机械设计及阿基米德螺旋线

一一 阿基米德螺旋线阿基米德螺旋线 很多人都知道飞蛾扑火这个故事 但是 为什么飞蛾会这么执很多人都知道飞蛾扑火这个故事 但是 为什么飞蛾会这么执 着地扑向火光呢着地扑向火光呢 这要从它的祖先谈起 飞蛾的历史远比人类悠久 这要从它的祖先谈起 飞蛾的历史远比人类悠久 在亿万年前 没有人造火光 飞蛾完全靠天然光源在亿万年前 没有人造火光 飞蛾完全靠天然光源 日光 月光或星日光 月光或星 光光 指引飞行 由于太阳 月亮 星星距离地球都很远 它们发出的指引飞行 由于太阳 月亮 星星距离地球都很远 它们发出的 光线照到地球上可以认为是平行直线 当飞蛾直线飞行时 它在任光线照到地球上可以认为是平行直线 当飞蛾直线飞行时 它在任 何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值 如图如图1 1 可是 如 可是 如 果光源离得很近 不能将它们发出的光线看作平行光时 飞蛾再按果光源离得很近 不能将它们发出的光线看作平行光时 飞蛾再按 照固有的习惯飞行 飞出的路线就不是直线 而是一条不断折向灯照固有的习惯飞行 飞出的路线就不是直线 而是一条不断折向灯 光光源的螺旋形路线光光源的螺旋形路线 如图如图2 2 这在数学上称为阿基米德螺线 这在数学上称为阿基米德螺线 通俗通俗 的说 阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的的说 阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的 轨迹 举一个形象一点的例子 时钟上的指针在作匀速转动 假如轨迹 举一个形象一点的例子 时钟上的指针在作匀速转动 假如 有一只小虫子从时钟的中心 沿指针作匀速爬动 那么虫子最终走有一只小虫子从时钟的中心 沿指针作匀速爬动 那么虫子最终走 出的轨迹就是阿基米德螺线 如图出的轨迹就是阿基米德螺线 如图3 3 阿基米德螺旋线的标准阿基米德螺旋线的标准 极坐标方程为 极坐标方程为 at P0 式中 式中 a 阿基米德螺旋线系数 阿基米德螺旋线系数 mm 表示每旋转 表示每旋转 1 度时极径度时极径 的增加 或减小 量 的增加 或减小 量 t 极角 单位为度 表示阿基米德螺旋线转过的总度数 极角 单位为度 表示阿基米德螺旋线转过的总度数 o 当当 t 0 时的极径 时的极径 mm 阿基米德螺线的简单画法阿基米德螺线的简单画法 有一种最简单的方法画出阿基米德螺线 如图有一种最简单的方法画出阿基米德螺线 如图4 4 用一根线缠在 用一根线缠在 一个线轴上 在其游离端绑上一小环 把线轴按在一张纸上 并在一个线轴上 在其游离端绑上一小环 把线轴按在一张纸上 并在 小环内套一支铅笔 用铅笔拉紧线 并保持线在拉紧状态 然后在小环内套一支铅笔 用铅笔拉紧线 并保持线在拉紧状态 然后在 纸上画出由线轴松开的线的轨迹 就得到了阿基米德螺线 纸上画出由线轴松开的线的轨迹 就得到了阿基米德螺线 二二 蜗轮蜗杆的材料蜗轮蜗杆的材料 由于蜗杆传动啮合摩擦较大 且由于蜗杆传动啮合摩擦较大 且 由于蜗轮滚刀的轮齿尺寸不可能由于蜗轮滚刀的轮齿尺寸不可能 做得和蜗杆绝对相同 被加工出做得和蜗杆绝对相同 被加工出 来的蜗轮齿形难以和蜗杆齿精确来的蜗轮齿形难以和蜗杆齿精确 共轭 必须跑合才能逐渐理想 共轭 必须跑合才能逐渐理想 因此 材料副的组合必须具有良因此 材料副的组合必须具有良 好的减磨和跑合性能以及抗胶合好的减磨和跑合性能以及抗胶合 性能 所以蜗轮常采用青铜或者性能 所以蜗轮常采用青铜或者 铸铁做齿圈 并且可能与淬硬并经磨削的钢制蜗杆相匹配 铸铁做齿圈 并且可能与淬硬并经磨削的钢制蜗杆相匹配 1 蜗杆材料一般用合金钢或碳钢制成 大部分蜗杆的齿蜗杆材料一般用合金钢或碳钢制成 大部分蜗杆的齿 面经渗碳淬火等热处理获得较高的硬度 由于考虑蜗杆的齿面经渗碳淬火等热处理获得较高的硬度 由于考虑蜗杆的齿 数少 工作长度短 受力次数多等原因所致 因此 蜗杆的数少 