江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题

南京师大附中 2014 2015 学年高一年级第一学期期中考试数学试卷 姓名 班级 学号 命题人 高一备课组 审阅人 刘明 一 填空题一 填空题 本大题共本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 3 分 共分 共 42 分 分 把把答案填在答案填在答题卡的相应位置答题卡的相应位置 1 设全集 0 1 2 3 4 U 0 1 2 3 A 2 3 4 B 则 UU AB 答案 0 1 4 解析 直接利用集合的运算求解 2 函数 2 log 32 yx 的定义域为 答案 2 3 解析 真数大于 0 解不等式即可 3 如图 设实数 0a b c d 且不等于 1 曲线 分别表 示函数 log log xx cd yaybyx yx 在同一坐标系中的图像 则 a b c d的大小顺序为 答案 bacd 解析 两个指数函数的底数都在 0 1之间 根据1x 时判断出ba 而两个对数函数的底数都大于 1 根据1y 时判断出cd 所以bacd 4 某高级中学高一特长班有 100名学生 其中学绘画的学生有 67人 学音乐的学生有 45 人 而学体育 的学生既不能学绘画 也不能学音乐 人数是 21 人 那么同时学绘画和音乐的学生有 人 答案 33 解析 根据韦恩图可得同时学绘画和音乐的人数为 67 45 21 100 33 5 已知幂函数yx 的图像过点 8 4 则这个函数的解析式是 答案 2 3 yx 解析 带入得48 即 23 22 所以 2 3 6 已知函数 3 10 5 10 nn f n f f nn 其中n N 则 8 f等于 答案 7 解析 8 13 10 7ff ff 7 设lg2a lg3b 则 5 log 12 结果用 a b表示 答案 2 1 ab a 解析 5 lg122lg2lg32 log 12 lg51lg21 ab a 8 函数 2 lg 2 yxx 的单调递增区间是 答案 2 解析 先注意定义域 真数大于 0 解得 0 2 x 因为外层的对数函数单调增 所以需要内 层函数也是单调增 所以单调递增区间为 2 9 f x是定义在 0 上单调增函数 若 2 f xfx 则x的取值范围是 答案 1 2 解析 结合定义域和单调增可得02xx 解得12x 10 4 48391 2 log 3log 3 log 2log 2 log32 答案 0 解析 原式 2321 5 4 3 2232 log3log3 log 2log2 log2 22332 1115 log 3log 3 log 2log 2 log 2 2324 23 535 log 3log 20 624 11 函数 2 log3f xxx 的零点所在区间为 1 k kk Z 则k的值是 答案 2 解析 可以证明当01x 时 f x恒小于 0 而当1x 时 f x单调增 且 2 2 2log 2310f 22 3 3log 333 log 3 1 0f 所以可以得到2k 12 已知函数 2 1f xmxmx 的定义域是一切实数 则实数m的取值范围是 答案 0 4 解析 根号中的东西恒大于等于 0 当0m 时 根号内的东西恒等于 1 满足条件 而当0m 时 根号 内为二次函数 要恒大于等于 0 所以开口向上且最小值大于等于 0 所以 2 0 4 0 4 m mm m 解得04m 综上 0 4 m 13 若函数 2 34f xxx 的定义域为 0 m 值域为 25 4 4 则实数m的取值范围为 答案 3 3 2 解析 函数 2 34f xxx 的最小值为 325 24 f 所以一定有 3 0 2 m 所以 3 2 m 且最大值是 4 因为 0 3 4ff 所以3m 综上 3 3 2 m 14 已知 f x是R上的奇函数 满足 2 f xf x 当 0 1 x 时 22 x f x 则 1 2 log 6 f 答案 1 2 解析 因为 122 2 log 6log 6log 3 1 根据周期性和奇函数得 122 2 log 6 log 3 1 log 3 1 fff 2 log 312 f 2 log 3 1 f 又因为 2 0log 3 11 所以原式 2 log 3 1 2 1 log 3 1 22 2 f 二 解答题二 解答题 本大题共本大题共 6 小题 共小题 共计计 58 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答写在答题卡的解答写在答题卡的 指定区域内指定区域内 15 本小题 8 分 集合 310 Axx 27 Bxx Cx xa 求AB 求 AB R 若AC 