正弦函数、余弦函数的图像(附答案解析)

正弦函数 余弦函数的正弦函数 余弦函数的图图象象 学习目标 1 了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法 2 掌握 五点法 画正弦曲线 和余弦曲线的步骤和方法 能用 五点法 作出简单的正弦 余弦曲线 3 理解正弦曲线与余 弦曲线之间的联系 知识点一 正弦曲线 正弦函数 y sin x x R 的图象叫正弦曲线 利用几何法作正弦函数 y sin x x 0 2 的图象的过程如下 作直角坐标系 并在直角坐标系 y 轴的左侧画单位圆 如图所示 把单位圆分成 12 等份 等份越多 画出的图象越精确 过单位圆上的各分点作 x 轴的垂 线 可以得到对应于 0 2 等角的正弦线 6 3 2 找横坐标 把 x 轴上从 0 到 2 2 6 28 这一段分成 12 等份 平移 把角 x 的正弦线向右平移 使它的起点与 x 轴上的点 x 重合 连线 用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来 即得 y sin x x 0 2 的图象 在精度要求不太高时 y sin x x 0 2 可以通过找出 0 0 1 0 1 2 0 2 3 2 五个关键点 再用光滑曲线将它们连接起来 就可得正弦函数的简图 思考 在所给的坐标系中如何画出 y sin x x 0 2 的图象 如何得到 y sin x x R 的图 象 答案 y sin x x 0 2 的图象 借助五点法得 如下 只要将函数 y sin x x 0 2 的图象向左 向右平行移动 每次 2 个单位长度 就可以得到 正弦函数 y sin x x R 的图象 知识点二 余弦曲线 余弦函数 y cos x x R 的图象叫余弦曲线 根据诱导公式 sin cos x x R 只需把正弦函数 y sin x x R 的图象向左平移 个单位 x 2 2 长度即可得到余弦函数图象 如图 要画出 y cos x x 0 2 的图象 可以通过描出 0 1 1 2 1 五个关键 2 0 3 2 0 点 再用光滑曲线将它们连接起来 就可以得到余弦函数 y cos x x 0 2 的图象 思考 在下面所给的坐标系中如何画出 y cos x x 0 2 的图象 答案 题型一 五点法 作图的应用 例 1 利用 五点法 作出函数 y 1 sin x 0 x 2 的简图 解 1 取值列表 x0 2 3 2 2 sin x010 10 1 sin x10121 2 描点连线 如图所示 跟踪训练 1 作函数 y sin x x 0 2 与函数 y 1 sin x x 0 2 的简图 并研究它们之 间的关系 解 按五个关键点列表 x0 2 3 2 2 sin x010 10 1 sin x 10 1 2 1 利用正弦函数的性质描点作图 由图象可以发现 把 y sin x x 0 2 的图象向下平移 1 个单位长度即可得 y 1 sin x x 0 2 的图象 题型二 利用正弦 余弦函数图象求定义域 例 2 求函数 f x lg sin x 的定义域 16 x2 解 由题意得 x 满足不等式组Error 即Error 作出 y sin x 的图象 如图所示 结合图象可得定义域 x 4 0 跟踪训练 2 求函数 f x lg cos x 的定义域 25 x2 解 由题意得 x 满足不等式组Error 即Error 作出 y cos x 的图象 如图所示 结合图象可得定义域 x 5 3 2 2 2 3 2 5 题型三 利用正弦 余弦函数图象判断零点个数 例 3 在同一坐标系中 作函数 y sin x 和 y lg x 的图象 根据图象判断出方程 sin x lg x 的解的个数 解 建立坐标系 xOy 先用五点法画出函数 y sin x x 0 2 的图象 再依次向左 右连续 平移 2 个单位 得到 y sin x 的图象 描出点 1 0 10 1 并用光滑曲线连接得到 y lg x 的图象 如图所示 由图象可知方程 sin x lg x 的解有 3 个 跟踪训练 3 方程 x2 cos x 0 的实数解的个数是 答案 2 解析 作函数 y cos x 与 y x2的图象 如图所示 由图象 可知原方程有两个实数解 数形结合思想在三角函数中的应用 例 4 函数 f x sin x 2 sin x x 0 2 的图象与直线 y k 有且仅有两个不同的交点 求 k 的取值范围 解 f x sin x 2 sin x Error 图象如图 若使 f x 的图象与直线 y k 有且仅有两个不同的交点 根据图可得 k 