数列全章复习及练习题

1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 1 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做 2 数列的项 数列中的每一个数都叫做这个数列的 各项依次叫做这个数列的第 1 项 或首项 第 2 项 第 项 3 数列的一般形式 321n aaaa 或简记为 其中 是数列的第 n 项 数列的通项公式 如果数列 n a的第 n 项 n a与 n 之间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做 这个数列的 注 数列通项公式的作用 求数列中任意一项 检验某数是否是该数列中的一项 5 数列的表示方法 通项公式法 图象法 递推公式法 数列的前 n 项和 6 高中数列主要研究的问题 巩固练习 1 下列解析式中不是数列1 1 1 1 1 的通项公式的是 A 1 n n a B 1 1 n n a C 1 1 n n a D 1 1 n n a n 为奇数 为偶数 2 数列25 2 211 的一个通项公式是 A 33 n an B 31 n an C 31 n an D 33 n an 3 已知数列 n a 1 2 n anN n n 那么 1 120 是这个数列的第 项 A 9 B 10 C 11 D 12 4 数列1 8 5 15 7 24 9 的一个通项公式是 A 1 1 21 n n n n a n B 2 1 1 n n n n a n C 2 11 1 1 n n n a n D 2 2 1 21 n n nn a n 5 上述关于星星的图案构成一个数列 该数列的一个通项公式是 A 2 1 n ann B 1 2 n n n a C 1 2 n n n a D 2 2 n n n a 2 6 已知数列 n a 1 3a 2 6a 且 21nnn aaa 则数列的第五项为 A 6 B 3 C 12 D 6 7 在数列1 2 3 5 8 x 21 34 55中 x应等于 A 11B 12C 13D 14 8 在数列 n a中 1 2 2 n n n a a a 对所有的正整数n都成立 且 7 1 2 a 则 5 a A 0 B 1 C 1 D 2 9 在数列 an 中 a1 1 a2 5 an 2 an 1 an n N 则 a1 000 A 5 B 5C 1 D 1 10 若 2 n n a n 则 n a与 1n a 的大小关系是 A 1nn aa B 1nn aa C 1nn aa D 不能确定 11 数列11 13 15 21n 的项数是 A nB 3n C 4n D 5n 12 已知数列 n a 2 2103 n ann 它的最小项是 A 第一项 B 第二项 C 第三项 D 第二项或第三项 13 数列 n a n af n 是一个函数 则它的定义域为 A 非负整数集 B 正整数集 C 正整数集或其子集 D 正整数集或 1 2 3 4 n 14 下面对数列的理解有四种 数列可以看成一个定义在 上的函数 数列的项数是无限的 数 列若用图象表示 从图象上看都是一群孤立的点 数列的通项公式是唯一的 其中说法正确的序号是 A B C D 15 数列 n a中 2 76 n ann 那么150是其第 项 16 数列 an 满足 an an 1 n N a2 2 Sn是数列 an 的前 n 项和 则 S21 1 2 3 等差数列 第一部分 1 定义 若数列 1nnnn adaaa则常数满足 则称 1nnnn adaaa则常数满足 为等差数列 2 递推公式 3 通项公式 4 前 n 项和公式 2 1 2 1 1 d nn na aan S n n 5 求通项公式和前 n 项和公式的过程中用到的方法 基础练习 1 在等差数列中已知 a1 12 a6 27 则 d 2 在等差数列中已知 1 3 d a7 8 则 a1 3 等差数列 8 5 2 的第 20 项为 4 等差数列 10 6 2 2 前 项的和是 54 5 等差数列 n a的前三项为1 1 23xxx 则这个数列的通项公式为 A 21 n an B 21 n an C 23 n an D 25 n an 6 等差数列 an 中 已知 a1 a2 a5 4 an 33 则 n 为 1 3 A 48 B 49C 50 D 51 7 在等差数列中 311 40aa 则 45678910 aaaaaaa 的值为 n a A 84 B 72 C 60 D 48 8 数列 n a中 1 1 2 2 nn aannN 3 2 n a 前 n 项和 15 2 n S 则 1 a n 9 设等差数列的前 n 项和公式是 求它的前 3 项 并求它的通项公式 n a 2 53 n Snn 4 等差数列等差数列 第二部分 第二部分 等差中项等差中项 1 如果a A b成等差数列 那么A叫做a与b的 即 或 baA 2 2 等差中项 数列 n a是等差数列 2 2 11 naaa nnn21 2 nnn aaa 等差数列的性质 等差数列的性质 1 当公差0d 时 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad 是关于n的一次函数 且斜率为公差d 所以通项公式可写为 前n和 2 11 1 222 n n ndd Snadnan 是关于n的二次函数且常数项为 0 所以前 n 项和公式可写为 2 当mnpq 时 则有 特别地 当2mnp 时 则有 注 12132nnn aaaaaa 基础练习题 1 在等差数列中 若 34567 450aaaaa 则 28 aa 的值等于 n a A 45 B 75 C 180 D 300 2 等差数列中 123181920 24 78aaaaaa 则此数列前 20 项的和等于 n a A 160 B 180 C 200 D 220 3 在等差数列中 前 15 项的和 15 90S 8 a为 n a A 6 B 3 C 12 D 4 4 在等差数列 n a中 公差d 1 174 aa 8 则 20642 aaaa A 40B 45 C 50 D 55 5 在等差数列中 若 则 n 的值为 n a30 240 18 49 nn aSS A 18 B 17 C 16D 15 6 等差数列中 等于 n a 110052515021 2700 200aaaaaaa则 A 20 5B 21 5 C 1221D 20 7 一个只有有限项的等差数列 它的前 5 项的和为 34 最后 5 项的和为 146 所有项的和为 234 则它的 第七项等于 A 22B 21 C 19D 18 5 8 设 an n N N 是等差数列 Sn是其前 n 项的和 且 S5 S6 S6 S7 S8 则下列结论错误的是 A d 0 B a7 0 C S9 S5D S6与 S7均为 Sn的最大值 9 等差数列 an 的前m项和为 30 前 2m项和为 100 则它的前 