平面解析几何2

1 x y 2 O 高中数学总复习数学教案高中数学总复习数学教案 平面解析几何平面解析几何 教学目的教学目的 由于时间和内容的要求 这一部分内容比较细 逐条按照例题讲解是不现实的 所以先和大家一起把主要要点复习一下 完了再跟大家分享一些解平面解析几何用到的方 式方法 直线的倾斜角 斜率以及直线方程直线的倾斜角 斜率以及直线方程 考纲要求 1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率计算公式 2 掌握确定直线位置的几何要素 掌握直线方程的三种形式 点斜式 两点式和一般式 了解斜截式与一次函数的关系 一 要点精讲 2 直线的倾斜角直线的倾斜角 3 3 直线的斜率 直线的斜率 考点考点 在分析直线的倾斜角和斜率的关系时 要根据正切函数 k tan 的 单调性 当 由 0 增大到 90 90 时 k 由 0 增大到 当 由 90 不等于 90 增大到 180 180 时 k 由 趋近于 0 解决此类问题时 可采用数形结合思想 借助 图形直观做出判断 求斜率的一般方法 a 已知直线上两点 根据斜率公式 求斜率 b 已知直线的倾斜角 或 的某种三 21 21 yy k xx 12 xx 角函数 根据 k tan 来求斜率 利用斜率证明三点共线的方法 已知 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 若 x1 x2 x3或 kAB kAC 则有 A B C 三点共线 3 直线方程直线方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 xxkyy l 111 yxPk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 bkxy l 3 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 12 yy 12 xx 4 截距式 分别为轴轴上的截距 且 1 b y a x ba xy0 0 ba 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0 CByAx 考点考点 求直线方程时 首先分析具备什么样的条件 然后恰当地选用直线方程的形式准确 写出直线方程 求直线方程的一般方法有 1 直接法 根据已知条件 选择适当的直线方 程形式 直接写出直线的方程 2 待定系数法 先设出直线方程 再根据已知条件求出待 定系数 最后带入求出直线方程 利用直线方程解决问题 可灵活选用直线方程的形式 以便简化运算 1 一般地 已知一点通常选择点斜式 已知斜率选择斜截式或点斜式 已知截距或两点选择截距式或 两点式 2 从所求的结论来看 若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长 常选用截距 2 式或点斜式 直线位置关系和距离直线位置关系和距离 考纲要求 1 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2 能用解方程组方法求两条直线的交点坐标 3 掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求平行线之间的距离 一 要点精讲 1 特殊情况下直线的平行与垂直特殊情况下直线的平行与垂直 2 斜率存在时两直线的平行与垂直斜率存在时两直线的平行与垂直 3 几种距离 几种距离 1 平面间两点间的距离公式平面间两点间的距离公式 2 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 3 平行直线间的距离公式平行直线间的距离公式 考点考点 判定两条直线相交的方法 1 代数法 解两条直线所组成的方程组 利用 解的个数来判断 2 几何法 a 利用斜率 若 k1 k2 则 l1与 l2相交 B 利用系数比 若 A1B2 A2B1 则 l1与 l2相交 求点到直线的距离 一般先把直线方程化为一般式 求两条平行线间的距离有两种思路 1 利用 化归 法将两条平行线的距 离转化成为一条直线上任意一点到另一条直线上的距离 2 直接利用两条平行 线间的距离公式 22 21 BA CC d 四种对称的求解方法 点 P关于点 C的对称点坐标为 00 xy a b 00 2 2axby 特别的 点关于轴的对称点为 关于轴的对称点为 00 P xyx 00 xy y 关于原点的对称点为 关于的对称点为 00 xy 00 xy yx 00 yx 关于的对称点为 yx 00 yx 直线关于点 C对称的直线方程为0lAxByC a b 2 2 0AaxBbyC 求法 设所求直线上任意一点为 P 则 P 关于 C的对称点 x y a b 在直线上 即所求直线方程为 2 2axby 0AxByC 2a 2b 0AxByC 点关于直线的对称点的坐标的求法 P a b0AxByC 设所求的对称点的坐标为 则的中点一定在 P 00 xy PP 00 22 axby 直线上 且直线与直线的斜率互为负倒数 0AxByC PP0AxByC 3 即 联立解出对称点 0 0 1 ybA xaB P 00 xy 直线关于直线对称 直线关于直线对称可转化为点关于直线对称解决 在上任取两点 1 l 1 