的取值范围是 1 3 1 函数 y sin x x R 图象的一条对称轴是 A x 轴 B y 轴 C 直线 y xD 直线 x 2 2 用五点法画 y sin x x 0 2 的图象时 下列哪个点不是关键点 A B 1 6 1 2 2 C 0 D 2 0 3 函数 y sin x x 0 2 的图象与直线 y 的交点为 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 1 2 4 利用 五点法 画出函数 y 2 sin x x 0 2 的简图 5 已知 0 x 2 试探索 sin x 与 cos x 的大小关系 一 选择题 1 函数 y sin x x 的简图是 2 3 2 2 在同一平面直角坐标系内 函数 y sin x x 0 2 与 y sin x x 2 4 的图象 A 重合 B 形状相同 位置不同 C 关于 y 轴对称 D 形状不同 位置不同 3 方程 sin x 的根的个数是 x 10 A 7 B 8 C 9 D 10 4 函数 y cos x cos x x 0 2 的大致图象为 5 如图所示 函数 y cos x tan x 0 x 且 x 的图象是 3 2 2 6 若函数 y 2cos x 0 x 2 的图象和直线 y 2 围成一个封闭的平面图形 则这个封闭图 形的面积是 A 4 B 8 C 2 D 4 二 填空题 7 函数 y 的定义域是 log1 2sin x 8 函数 y 的定义域是 2cos x 1 9 函数 f x 的定义域为 sin x 1 16 x2 10 设 0 x 2 且 cos x sin x sin x cos x 则 x 的取值范围为 三 解答题 11 用 五点法 画出函数 y sin x x 0 2 的简图 1 2 12 根据 y cos x 的图象解不等式 cos x x 0 2 3 2 1 2 13 分别作出下列函数的图象 1 y sin x x R 2 y sin x x R 当堂检测答案 1 答案 D 2 答案 A 3 答案 3 解析 如图所示 x1 x2 2 3 3 2 4 解 1 取值列表如下 x0 2 3 2 2 sin x010 10 y 2 sin x21232 2 描点连线 图象如图所示 5 解 用 五点法 作出 y sin x y cos x 0 x 2 的简图 由图象可知 当 x 或 x 时 sin x cos x 4 5 4 当 xcos x 4 5 4 当 0 x 或 x 2 时 sin x cos x 4 5 4 课时精炼答案 一 选择题 1 答案 D 2 答案 B 解析 根据正弦曲线的作法可知函数 y sin x x 0 2 与 y sin x x 2 4 的图象只是位 置不同 形状相同 3 答案 A 解析 在同一坐标系内画出 y 和 y sin x 的图象如图所示 x 10 根据图象可知方程有 7 个根 4 答案 D 解析 由题意得 y Error 显然只有 D 合适 5 答案 C 解析 当 0 x 时 y cos x tan x sin x 2 当 x 时 y cos x tan x sin x 2 当 x 时 y cos x tan x sin x 3 2 故其图象为 C 6 答案 D 解析 作出函数 y 2cos x x 0 2 的图象 函数 y 2cos x x 0 2 的图象与直线 y 2 围成的平面图形为如图所示的阴影部 分 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形 OABC 的面积 又 OA 2 OC 2 S阴影部分 S矩形 OABC 2 2 4 二 填空题 7 答案 x 2k x 2k k Z 解析 由 log sin x 0 知 0 sin x 1 由正弦函数图象知 2k x 2k k Z 1 2 8 答案 k Z 2k 2 3 2k 2 3 解析 2cos x 1 0 cos x 结合图象知 x k Z 1 2 2k 2 3 2k 2 3 9 答案 4 0 解析 Error Error 4 x 或 0 x 10 答案 4 5 4 解析 由题意知 sin x cos x 0 即 cos x sin x 在同一坐标系画出 y sin x x 0 2 与 y cos x x 0 2 的图象 如图所示 观察图象知 x 4 5 4 三 解答题 11 解 1 取值列表如下 x0 2 3 2 2 sin x010 10 sin x 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 描点 连线 如图所示 12 解 函数