工作长度短 受力次数多等原因所致 因此 蜗杆的 材料不用有色金属做 材料不用有色金属做 2 蜗轮轮齿一般用铜合金或者铸铁制成 蜗轮的材料为铸蜗轮轮齿一般用铜合金或者铸铁制成 蜗轮的材料为铸 造锡青铜 用于滑动速度大于等于造锡青铜 用于滑动速度大于等于 3 的重要传动 铸造铝的重要传动 铸造铝 铁青铜 一般用于滑动速度小于等于铁青铜 一般用于滑动速度小于等于 4 的传动 等 其强度的传动 等 其强度 远远不如钢制蜗杆 且蜗杆螺牙成螺旋状强度较大 因此蜗远远不如钢制蜗杆 且蜗杆螺牙成螺旋状强度较大 因此蜗 轮轮齿是蜗杆传动中的薄弱环节 轮轮齿是蜗杆传动中的薄弱环节 三三 渐开线与延伸渐开线的区别与联系渐开线与延伸渐开线的区别与联系 渐开线是在平面上 一条动直线 发生线 沿着一个固定的圆 基渐开线是在平面上 一条动直线 发生线 沿着一个固定的圆 基 圆 作纯滚动时 此动直线上圆 作纯滚动时 此动直线上 一点的轨迹 一点的轨迹 将将一一个个圆圆轴轴固固 定定在在一一个个平平面面上上 轴轴上上缠缠线线 拉拉紧紧一一个个线线头头 让让该该线线绕绕 圆圆轴轴运运动动且且始始终终与与圆圆轴轴相相切切 那那么么线线上上一一个个定定点点在在该该平平 面面上上的的轨轨迹迹就就是是渐渐开开线线 直直线线在在圆圆上上纯纯滚滚动动时时 直直线线上上一一点点 K 的的轨轨迹迹称称为为该该圆圆的的渐渐开开 线线 该该圆圆称称为为渐渐开开线线的的基基圆圆 直直线线称称为为渐渐开开线线的的发发生生线线 渐渐开开 线线的的形形状状仅仅取取决决于于基基圆圆的的大大小小 基基圆圆越越小小 渐渐开开线线越越弯弯曲曲 基基圆圆 越越大大 渐渐开开线线越越平平直直 基基圆圆为为无无穷穷大大时时 渐渐开开线线为为斜斜直直线线 渐渐开开 线线方方程程为为 x r cos r sin y r sin r cos z 0 式式中中 r 为为基基圆圆半半径径 为为展展角角 其其单单位位为为弧弧度度 而延伸渐开线是在平面上 一条动直线 发生线 沿着一个固定的圆 基而延伸渐开线是在平面上 一条动直线 发生线 沿着一个固定的圆 基 圆 作纯滚动时 与圆心同居于动直线的一侧 并与动直线固连的一点的圆 作纯滚动时 与圆心同居于动直线的一侧 并与动直线固连的一点的 轨迹 轨迹 二者的共同点都是直线沿基圆做纯滚动 不同点是 渐开线为直线二者的共同点都是直线沿基圆做纯滚动 不同点是 渐开线为直线 上的一点所形成的 延伸渐开线为直线外一定点所形成的 也叫长上的一点所形成的 延伸渐开线为直线外一定点所形成的 也叫长 幅渐开线幅渐开线 四四 锥面包络圆柱蜗杆 锥面包络圆柱蜗杆 zk 蜗杆 蜗杆 锥面包络圆柱蜗杆锥面包络圆柱蜗杆 ZK 蜗杆蜗杆 这是一种非线性螺旋曲面蜗杆 它不能在车这是一种非线性螺旋曲面蜗杆 它不能在车 床上加工 只能在铣床上铣制并在磨床上磨削 加工时 除工件作螺旋运动外 床上加工 只能在铣床上铣制并在磨床上磨削 加工时 除工件作螺旋运动外 刀具同时绕其自身的轴线作回转运动 这时 铣刀刀具同时绕其自身的轴线作回转运动 这时 铣刀 或砂轮或砂轮 回转曲面的包络面回转曲面的包络面 即为蜗杆的螺旋齿面 即为蜗杆的螺旋齿面 ZK 蜗杆主要是在改进阿基米德蜗杆磨削加工中产生的 磨削蜗杆主要是在改进阿基米德蜗杆磨削加工中产生的 磨削 时 将梯形砂轮时 将梯形砂轮 或片状锥形砂轮或片状锥形砂轮 安置在蜗杆齿槽安置在蜗杆齿槽 内 使刀具轴线内 使刀具轴线 与蜗杆轴线在空与蜗杆轴线在空 间交错成一个等间交错成一个等 于蜗杆分度圆柱于蜗杆分度圆柱 上的导程角上的导程角 在蜗杆与刀具的相对运动中所得到的砂轮回转面的包络面即为蜗杆在蜗杆与刀具的相对运动中所得到的砂轮回转面的包络面即为蜗杆 螺旋螺旋面 它是非线性的 在各个剖面上的廓线都是曲线 因此通常面 它是非线性的 在各个剖面上的廓线都是曲线 因此通常 也称为曲纹面蜗杆 由于砂轮的母线为直线 易于修正 故蜗杆的也称为曲纹面蜗杆 由于砂轮的母线为直线 易于修正 故蜗杆的 磨削及蜗轮滚刀制造也比较容易 因此这