第3章 微分中值定理及其应用1(详解)

第第 3 章章 微分中微分中值值定理及其定理及其应应用用 作作业业 1 一选择题 1 使函数适合罗尔定理条件的区间是 A 3 22 1xxxf A B C D 10 11 22 5 4 5 3 3 在在上上连续连续 在 在内可内可导导 则则 1 与 与 2 在 在内至少有一点内至少有一点 xf b a b a bfaf b a 使得 使得 之 之间间的关系是 的关系是 B 0 f A 1 是 2 的必要但非充分条件 B 1 是 2 的充分但非必要条件 C 1 是 2 的充分必要条件 D 1 不是 2 的充分条件 也不是 2 的必要条件 二 填空题 1 设 则方程 有 3 个实根 且其根所 4321 xxxxxf 0 x f 在的区间为 1 2 2 3 3 4 3 方程有 1 个正根 02 3 xx 三 计算与证明题 2 证明当时 0 x x xx x 1 ln 1ln 1 1 证证 设设则 1 在上连续 2 在内可 lnttf tf 1 xx 0 x tf t tf 1 1 xx 导 由拉格郎日定理可知 在内至少存在一点 使得 0 x 1 xx 即由于 因此 1 1 xx xfxf f ln1ln 1 xx 10 xx 所以 1 111 xx x xx x 1 ln1ln 1 1 3 若方程若方程有一个正根有一个正根 验证验证方程方程0 1 1 10 xaxaxa n nn 0 xx 必有一个小于必有一个小于的正根 的正根 0 1 1 2 1 1 0 n nn axnanxa 0 x 证证明 明 设设由于由于在在上上连续连续 在 在 01 1 10 0 xxxaxaxaxF n nn xF 0 0 x 内可内可导导 且 且根据根据罗尔罗尔定理 定理 使得使得即即 0 0 x 00 0 xFF 0 0 x 0 F 显显然然就是方程就是方程 01 1 2 1 1 0 n nn anana 的一个小于的一个小于的正根 的正根 01 1 2 1 1 0 n nn axnanxa 0 x 4 若函数若函数在区在区间间 a b 内具有二 内具有二阶导阶导数 且数 且 其中 其中 xf 321 xfxfxf 证证明 在 明 在 x x 内至少有一点 内至少有一点 使得 使得 bxxxa 32113 0 f 证证明 由于明 由于在 上上连续连续 在 在 x x 内可 内可导导 且 且 根据罗尔中值 xf 21 x x 12 21 xfxf 定理可知 使 同理使 又函数 211 xx 0 1 f 322 xx 0 2 f 在 上上连续连续 在 在 内可 内可导导且且 根据罗尔定理 xf 21 21 0 2 1 ff 使使即即 21 0 x xf 0 f 5 如果如果 试证试证 其中 其中在在之之间间 0 21 xx 1 2121 12 xxeexex xx 21 x x 分析分析 1 将 将两边同时除以得 1 2121 12 xxeexex xx 21 xx 继续变形得 于是左边刚好与 11 1 1212 12 xx e x e x e xx e xx x e x e xx 1 11 12 12 12 柯西中值定理的形式相同 所以可以考虑用柯西中值定理去解 证证法法 1 设 应用柯西中值定理可知 x xg x e xf x 1 12 12 g f xgxg xfxf 即 1 1 1 11 2 2 12 12 12 eee ee e xx x e x e xx 第第 3 章章 微分中微分中值值定理及其定理及其应应用用 作作业业 2 填空题 1 的值等于 0 2 的值等于 x xln lim x 0 x e lim x x 3 1 2 0 3 2 4 的值等于 0 x n x x x lim 0 5 的值等于 0 x xln lim x 6 13 选择题 1 的值等于 B xsin x sinx lim x 1 2 0 A 1 B 0 C D 不存在 但不是 2 的值等于 A xcos xcos lim x 3 5 2 A B C 1 D 3 5 1 3 5 3 的值等于 B x xsinx lim x A 0 B C 2 D 不存在 1 三 计算与证明题 1 求解 解 型 x x x2 sin arctan 2 lim x x x2 sin arctan 2 lim 0 0 2 2 22 cos 1 1 lim xx x x x x x xx2 cos 1 lim 12 lim 2 2 2 1 2 求 解 解 型 xx x ln