求实数a的取值范围 答案 2 10 2 3 3 解析 由题可知 3 10 A 2 7 B 2 10 AB 先算 3 10 A R 所以 2 3 AB R 因为 Ca 且AC 所以3a 即 3 a 16 本小题 8 分 函数 2 21 xx yaa 0a 且1a 在区间 1 1 上的最大值为 14 求a的值 答案 3a 或 1 3 解析 令 x at 若01a 因为 1 1 x 所以 1 ta a 函数变为 2 21ytt 对称轴为1t 且开口向上 所以最大值为 2 11 2 1 aa 所以得到方程 2 11 2 114 aa 结合0a 解得 1 3 a 所以 1 3 a 若1a 方法和前面一样可得3a 综上 3a 或 1 3 17 本小题 10分 已知a为实数 当a分别为何值时 关于x的方程 2 68 0 xxa 有两个 三个 四个互不相等的实 数根 答案 0 1 a 时两个 1a 时三个 01a 时四个 解析 转化成函数 2 68 yxx 和函数ya 有交点的问题 画 图 即可得到 0a 时 没有交点 0a 时 有两个交点 01a 时 有四个交点 1a 时 有三个交点 1a 时 有两个交点 18 本小题 10分 某校学生研究性学习小组发现 学生上课的注意力指标随着听课时间变化而变化 老师讲课开始时学生 的兴趣激增 接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间 随后学生的注意力开始分散 该小组发 现注意力指标 f t与上课时刻t分钟末的关系如下 0 40 t 设开始上课时 0t 10 10060 010 340 1020 0 15640 2040 t at f tta tt 且1 a 若上课后第 5分钟末时的注意力指标为 140 求a的值 上课后第 5分钟末和下课前 5 分钟末比较 哪个时刻注意力更集中 在一节课中 学生的注意力指标至少达到 140的时间能保持多长 答案 4a 上课后第五分钟末的注意力更集中 85 3 分钟 解析 由题得 5 140f 所以 1 2 10060140a 解得4a 因为 5 140f 而 35 15 35640115140f 所以上课后第五分钟末的注意力更集 中 f t在010t 时单调增 在1020t 时不变 在2040t 时单调减 且 140f t 在 0 10 上解为5t 在 10 20 上无解 在 20 40 上解为 100 3 t 所以 在 100 5 3 时学生注意力达到要求 所以能保持 85 3 分钟 19 本小题 10分 已知函数 1 2 f xaxa x R 当 1 0 2 a 时 试判断 f x在 0 1 上的单调性并用定义证明你的结论 对于任意的 0 1 x 使得 6f x 恒成立 求实数a的取值范围 答案 略 9 2 解析 任取 12 01xx 121212 1212 111 22 2 f xf xaxaxxxa xxx x 因为 1 0 2 a 所以021a 又因为 12 01xx 所以 12 1 1 x x 所以 12 1 20a x x 所以 12 0f xf x 所以 f x在 0 1 上单调递减 因为0 x 所以 1 26ax x 等价于 2 2610axx 就是函数 2 261g xaxx 在恒有 0g x 下面讨论 当0a 时 61g xx 不满足条件 舍去 当0a 时 需满足 0 0 1 0 g g 解得 5 2 a 与0a 矛盾 舍去 当0a 时 对称轴 3 0 2a 若 3 01 2a 即 3 2 a 最小值为 3 2 g a 满足 3 0 2 g a 解得 9 2 a 若 3 1 2a 即 3 0 2 a 最小值为 1 g满足 1 0g 解得 5 2 a 与 3 0 2 a 矛盾 舍 去 综上 9 2 a 20 本小题 10分 已知函数 1 lg 1 x f x x 判断函数 f x的奇偶性 若 1f x 求实数x的取值范围 关于x的方程 10f xax 有实数解 求实数a的取值范围 答案 奇函数 9 1 11 x 32 2 0 a 解析 先算定义域 1 0 1 x x 解得11x 关于 0对称 1111 lglglg 0 1111 xxxx f xfx xxxx 所以该函数是奇函数 因为 1 lg1 1 x x 所以 1 10 1 x x 且11x 所以110 10 xx 解得 9 11 x 所以 9 1 11 x 即 9 1 11 a 方程为 1 lg1 10 x x ax 变形得 1 1 x ax x 且11x 直接去分母得1 1 xaxx 化简得 2 1 10axax 题目变为 2 1 10axax 在 1 1 有解 令 2 1 1g xaxax 当0a 时 方程变为10 x 解为1x 不满足条件 舍去 当0a 时 1 1 120gaa