3m项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 10 2 ab 与 2 ab 的等差中项是 11 在等差数列中 若 则 n a 4681012 120aaaaa 1012 2aa 12 已知数列 n a的前 n 项和 2 12 n Snn 求数列 n a的前n项和 n T 等比数列 第一部分 1 定义 若数列 1nnnn adaaa则常数满足 则称 1nnnn adaaa则常数满足 为等比数列 2 递推公式 或 3 通项公式 4 前 n 项和公式 2 1 2 1 1 d nn na aan S n n 或 基础练习题 1 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比 q 6 A B 2 C C 2D 2 等比数列 an 中 a6 a2 34 a6 a2 30 那么 a4等于 A8B 16C 8D 16 3 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 4 如果1 9a b c 成等比数列 那么 A 3 9bac B 3 9bac C 3 9bac D 3 9bac 5 若等比数列 an 满足 anan 1 16n 则公比为 A 2 B 4 C 8 D 16 6 在等比数列 n a n N 中 若 1 1a 4 1 8 a 则该数列的前 10 项和为 A 4 1 2 2 B 2 1 2 2 C 10 1 2 2 D 11 1 2 2 7 各项都是正数的等比数列 公比 成等差数列 则公比 n a1 q 875 aaaq 8 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 9 等比数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 S 2 2S 3 3S成等差数列 则 n a的公比为 等比数列等比数列 第二部分 第二部分 1 设 a G b 成等比数列 则 G 称 a b 的 中项 可得 abG 2 若数列 1nnnn adaaa则常数满足 为等比数列 当时 则有 mnpq mnpq aaaa AA 特别地 当时 则有 2mnp 2 mnp aaa A 3 若是等比数列 且公比 则数列 也是等比数列 n a1q 232 nnnnn SSSSS 基础练习 1 在等比数列 an 中 a2 3 则 a1a2a3 A 81B 27C 22D 9 2 正项等比数列 an 中 a2a5 10 则 lga3 lga4 7 A 1B 1C 2D 0 3 在等比数列 bn 中 b3 b9 9 则 b6的值为 A 3B 3C 3D 9 4 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 3 则 A B C D 1 5 在等比数列 an 中 an 0 a2 1 a1 a4 9 a3 则 a4 a5 A 16B 27C 36D 81 6 已知数列 1 a1 a2 4 成等差数列 1 b1 b2 b3 4 成等比数列 则的值是 A B C 或 D 7 在等比数列 an 中 a1 a2 an 2n 1 n N 则 a a a 等于 2 12 22 n A 2n 1 2 B 2n 1 2C 4n 1 D 4n 1 1 3 1 3 8 已知 n a是等比数列 4 1 2 52 aa 则 13221 nna aaaaa A 16 n 41 B 6 n 21 C 3 32 n 41 D 3 32 n 21 9 如果一个数列既是等差数列 又是等比数列 则此数列 A 为常数数列 B 为非零的常数数列 C 存在且唯一 D 不存在 10 在等差数列 n a中 4 1 a 且 1 a 5 a 13 a成等比数列 则 n a的通项公式为 A 13 nanB 3 nanC 13 nan或4 n aD 3 nan或4 n a 11 在等比数列 an 中 a7 a11 6 a4 a14 5 则 a20 a10 8 A B C 或D 或 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 12 在等比数列 an 中 a1 2 前 n 项和为 Sn 若数列 an 1 也是等比数列 则 Sn等于 A 2n 1 2 B 3nC 2nD 3n 1 13 数列 an 的前 n 项之和为 Sn Sn 1 an 则 an 2 3 14 an 是等比数列 前 n 项和为 Sn S2 7 S6 91 则 S4 数列的求和 1 直接法 即直接用等差 等比数列的求和公式求和 1 等差数列的求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列的求和公式 切记 公比含字母时一定要讨论 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 练习 1 在等比数列 an 中 a1 a2 an 2n 1 n N 则 a a a 等于 2 12 22 n A 2n 1 2B 2n 1 2 1 3 C 4n 1 D 4n 1 1 3 2 公式法 22222 1 1 21 123 6 n k n nn kn 2 33333 1 1 123 2 n k n n kn 3 倒序相加法 1 等差数列求和公式的推导 练习 2 求 2222 sin 1sin 2sin 3sin 89 9 3 错位相减法 比如 2211 的和求等比等差 nnnn babababa 1 等比数列求和公式的推导 练习 求数列的前项和 2 4 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 正负相消剩下首尾若干项 求数列 1nnnn adaaa则常数满足 的前 n 项和 1 11 1 1 nnnn 常见拆项公式 1 11 1 1 nnnn 11 11 2 22n nnn 10 12 1 12 1 2 1 12 12 1 nnnn 求数列 1nnnn adaaa则常数满足 的前 n 项和 11 11 2 22n nnn 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 5 分组求和法 把数列的每一项分成若干项 使其转化为等差或等比数列 再求和 练习 数列的前 n 项之和是 数列的通项的求法 1 公式法 已知 即 求 用作差法 n S 12 n aaaf n n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 例 已知数列的前 n 项和满足 求数列的通项公式 n a n S 2 n a 11 练习 已知数列的前 n 项和满足 求数列的通项公式 n a n S 2 1 n a 二 累加法 1 适用于 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一 1 nn