电动力学典型试题分析

1 典型试题分析 1 证明题 1 试由毕奥 沙伐尔定律证明0 B 证明 由式 0 3 0 1 44 dv r xJdv r rxJ B 又知 11 xJ rr xJ 因此 r dvxJ A Adv r xJ B 0 0 4 4 式中 由 0 AB 所以原式得证 2 试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式 t A E 证 在一般的变化情况中 电场 E 的特性与静电场不同 电场 E 一方面受到电 荷的激发 另一方面也受到变化磁场的激发 后者所激发的电场是有旋的 因 此在一般情况下 电场是有源和有旋的场 它不可能单独用一个标势来描述 在变化情况下电场与磁场发生直接联系 因而电场的表示式必然包含矢势 A 在 内 t B EAB 式代入得 0 t A E 该式表示矢量 t A E 是无旋场 因此它可以用标势 描述 t A E 因此 在一般情 况下电场的表示式为 t A E 即得证 3 试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式 2 2 0 1 c v ll 答 用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系 如图所示 设 物体沿 x 轴方向运动 以固定于物体上的参考系为 若物体后端经过 1 P点 第一事件 与前端经过 2 P点 第二事件 相对于 同时 则 21P P定义为 上 测得的物体长度 物体两端在 上的坐标设为 2 1 xx 和 在 上 1 P点的坐标为 1 x 2 P点的坐标为 2 x 两端分别经过 1 P和 2 P的时刻为 21 tt 对这两事件分别应用 2 洛伦兹变换式得 2 2 22 2 2 2 11 1 1 1 c v vtx x c v vtx x 两式相减 计及 21 tt 有 1 2 2 12 1 2 c v xx xx 式中 12 xx 为 上测得的物体长度l 因为坐标 21 xx 和是在 上同时测得的 1 2 xx 为 上测得的物体静止长度 0 l 由于物体对 静止 所以对测量时刻 2 1 tt 和没有任何限制 由 式得 2 2 0 1 c v ll 4 试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系 E 答 由于静电场的无旋性 得 0dlE 设 21 CC 和为由点点到 21 PP的两条不 同路径 21 CC 与 合成闭合回路 因此 0 12 CC dlEdlE 即 21 CC dlEdlE 因此 电荷由 与路径无关 点时电场对它所作的功点移至 21 PP而只和两端点有关 把单位正电 荷由 21 PP点移至电场 E 对它所作的功为 2 1 P P dlE这功定义为点点和 21 PP的电 势差 若电场对电荷作了正功 则电势 下降 由此 2 1 12 P P dlEPP 由这定义 只有两点的电势差才有物理意义 一点上的 电势的绝对数值是没有物理意义的 相距为dl的两点的电势差为 dlEd 由于 dldz z dy y dx x d 因此 电场强度 E 等于电势 的负梯度 E 5 试由恒定磁场方程证明矢势 A 的微分方程jA 2 答 已知恒定磁场方程 1 0J B 在均匀线性介质内 把 3 代入 1 2 AB 得矢势 A 的微分方程 JA 由矢量分析公式 2A AA 若取 A 满足规范条件0 A 得矢势 A 的微分 方程 0 2 A JA 6 试由电场的边值关系证明势的边值关系 1 1 1 2 2 n 证 电场的边值关系为 0 12 12 DDn EEn 式可写为 12 nn DD 式中n为由介质 1 指向介质 2 的法线 利用 EED 及 可用标势将 表为 1 1 1 2 2 n 势的边值关系即得证 7 试由静电场方程证明泊松方程 2 答 已知静电场方程为 2 1 0 D E 并知道 3 E在均匀各向同性线 性介质中 ED 将 3 式代入 2 得 2 为自由电荷密度 于是得到静电势满足的基本微分方程 即泊松方程 8 试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程 答 麦克斯韦方程组 t xE xjxB xB t xB xE x xE 000 0 0 表明 变化的磁场可以激 发电场 而变化的电场又可以激发磁场 因此 