P 求出 关于 的对称点 再用两点式求出关于 对称的直线 2 P 1 P 2 Pl 1 P 2 P 1 ll 的方程 2 l 圆与方程圆与方程 考纲要求 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程和一般方程 1 1 要点精讲要点精讲 1 圆的方程 圆的方程 1 圆的标准方程 2 圆的一般方程 3 圆的直径式方程 4 一般方程的特点 2 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三 00 yxP 222 rbyax 种 考点考点 确定圆的方程主要采用待定系数法 一句条件设出圆的方程 建立关于 a b r 或 D E F 的三元方程即可 一般地 求圆的方程时 当条件中给出的是袁尚若干点的坐标 较适合用一 般式 通过解三元方程组求待定系数 当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某 直线 圆的切线方程 圆的弦长等条件 适合标准式 研究与圆有关的最值问题时 可借助图形的兴致 利用数形结合求解 一般 地 1 形如 ax by u 形式的最值问题时 可转化为动直线的斜率的最值问题 2 形如 t ax by 形式的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的最值问题 求与圆有关的轨迹问题时 可以根据题设条件的不同采用以下四种方法 1 直接法 直接根据题设条件列出方程 2 定义法 根据圆 直线等定义列出方程 3 几何法 利用圆与圆的几何性质列出方程 代入法 由动点与已知点的关系 代入已知点满足的条件可得方程 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 考纲要求 1 能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断 4 两圆的位置关系 2 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1 要点精讲 1 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 2 2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 考点考点 判断两圆的位置关系常用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系 一般不采用代数法 若两圆相交 则两圆公共弦所在的方程可由两圆的方程作差消去x2和y2项即可得 到 有关圆的切线问题 已知圆 22 0 xyDxEyF 过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 k 这时 00 yyk xx 必有两条切线 注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 再利用相切条件求 b 必有两条切线 ykxb 若已知切点在圆上 则只一条切线 方程为 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 已知圆 过圆上的点的切线方程为 222 xyr 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为的圆的切线方程为 k 2 1ykxrk 几种常见的圆锥曲线几种常见的圆锥曲线 考纲要求 考纲要求 了解椭圆 双曲线 抛物线的定义 几何图形和标准方程 知道它们的简单几何性质 常规题型及解题的技巧方法常规题型及解题的技巧方法 A 常规题型方面常规题型方面 1 中点弦问题 中点弦问题 典型例题典型例题 给定双曲线 过 A 2 1 的直线与双曲线交于两x y 2 2 2 1 点 及 求线段的中点 P 的轨迹方程 P1P2P1P2 2 焦点三角形问题 焦点三角形问题 典型例题典型例题 设 P x y 为椭圆上任一点 为焦点 x a y b 2 2 2 2 1 Fc 1 0 F c 2 0 PF F 12 PF F 21 1 求证离心率 sinsin sin e 5 2 求的最值 PFPF 1 3 2 3 3 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线位置关系问题 典型例题典型例题 抛物线方程 直线与 轴的交点在抛物线准线的右边 yp xpxytx 2 10 1 求证 直线与抛物线总有两个不同交点 2 设直线与抛物线的交点为 A B 且 OA OB 求 p 关于 t 的函数 f t 的表达式 4 圆锥曲线的有关最值 范围 问题圆锥曲线的有关最值 范围 问题 典型例题典型例题 已知抛物线 y2 2px p 0 过 M a 0 且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A B AB 2p 1 求 a 的取值范围 2 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N 求 NAB 面积的最 大值 5 求曲线的方程问题 求曲线的方程问题 典型例题典型例题 已知直线 L 过原点 抛物线 C 的顶点在原点 