高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及

高三数学第一轮复习 抛物线的定义 性质及标准方程高三数学第一轮复习 抛物线的定义 性质及标准方程 本讲主要内容本讲主要内容 抛物线的定义及相关概念 抛物线的标准方程 抛物线的几何性质 知识掌握知识掌握 知识点精析知识点精析 1 抛物线定义 平面内与一个定点和一条直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点叫做抛物线的焦点 直线 叫做抛物线的准线 定点不在定直 线 上 它与椭圆 双曲线的第二定义相仿 仅比值 离心率 e 不同 当 e 1时为抛物线 当0 e1时为双曲线 2 抛物线的标准方程有四种形式 参数的几何意义 是焦点到准线的距离 掌握不同形式方程的几何性质 如下表 其中为抛物线上任一点 3 对于抛物线上的点的坐标可设为 以简化运算 4 抛物线的焦点弦 设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于 直线与的斜率分 别为 直线 的倾斜角为 则有 说明 说明 1 求抛物线方程时 若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法 若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法 2 凡涉及抛物线的弦长 弦的中点 弦的斜率问题时要注意利用韦达定理 能避免求交点坐标的复杂运算 3 解决焦点弦问题时 抛物线的定义有广泛的应用 而且还应注意焦点弦的几何性质 解题方法指导解题方法指导 例1 已知抛物线的顶点在坐标原点 对称轴为轴 且与圆相交的公共弦长等于 求此抛物线的方程 解析 解析 设所求抛物线的方程为或 设交点 y1 0 则 代入得 点在上 在上 或 故所求抛物线方程为或 例2 设抛物线的焦点为 经过的直线交抛物线于两点 点在抛物线的准线上 且 轴 证明直线 经过原点 解析 解析 证法一 由题意知抛物线的焦点 故可设过焦点的直线的方程为 由 消去得 设 则 轴 且在准线上 点坐标为 于是直线的方程为 要证明经过原点 只需证明 即证 注意到知上式成立 故直线经过原点 证法二 同上得 又 轴 且在准线上 点坐标为 于是 知三点共线 从而直线经过原点 证法三 如图 设轴与抛物线准线 交于点 过作 是垂足 则 连结交于点 则 又根据抛物线的几何性质 因此点是的中点 即与原点重合 直线经过原点 评述 评述 本题考查抛物线的概念和性质 直线的方程和性质 运算能力和逻辑推理能力 其中证法一和二为代数法 证法三为几何法 充分运 用了抛物线的几何性质 数形结合 更为巧妙 考点突破考点突破 考点指要考点指要 抛物线部分是每年高考必考内容 考点中要求掌握抛物线的定义 标准方程以及几何性质 多出现在选择题和填空题中 主要考查基础知识 基础技能 基本方法 分值大约是 分 考查通常分为四个层次 层次一 考查抛物线定义的应用 层次二 考查抛物线标准方程的求法 层次三 考查抛物线的几何性质的应用 层次四 考查抛物线与平面向量等知识的综合问题 解决问题的基本方法和途径 待定系数法 轨迹方程法 数形结合法 分类讨论法 等价转化法 典型例题分析典型例题分析 例3 2006江西 设为坐标原点 为抛物线的焦点 为抛物线上一点 若 则点的坐标为 A B C D 答案 答案 解析 解析 解法一 设点坐标为 则 解得或 舍 代入抛物线可得点的坐标为 解法二 由题意设 则 即 求得 点的坐标为 评述 评述 本题考查了抛物线的动点与向量运算问题 例4 2006安徽 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合 则的值为 A 2 B 2 C 4 4 答案 答案 D 解析 解析 椭圆的右焦点为 所以抛物线的焦点为 则 评述 评述 本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系 达标测试达标测试 一 选择题 1 抛物线的准线方程为 则实数的值是 A B C D 2 设抛物线的顶点在原点 其焦点在轴上 又抛物线上的点 与焦点的距离为4 则等于 A 4 B 4或 4 C 2 D 2或2 3 焦点在直线上的抛物线的标准方程为 A B 或 C D 或 4 圆心在抛物线上 并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为 A B C D 5 正方体的棱长为 点在棱上 且 点是平面上的动点 且点到直线的距离与 点到点的距离的平方差为 则点的轨迹是 A 抛物线 B 双曲线 C 直线 D 以上都不对 6 已知点是抛物线上一点 设点到此抛物线准线的距离为 到直线的距离为 则的最小值是 A 5 B 4 C D 7 已知点是抛物线上的动点 点在轴上的射影是 点的坐标是 则的最小值是 A B 4 C D 5 8 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点 为坐标原点 则的值是 A 12 B 12 C 3 D 3 二 填空题 9 已知圆和抛物线的准线相切 则的值是 10 已知分别是抛物线上两点 为坐标原点 若的垂心恰好是此抛物线的焦点 则直线的方程为 11 过点 0 1 的直线与交于两点 若的中点的横坐标为 则 12 已知直线与抛物线交于两点 那么线段的中点坐标是 三 解答题 13 已知抛物线顶点在原点 对称轴为轴 抛物线上一点到焦点的距离是5 求抛物线的方程 14 过点 4 1 作抛物线的弦 恰被所平分 求所在直线方程 15 设点 F 1 0 M 点在轴上 点在轴上 且 当点在轴上运动时 求点的轨迹的方程 设是曲线上的三点 且成等差数列 当的垂直平分线与轴交于 E 3 0 时 求点的坐标 综合测试综合测试 一 选择题 1 2005上海 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点 它们的横坐标之和等于5 则这样的直线 A 有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D 不存在 2 2005江苏 抛物线上的一点到焦点的距离为1 则点的纵坐标是 A B C D 0 3 2005辽宁 已知双曲线的中心在原点 离心率为 若它的一条准线与抛物线的准线重合 则该双曲线与抛物线的交 点与原点的距离是 A B C D 21 4 2005全国 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合 则该双曲线的离心率为 A B C D 5 2004全国 设抛物线的准线与轴交于点 若过点的直线 与抛物线有公共点 则直线 的斜率的取值范围是 A B C D 6 2006山东 动点是抛物线上的点 为原点 当时取得最小值 则的最小值为 A B C D 7 2004北京 在一只杯子的轴截面中 杯子内壁的曲线满足抛物线方程 在杯内放一个小球 要使球触及杯子的底部 则该球的表面积的取值范围是 A B C D 8 2005北京 设抛物线的准线为 直线与该抛物线相交于两点 则点及点到准线 的距离之和为 A 8 B 7 C 10 D 12 二 填空题 9 2004全国 设是曲线上的一个动点 则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是 10 2005北京 过抛物线的焦点且垂直于轴的弦为 以为直径的圆为 则圆与抛物线准线的位置关系是 圆的面积是 11 2005辽宁 已知抛物线的一条弦 所在直线与轴交点坐标为 0 2 则 12 2004黄冈 已知抛物线的焦点在直线上 现将抛物线沿向量进行平移 且使得抛物线的焦点沿直线 移到点处 则平移后所得抛物线被轴截得的弦长 三 解答题 13 2004山东 已知抛物线 C 的焦点为 直线 过定点且与抛物线交于两点 若以弦为直径的圆恒过原点 求的值 在 的条件下 若 求动点的轨迹方程 14 2005四川 如图 是