自然可以推论电磁场可以互相 激发 形成电磁波 这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到 在真空的无源区 域 电荷密度和电流密度均为零 在这样的情形下 对麦克斯韦方程的第二个 4 方程取旋度并利用第一个方程 得到 t xB xE 2 再把第四个方 程对时间求导 得到 2 2 00 t xE t xB 从上面两个方程消去 t xB 得到 0 2 2 00 2 t xE xE 这就是标准的波动方程 对应的 波的速度是 1 00 c 9 试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件 0 0 121212 BBnDDnEEn 解 nn f VS DD DDn SDnSDnS dVsdD 12 12 12 即 对于磁场 B 把0 sdB S 应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上 重复以上 推导可得 0 1212 BBnBB nn 即 作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路 矩形回路所在平面与界面 垂直 矩形长边边长为l 短边边长为 l 因为 0dlE 作沿狭长矩形的 E 的路径积分 由于 l 比l 小得多 当0 l时 E 沿 l 积分为二级小量 忽略沿 l 的路径积分 沿界面切线方向积分为 0 12 lElE tt 即 0 12 tt EE 可以用矢量形式表示为 0 12 tEE 式中 t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量 令矩形面法线方向单位矢量为 t 它与界面相切 显然有 tnt 将 式式代入 则 0 12 tnEE 利用混合积公式 BACCBA 改写 式为 0 12 nEEt 此式对任意 t 都成立 因此 0 12 nEE 此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的 5 10 试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程0 22 EkE 答 从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程 在一定的频率下 有 HBED 把时谐电磁波的电场和磁场方程 iwt iwt exBtxB exEtxE 代入麦氏 方程组 0 0 B D t D H t B E 消去共同因子 iwt e 后得 0 0 H E EiwH HiwE 在此注意一点 在0 w的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的 取第一式的散度 由于 0 E 因而0 H 即得第四式 同样 由第二式可导出第三式 在此 在一定频率下 只有第一 二式是独立的 其他两式可由以上两式导出 取第一式旋度并用第二式得 EwE 2 由 EEEE 22 上式变为 0 22 wk EkE 此为亥姆霍兹 方程 11 试用边值关系证明 在绝缘介质与导体的分界面上 在静电的情况下 导体外的电场线总是垂直于导体表面 在恒定电流的情况下 导体内的电 场线总是平行于导体表面 证明 1 导体在静电条件下达到静电平衡 所以导体内0 1 E 而 垂直于导体表面 故 0212 0 0 EEnEEn 2 导体中通过恒定的电流时 导体表面 0 f 0 0 22 DE 即 导体外 而 0 0 10112 EnDnDDn f 即 0 1 En 导体内电场 方向和法线垂直 即平行于导体表面 12 设 和A 是满足洛伦兹规范的矢势和标势 现引入一矢量函数 txZ 赫兹矢量 若令 1 2 t Z c AZ 证明 证明 和A 满足洛伦兹规范 故有 6 0 1 2 tc A 代入洛伦兹规范 有 Z 1 t Z c 1 A 0 1 2 22 t Z c A Z tc A 即 2 计算题 1 真空中有一半径为 0 R接地导体球 距球心为 0 Raa 处有一点电荷 Q 求 空间各点的电势 解 假设可以用球内一个假想点电荷 Q来代替球面上感应电荷对空间电场的作 用 由对称性 Q应在OQ连线上 关键是能否选择 Q的大小和位置使得球面 上0 的条件使得满足 考虑到球面上任一点 P 边界条件要求 0 r Q r Q 式中 