焦点在 x 轴正半轴上 若点 A 1 0 和点 B 0 8 关于 L 的对称点都在 C 上 求直线 L 和抛物线 C 的方程 分析 1 曲线的形状已知 可以用待定系数法 2 曲线的形状未知 求轨迹方程 典型例题典型例题 已知直角坐标平面上点 Q 2 0 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数 0 求动点 M 的轨迹方程 并说明它是什么曲 线 这种方法叫做直接法 6 存在两点关于直线对称问题存在两点关于直线对称问题 典型例题典型例题 已知椭圆 C 的方程 试确定 m 的取值范围 使得对于直线 xy 22 43 1 椭圆 C 上有不同两点关于直线对称 yxm 4 M N QO 6 7 两线段垂直问题 两线段垂直问题 典型例题典型例题 已知直线的斜率为 且过点 抛物线 直线lkP 2 0C yx 2 41 与抛物线 C 有两个不同的交点 如图 l 1 求的取值范围 k 2 直线的倾斜角为何值时 A B 与抛物线l C 的焦点连线互相垂直 B 解题的技巧方面解题的技巧方面 在教学中 学生普遍觉得解析几何问题的计算量 较大 事实上 如果我们能够充分利用几何图形 韦 达定理 曲线系方程 以及运用 设而不求 的策略 往往能够减少计算量 下面举例说明 一 充分利用几何图形一 充分利用几何图形 典型例题典型例题 设直线与圆340 xym 相交于 P Q 两点 O 为坐标xyxy 22 20 原点 若 求的值 OP OQ m 二二 充分利用韦达定理及充分利用韦达定理及 设而不求设而不求 的策略的策略 典型例题典型例题 已知中心在原点 O 焦点在轴上的椭圆与直线相交于 P Q 两点 yyx 1 且 求此椭圆方程 OP OQ PQ 10 2 三三 充分利用曲线系方程充分利用曲线系方程 典型例题典型例题 求经过两已知圆和0 的Cxyxy 1 22 420 Cxyy 2 22 24 交点 且圆心在直线 上的圆的方程 l2410 xy 四 充分利用椭圆的参数方程四 充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正 余弦 利用正 余弦的有界性 可以解决相关的求最值的问 题 这也是我们常说的三角代换法 典型例题典型例题 P 为椭圆上一动点 A 为长轴的右端点 B 为短轴的上端点 求 22 22 1 xy ab 四边形 OAPB 面积的最大值及此时点 P 的坐标 五 线段长的几种简便计算方法五 线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果 减少运算过程 y B A P 2 0 O x 7 例 求直线被椭圆所截得的线段 AB 的长 xy 10 xy 22 416 结合图形的特殊位置关系 减少运算 例 是椭圆的两个焦点 AB 是经过的弦 若 求F1F2 xy 22 259 1 F1 AB 8 值 22 BFAF 利用圆锥曲线的定义 把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A 3 2 为定点 点 F 是抛物线的焦点 点 P 在抛物线yx 2 4 上移动 若取得最小值 求点 P 的坐标 y 2 4x PAPF 小结 课后作业 1 已知三点 A a 2 B 3 7 C 2 9a 在一条直线上 求实数 a 的值 2 如图 1 23 直线 l1的倾斜角 1 30 直线 l2 l1 求 l1 l2的斜率 3 如图 过点 P 2 1 作直线 l 分别交 x y 轴正半轴于 A B 两点 1 当 AOB 的面积最小时 求直线 l 的方程 2 当 PA PB 取最小值时 求直线的方程 8 点拨 设出直线方程 截距式或点斜式 解答本题 建立关系式 由最值求直线方程 4 安徽高考 过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行的直线方程是 A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y 1 0 5 P x y 是直线 L f x y 0 上的点 P x y 是直线 L 外一点 则方 111222 程 f x y f x y f x y 0 所表示的直线 1122 A 相交但不垂直 B 垂直 C 平行 D 重合 6 已知点 P 2 1 求过点 P 且与原点距离为 2 的直线方程 2 求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程 最大距离是多少 3 是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线 若存在 求出方程 若不存在 请说明理由 点拨 设出直线方程 由点到直线距离求参数 判断何时取得最大值并求之 7 已知椭圆的右焦点为 为椭圆的上顶点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 FM 为坐标原点 且 是等腰直角三角形 OOMF 求椭圆的方程 9 x y 2 O 是否存在直线l交椭圆于 两点 且使点F为 的垂心 垂心 三角PQPQM 形三边高线的交点 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 8 已知椭圆的一个焦点是 