arctan2 lim xx x ln arctan2 lim 0 1 ln arctan2 lim x x x 型 0 0 x x x x1 ln 1 2 lim 2 2 2 2 1 ln2 lim x xx x x xx x 2 ln4ln2 lim 2 0 2 4ln4 lim xx x x xx x xx 2 lim ln2 lim x x 2 lim 3 求 求 解 解 ex lim x x 1 11 2 0 1 11 lim 2 0 x x ex 0 0 1 1 lim 2 2 0 x x x ex xe xx x x xee e 22 2 0 21 12 lim 5 求求 解 解 2 1 0 sin lim x x x x 1 sin lim 2 1 0 x x x x 2 sin ln 0 lim x x x x e 2 sin ln lim x x x ox e 其中其中 2 sin ln lim x x x ox 2 0 sincos 2 sin lim x xxx x x x x 3 0 2 sincos lim x xxx x 故 2 0 6 cossincos lim x xxxx x 6 1 6 1 1 0 2 sin lim e x x x x 6 求求 解 解 其中其中 x x x sin 0 tanlim 0sin 0 0 tanlim x x x xx x e tanlnsin 0 lim xx x e tanlnsinlim 0 xx x tanlnsinlim 0 0 故 x x x csc tanln lim 0 xx x x x cotcsc sec tan 1 lim 2 0 x x x 2 0 cos sin lim 1tanlim 0 sin 0 ex x x 7 求求 解 解 设设则则 0 x e x x 1 0 lim 1 t x x e x x 1 0 lim t x te lim t x e t lim t x e 1 lim 8 讨论函数 在点处的连续性 0 0 1 2 1 1 1 xe x e x xf x x 0 x 解 解 0 2 1 ef 2 1 2 1 00 limlim eexf xx 当当时 0 x 2 1ln ln1ln 11 ln x xx ex xx xf x x x xx xf xxx 2 1 1 1 lim 1ln limlnlim 0 2 00 2 1 1 1 lim 2 1 1 lim 2 1 00 xxx x xx 于是 故 在处连续 2 1 0 lim exf x 2 1 00 0limlim efxfxf xx xf0 x 第第 3 章章 微分中微分中值值定理及其定理及其应应用用 作作业业 3 填空填空题题 1 函数的 6 阶麦克劳林公式的余项 0 2 3 32 xxxf xR6 2 函数 函数的 n 次麦克劳林多项式 10 a aaxf x xpn n n x n aln x aln xaln 2 2 2 1 3 函数 函数在处的 n 次泰勒泰勒多项式 m xxf 10 x xpn n x n nmmm x mm mx 11 2 1 1 2 二 计算与证明题 2 当 时 求函数 的阶泰勒公式 1 0 x x xf 1 n 解 解 2 1 1 xxfx x xf 13 1 21 k k k xkxfxxf 21 11 11 fff 1 31 nff n 1 2 1 1 1 1 1 11 1 1 n n n n n n x n n x n f xR 11 1 2 1 n n n x 在在和和之之间间 1 x 2 1 2 1 111 1 x f xff x xf xRx n f n n n 1 1 1 2 12 111111 n n nn xxxx 3 求函数的阶麦克劳林公式 x xexf n 解解 xexfxexfxexf xxx 21 xkexf xk x xexf nn xf n xfxff0 1 0 2 1 00 2 1 1 1 1 nn xf n 12 1 1 1 1 2 2 10 nn xne n xn n xx 可表示为 132 1 1 1 2 1 n xne n xxx x 10 第第 3 章章 微分中微分中值值定理及其定理及其应应用用 作作业业 4 一一 选择题选择题 1 设设在在 0 1 上上则则或或几个数的大小几个数的大小顺顺序序为为 B 0 x f 0 1 1 0 ffff 1 0 ff A B 0 1 0 1 ffff 0 0 1 1