r 为 Q 到 P 的距离 的距离 到为PQr 因此对球面上任一点 应有 常数 1 Q Q r r 由图可 看出 只要选 Q的位置使则 OPQPOQ 常数 2 0 a R r r 设 Q距球心为 b 两三角形相似的条件为 3 2 00 0 a R b a R R b 或由 1 和 2 式求出 4 0 Q a R Q 3 和 4 式确 定假想电荷 Q的位置和大小 由Q和镜象电荷 Q激发的总电场能够满足在导体面上0 的边界条件 因此 是空间中电场的正确解答 球外任一点 p 的电势是 cos2cos2 4 1 4 1 22 0 22 0 0 0RbbR a Q R RaaR Q ar QR r Q 式中 r 为由Q到 P 点的距离 r为由 Q到 P 点的距离 R 为由球心 O 到 P 点的距离 7 的夹角 与为OQOP 2 两金属小球分别带电荷 和 它们之间的距离为l 求小球的电荷 数 值和符号 同步地作周期变化 这就是赫兹振子 试求赫兹振子的辐射能流 并讨论其特点 解 可知赫兹振子激发的电磁场 sin 4 1 sin 4 1 2 0 3 0 eeP Rc E eeP Rc B ikR ikR 取球坐标原点在 电荷分布区内 并以 P 方向为极轴 则可知 B 沿纬线上振荡 E 沿径线上振荡 赫兹振子辐射的平均能流密度为 sin 322 Re 2 Re 2 1 2 23 0 2 2 2 0 0 n Rc p nB c BnB c HES 因子 2 sin表示赫兹振子辐射的角分布 即辐射的方向性 在 0 90 的平面上 辐射最强 而沿电偶极矩轴线方向 和0 没有辐射 3 已知海水的 1 1 1 ms r 试计算频率 v为 50 6 10 和 9 10 Hz 的三种电 磁波在海水中的透入深度 解 取电磁波以垂直于海水表面的方式入射 透射深度 mmHzv mHzv mHzv r r 16 1104102 22 103 5 0 1104102 22 102 72 1104502 22 501 104 1 21 79 3 9 76 2 6 7 1 7 00 时 时 时 4 电荷 Q 均匀分布于半径为 a 的球体内 求各点的电场强度 并由此直接计 算电场的散度 解 作半径为 r 的球 与电荷球体同心 由对称性 在球面上各点的电场强 度有相同的数值 E 并沿径向 当时 ar 球面所围的总电荷为 Q 由高斯定理 得 4 0 2 Q ErdsE 8 因而 4 2 0r Q E 写成矢量式得 4 3 0 ar r Qr E 若 ar 则球面所围电荷为 3 4 3 4 3 4 3 3 3 33 a Qr a Q rr 应用高斯定理得 4 3 0 3 2 a Qr ErdsE 由此得 4 3 0 ar a Qr E 现在计算电场的散度 当时ar E 应取 式 在这区域0 r 由直接计算可 得 0 0 3 r r r 因而 ar r rQ E 0 4 3 0 当时ar E 应取 式 由直接计算得 ar a Q r a Q E 4 3 4 0 3 0 3 0 5 一半径为 R 的均匀带电球体 电荷体密度为 球内有一不带电的球形空 腔 其半径为 1 R 偏心距离为 a RRa 1 求腔内的电场 解 这个带电系统可视为带正电 的 R 球与带负电的 的 1 R球的迭加而 成 因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点 M 之电场强度为 a rr rrE 0 0 00 3 3 33 6 无穷大的平行板电容器内有两层介质 极板上面电荷密度为 f 求电场 和束缚电荷分布 9 解 由对称性可知电场沿垂直于平板的方向 把 0 0 12 12 12 12 BBn DDn HHn EEn 应用于下 板与介质 1 界面上 因导体内场强为零 故得 1f D 同样把 式应用到上板 与介质 2 界面上得 2f D 由这两式得 2 2 1 1 ff EE 束缚电荷分布于 介质表面上 在两介质界面处 0 f 由 pfnn EE 120 得 1 0 2 0 120fp EE 在介质 1 与下板分界处 由 pfnn EE 120 得 1 1 0 10 ffp E 在介质 2 与上板分界处 1 2 0 20 ffp E 容易验证 0 ppp 介质整体是电中性的 7 截面为 S 长为l的细介质棍 沿 X 轴放置 近端到原点的距离为 b 若 极化强度为kx 沿 X 轴 ikxP 求 1 求每端的束缚电荷面密度 