高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数

第 1 页 共 3 页 函数零点的求法及零点的个数函数零点的求法及零点的个数 题型题型 1 1 求函数的零点 求函数的零点 例 1 求函数 22 23 xxxy 的零点 解题思路 求函数 22 23 xxxy 的零点就是求方程 022 23 xxx 的根 解析 令 32 220 xxx 2 2 2 0 xxx 2 1 1 0 xxx 112xxx 或或 即函数 22 23 xxxy 的零点为 1 1 2 反思归纳 函数的零点不是点 而是函数函数 yf x 的图像与 x 轴交点的横坐标 即零点是一个实数 题型题型 2 2 确定函数零点的个数 确定函数零点的个数 例 2 求函数 f x lnx 2x 6 的零点个数 解题思路 求函数 f x lnx 2x 6 的零点个数就是求方程 lnx 2x 6 0 的解的 个数 解析 方法一 易证 f x lnx 2x 6 在定义域 0 上连续单调递增 又有 1 4 0ff 所以函数 f x lnx 2x 6 只有一个零点 方法二 求函数 f x lnx 2x 6 的零点个数即是求方程 lnx 2x 6 0 的解的个 数 即求 ln 62 yx yx 的交点的个数 画图可知只有一个 反思归纳 求函数 xfy 的零点是高考的热点 有两种常用方法 代数法 求方程 0 xf 的实数根 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数 xfy 的图像联系起来 并利用函数的性质找出零点 题型题型 3 3 由函数的零点特征确定参数的取值范围 由函数的零点特征确定参数的取值范围 例 3 2007 广东 已知 a 是实数 函数 axaxxf 322 2 如果函数 xfy 在区 间 1 1 上有零点 求 a 的取值范围 解题思路 要求参数 a 的取值范围 就要从函数 xfy 在区间 1 1 上有零点寻找关 于参数 a 的不等式 组 但由于涉及到 a 作为 2 x 的系数 故要对 a 进行讨论 解析 若 0a 23f xx 显然在 1 1 上没有零点 所以 0a 令 2 48382440aaaa 解得 37 2 a 当 37 2 a 时 yf x 恰有一个零点在 1 1 上 当 05111 aaff 即1 5a 时 yf x 在 1 1 上也恰有一个零 点 当 yf x 在 1 1 上有两个零点时 则 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 或 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 解得 5a 或 35 2 a 综上所求实数a的取值范围是 1a 或 35 2 a 反思归纳 二次函数 一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体 也是高 考热点 要深刻理解它们相互之间的关系 能用函数思想来研究方程和不等式 便是 抓住了关键 二次函数的图像形状 对称轴 顶点坐标 开口方向等是处理二 2 f xaxbxc 次函数问题的重要依据 考点考点 3 3 根的分布问题根的分布问题 例 5 已知函数的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右 2 3 1f xmxmx 侧 求实数 m 的取值范围 第 2 页 共 3 页 解题思路 由于二次函数的图象可能与 x 轴有两个不同的交点 应分情况讨论 解析 1 若 m 0 则 f x 3x 1 显然满足要求 2 若 m 0 有两种情况 原点的两侧各有一个 则 0 1 04 3 21 2 m xx mm m 0 都在原点右侧 则 0 1 0 2 3 04 3 21 21 2 m xx m m xx mm 解得 0 m 1 综上可得 m 1 反思归纳 二次方程根的分布是高考的重点和热点 需要熟练掌握有关二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的分布有关的结论 方程 f x 0 的两根中一根比 r 大 另一根比 r 小 a f r 0 二次方程 f x 0 的两根都大于 r 0 2 04 2 rfa r a b acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内有两根 0 0 2 04 2 pfa qfa q a b p acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内只有一根 f p f q 0 或 f p 0 另一根在 p q 内或 f q 0 另一根在 p q 内 方程 f x 0 的两根中一根大于 p 另一根小于 q p q 0 0 qfa pfa 二 二 强化巩固训练 强化巩固训练 1 函数 2 21f xmxx 有且仅有一个正实数的零点 则实数m的取值范围是 A 1 B 01 C 00 1 D 1 解析 B 依题意得 1 0 0 04 2 0 2 f m m 或 2 0 0 04 2 0 2 f m m 或 3 04 2 0 2 m m 显然 1 无解 解 2 得 0 m 解 3 得 1 m 又当 0 m 时 12 xxf 它显然有一个正实数的零点 所以应选 B 2 方程 2 23 x x 的实数解的个数为 解析 2 在同一个坐标系中作函数 x y 2 1 及 3 2 xy 的图象 发现它们有两个 交点 故方程 2 23 x x 的实数解的个数为 2 3 已知二次函数 若在区间 1 1 内至少存在 22 42 2 21f xxpxpp 一个实数 c 使 f c 0 则实数 p 的取值范围是 解析 3 2 3 只需或 2 1 2290fpp 2 1 210fpp 即 3 p 2 3 或 2 1 p 1 p 3 2 3 4 设函数的图象的交点为 则所在的区间是 32 1 2 x yxy 与 00 xy 0 x A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 B 5 若方程的两根中 一根在 0 和 1 之间 另一根在 1 和 2 之间 2 2 210 xkxk 求实数 k 的取值范围 解析 12 23 k 令 12 2 2 kxkxxf 则依题意得 0 2 0 1 0 0 f f f 即 012424 01221 012 kk kk k 解得 12 23 k 三 三 小结反思 小结反思 本课主要注意以下几个问题 1 利用函数的图象求方程的解的个 第 3 页 共 3 页 数 2 一元二次方程的根的分布 3 利用函数的最值解决不等式恒成立问题 补充题 补充题 1 定义域和值域均为 a a 常数 a 0 的函数 y f x 和 y g x 的图像如图 所示 给出下列四个命题中 1 方程 f g x 0 有且仅有三个解 2 方程 g f x 0 有且仅有三个解 3 方程 f f x 0 有且仅有九个解 4 方程 g g x 0 有且仅有一个解 那么 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 B 由图可知 aaxf aaxg 由左图及 f g x 0 得 2 1 a axxg 0 2 2 a xxg 2 a xg 由右知方程 f g x 0 有且仅 有三个解 即 1 正确 由右图及 g f x 0 得 2 0 a a xxf 由左图知方程 g f x 0 有且仅有一个解 故 2 错误 由左图及 f f x 0 得 2 1 a axxf 0 2 2 a xxf 2 a xf 又由左图得到方程 f f x 0 最多有三个解 故 3 错误 由右图及 g g x 0 得 2 0 a a xxg 由右图知方程 g g x 0 有且仅有 一个解 即 4 正确 所以应选择 B 2 已知关于 x 的二次方程 2 2210 xmxm 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求 m 的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求 m 的范围 解析 1 条件说明抛物线与 x 轴的交点分别在区间 1 0 2 221f xxmxm 和 1 2 内 画出示意图 得 6 5 2 1 2 1 056 2 024 1 02 1 012 0 m m Rm m mf mf f mf 2 1 6 5