 1 1 2 1 4 2 1 3 2 1 2 32 n T 2 1 1432 2 1 1 2 1 4 2 1 3 2 1 2 n n