2 求棒内的束缚电荷体密度 3 总 束缚电荷 解 1 求 在棍端 12 nn PP kxPPPP nn 122 0 1 1 1 lbkbxPP kbbxPP BnB AnA 2 求 由 k dx dp ikxPP 3 求 q 0 kslSkblbkSlSq AB 8 两块接地的导体板间的夹角为 当板间放一点电荷 q 时 试用镜像法就 00 6090 的情形分别求其电势 10 解 设点电荷 q 处于两导体面间 0 R一点 两导体面间夹角为 各象电荷处 在以 R 为半径的圆周上 它们的位置可用旋转矢量R 表示 设 q 及其各个象电 荷的位置矢为 10 RR则有 i RRe 0 Re Re Re Re Re Re ReRe 422 68 442 57 222 46 422 35 22 24 222 13 2 02 22 01 ii ii ii ii ii ii iiii eRR eRR eRR eRR eRR eRR eRReRR 1 ii ii ii ee RR RR 2 ReRe ReRe 2 43 21 34 RR 象电荷只有 3 个 各象电荷所处在的直角坐标为 sinsinsin coscoscos 321 321 RyRyRy RxRxRx 空间任意一点的电势 sincos sincos sincos sincos 1111 4 2 22 3 2 22 2 2 22 1 2 22 3210 zRyRxr zRyRxr zRyRxr zRyRxr rrrr q 式中 11 2 3 4 3 2 3 2 6 3 4 5 3 2 4 3 2 3 2 3 2 1 2 3 4 3 2 ReReR ReRe ReRe 3 ii ii ii i i ee R RR RR 56 RR 象电荷只有 5 个 各象电荷所在处的直角坐标为 543210 5 5 4 3 4 3 21 2 1 111111 4 3 sin 3 4 sin 3 cos 3 4 cos 3 sin 3 2 sin 3 sin 3 2 sin 3 cos 3 2 cos 3 cos 3 2 cos sin 3 sin 3 2 sin cos 3 cos 3 2 cos rrrrrr q RRy RRx RRy RRy RRx RRx RyRRy Rx RRx 各个 r 由相应的象电荷坐标确定 9 在一平行板电容器的两板上加 wtvUcos 0 的电压 若平板为圆形 半径 为 a 板间距离为 d 试求 1 两板间的位移电流 D j 2 电容器内离轴 r 处的磁场强度 3 电容器内的能流密度 12 解 1 zzDD DD eSinwt d wv ejj Sinwt d wv t U dd U t E j t E t D j 0 0 2 eaSinwt d wv H ar erSinwt d wv H rSinwt d wv r j H rjrH I l d H a D D D 2 2 22 2 0 0 0 2 时 3 SinwtCoswt d wva HauH d u addsHE aa s 2 0 2 22 侧 10 静止长度为 0 l的车厢 以速度v相对于地面 S 运行 车厢的后壁以速度为 0 U 向前推出一个小球 求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间 解 S 系的观察者看到长度为 2 0 1 l的车厢以 i vvv 运动 又看到小球以 i uu 追赶车厢 小球从后壁到前壁所需的时间为 2 0 2 2 0 0 0 2 0 0 2 2 1 2 2 1 2 22 1200 1 2 22 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u u 1 0 1 2 c vu c v u l l c v u l c v xx c v tt cv ttultt cvu c vu l t c vu c v u c vu c vu vvu vu c vu v vu c v l t lxx 或 11 求无限长理想的螺线管的矢势 A 设螺线管的半径为 a 线圈匝数为 n 通电电流为 I 解 分析 lIddVxJdV r xJ A V 0 4 13 nIsdB l d A sl 0 B 为 螺线管来说 它的 又对于理想的无限长 1 当ar 时 可得 y nIB er nI AnIrrABrrA 2 22 0 0 22 0 2 当ar 时 同理可得 y e r nIa AnIarABarA 1 2 22 2 0 0 22 12 在大气中沿 Z 轴方向传播的线偏振平面波 其磁场强度的瞬时值表达式 m A zktJH 0 75 4 10cos102 1 求 0 k 2 写出E 的瞬时值表达式 解 30103 10 1 8 7 0 v w k zktiE zktHvE 0 74 0 74 4 10cos1024 4 10cos10242 13 内外半径分别为 a 和 b 的球形电容器 加上wtvvcos 0 的电压 且 不大 故电场分布和静态情形相同 计算介质中位移电流密度 D j及穿过半径 R bRa 的球面的总位移电流 D J 解 位移电流密度为 wt ab R wv j ab R wtv ab R v E t E j D D sin 2 2 cos 2 0 0 0 0 又 穿过半径 R bRa 的球面的总位移电流 D J 为 wt ab R wvR RjJ DD sin 2 4 4 00 2 2 14 证明均匀介质内部的体极化电荷密度 p 总是等于体自由电荷密度的 0 1倍 14 证 f f P EEP 0 000 1 即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度 p 总是等于体自由电荷密度 15 一根长为l的细金属棒 铅直地竖立在桌上 设所在地点地磁场强度为 H 方向为南北 若金属棒自静止状态向东自由倒下 试求两端同时接触桌面的 瞬间棒内的感生电动势 此时棒两端的电势哪端高 解 金属棒倒下接触桌面时的角速度 w 由下式给出 22 1 2 l mgIw 式中为棒的质量 I 为棒绕端点的转动惯量 2 3 1 ml g 为 重力加速度 代入得 mglwml 22 3 1 l g w 3 棒接触桌面时的感生电动势为 Hgl l H l g dxxHwHdxwx l d Bv l d E ll 0 3 2 0 0 0 0 0 2 3 2 3 此时棒的 A 点电动势高 16 点电荷 q 放在无限大的导体板前 相距为 a 若 q 所在的半空间充满均匀 的电介质 介质常数为 求介质中的电势 电场和导体面上的感生面电荷密 度 解 设象电荷 q 位于 0 0 a 尝试解为 0 4 1 x r q r q 1 求 aq 与 设在导体板上 c R q R q 4 1 222 2 2 2222 22 2 222 0 0 0 qzyaqzya zyaRzyaR R q R q R q R q cRR 当 此式对任何 y z 都成立 故等式两边 y z 的对应项系数应相等 15 2 2 2 222 2 2 22 2 2 2 11 4 rr q aa qa q aqaqa q qqq 故 又 即 2 求 E 33 22 2 22 2 2 4 11 4 r ax r axq x r rxx r rr q x E zyaxrzyaxr x 3 求 3 00 112 2 0 R qa ED DDD xxxx nnn 17 设有两根互相平行的尺 在各自静止的参考系中的长度为 0 l 它们以相同 速率v相对于某一参考系运动 但运动方向相反 且平行于尺子 求站在一根 尺上测量另一根尺的长度 解 S系观察到 S的速度 2 2 2 1 2 1 c v v c vv vv v S 测得 S的尺子长度是 22 22 0 2 2 2 0 1 4 1 vc vcl c v v ll 运动尺的收缩 只与相对运动的速度的绝对 值有关 S测得 S的尺子长度也是 22 22 0 vc vcl 18 两束电子作迎面相对运动 每束电子相对于实验室的速度cv9 0 试求 1 实验室中观察者观察到的两束电子之间的相对速度 2 相对于一束电子静止的观察者观察的另一束电子的速度 解 1 实验室系统中 电子束相对速度为 0 9c 0 9c 1 8c 2 相对于一束电子静止的系统中 相对速度 2 2 1 2 c v v u 代入cv9 0 得 cu994 0 16 19 设有一随时间变化的电场wtEEcos 0 试求它在电导率为 介电常数 为 的导体中 引起的传导电流和位移电流振幅之比 从而讨论在什么情况下 传导电流起主要作用 什么情况下位移电流其主要作用 解 可知传导电流为 ij 位移电流为 wj j EwtwwtE tt E j D D sincos 00 当w 时 传导电流 起主要作用 当w 时 位移电流起主要作用 20