且离心率为 C 22 22 1 0 xy ab ab 1 0 F 1 2 求椭圆的方程 C 设经过点的直线交椭圆于两点 线段的垂直平分线交轴于点FC M NMNy 求的取值范围 0 0 Py 0 y 9 已知抛物线的顶点在原点 它的准线过双曲线的右焦点 而且与 1 2 2 2 2 b y a x 轴垂直 又抛物线与此双曲线交于点 求抛物线和双曲线的方程 x 6 2 3 10 双曲线 a 1 b 0 的焦距为 2c 直线l过点 a 0 和 0 b 且点1 2 2 2 2 b y a x 1 0 到直线l的距离与点 1 0 到直线l的距离之和 s c 求双曲线的离心 5 4 率 e 的取值范围 高中数学必修 2 解析几何 常用公式结论 1 1 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与斜率 当 0 90 时 斜率 0 tank k 当 90 180 时 斜率 0 k 过两点 的直线斜率公式 111 P x y 222 P xy 21 21 yy k xx 2 2 直线的五种方程 直线的五种方程 点斜式 直线 过点 且斜率为 00 yyk xx l 00 P xyk 斜截式 为直线的斜率 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb kl 两点式 且 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 12 xx 111 P x y 222 P xy 截距式 分别为直线的横 纵截距 且 1 xy ab ab 0ab 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 3 3 两条直线平行和垂直的等价关系 两条直线平行和垂直的等价关系 1 若 则 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 10 111 1212211221 222 0 ABC l lA BA BCC ABC 且且BB 121212 0llA AB B 4 4 五种常用直线系方程 五种常用直线系方程 斜率为的直线系方程为 为常数 为参数 kykxb kb 过定点的直线系方程为 及 00 M xy 00 yyk xx 0 xx 与直线平行的直线系方程为 为0AxByC 0AxBy C 参数 与直线垂直的直线系方程为 为参数 0AxByC 0BxAy 过直线和的交点的直线系的方程 1111 ABC0lxy 2222 ABC0lxy 为 不含 为参数 111222 ABCABC0 xyxy 2 l 5 5 两点间距离公式 两点间距离公式 其中两点为 22 122121 PPxxyy 111 P x y 222 P xy 特别的 点到坐标原点的距离为 P x y 0 0 O 22 OPxy 6 6 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 7 7 两条平行直线间的距离公式 两条平行直线间的距离公式 直线 21 22 CC d AB 1 l 1 0AxByC 2 l 2 0AxByC 8 8 光的反射定律 光的反射定律 当反射面是坐标轴时 入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数 即 kk 入反 9 9 四种对称的求解方法 四种对称的求解方法 点点 P关于点关于点 C的对称点坐标为的对称点坐标为 00 xy a b 00 2 2axby 特别的 点关于轴的对称点为 关于轴的对称点为 00 P xyx 00 xy y 关于原点的对称点为 关于的对称点为 关于 00 xy 00 xy yx 00 yx 的对称点为 yx 00 yx 直线直线关于点关于点 C对称的直线方程为对称的直线方程为0lAxByC a b 2 2 0AaxBbyC 求法 设所求直线上任意一点为 P 则 P 关于 C的对称点 x y a b 在直线上 即所求直线方程为 2 2axby 0AxByC 2a 2b 0AxByC 点点关于直线关于直线的对称点的坐标的求法 的对称点的坐标的求法 P a b0AxByC 设所求的对称点的坐标为 则的中点一定在直线 P 00 xy PP 00 22 axby 上 且直线与直线的斜率互为负倒数 即0AxByC PP0AxByC 联立解出对称点 0 0 1 ybA xaB P 00 xy 11 直线关于直线对称 直线关于直线对称 直线关于直线对称可转化为点关于直线对称解决 在上任取两点 求出 1 l 1 P 2 P 1 P 关于 的对称点 再用两点式求出关于 对称的直线的方程 2 Pl 1 P 2 P 1 ll 2 l 1010 圆的两种方程 圆的两种方程 圆的标准方程 圆心为 半径为 222 xaybr a br 圆的一般方程 22 0 xyDxEyF 22 40DEF 圆心为 半径为 22 DE 22 4 2 DEF r 1111 圆系方程 圆系方程 过直线 与圆 的交点的圆系方程是l0AxByC C 22 0 xyDxEyF 是待定的系数 22 0 xyDxEyFAxByC 过圆 与圆 的交点 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF