2019年北京市丰台区高三年级一模数学(理)试题及答案

丰台区 2019 年高三年级第二学期综合练习 一 数 学 理科 2019 03 本试卷满分共 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答题前 考生务必先将答题卡上的学校 年级 班级 姓名 准考证号用黑色字迹 签字笔填写清楚 并认真核对条形码上的准考证号 姓名 在答题卡的 条形码粘贴区 贴好条形码 2 本次考试所有答题均在答题卡上完成 选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将 各小题对应选项涂黑 如需改动 用橡皮擦除干净后再选涂其它选项 非选择题必须使用 标准黑色字迹签字笔书写 要求字体工整 字迹清楚 3 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答 超出答题区域书写的答案无效 在 试卷 草稿纸上答题无效 4 请保持答题卡卡面清洁 不要装订 不要折叠 不要破损 第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合 题目要求的一项 1 复数的共轭复数是 1 1i z A B C D 11 i 22 11 i 22 1i 1 i 2 已知集合 集合 若 则实数的取值集合为 2 3 1 A 2 3 Bm BA m A B C D 1 3 1 1 3 3 3 设命题 则为 p 0 ln1xxx p A B 0 ln1xxx 000 0 ln1xxx C D 0 ln1xxx 000 0 ln1xxx 4 执行如图所示的程序框图 如果输入的 1a 输出的 那么判断框内的条件可以为 15S A 6k B 6k C 6k D 7k 5 下列函数中 同时满足 图象关于轴对称 y 1212 0 x xxx 的是 21 21 0 f xf x xx A B 1 f xx 2 log f xx C D cosf xx 1 2xf x 6 已知和是两个不同平面 是与 不同的两条直线 且 l 12 l l l 1 l 那么下列命题正确的是 2 l 12 ll A 与都不相交 B 与都相交 l 12 l l l 12 l l a a 入 入 入 入 a 入 入 入 入 S 入 入 k k 1 S S ak2 k 1 S 0 C 恰与中的一条相交 D 至少与中的一条相交 l 12 l l l 12 l l 7 已知为椭圆和双曲线的公共焦点 为它们的一个 12 F F 22 2 1 2 xy M m 2 2 2 1 x Ny n P 公共点 且 那么椭圆和双曲线的离心率之积为 112 PFFF MN A B C D 21 2 2 1 2 8 在平面直角坐标系中 如果一个多边形的顶点全是格点 横纵坐标都是整数 那么 称该多边形为格点多边形 若是格点三角形 其中 且面积 ABC 0 0 A 4 0 B 为 8 则该三角形边界上的格点个数不可能为 A 6 B 8 C 10 D 12 第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 已知平面向量 且 那么 13 a 2 m b abm 10 从 4 名男生 2 名女生中选派 3 人参加社区服务 如果要求恰有 1 名女生 那么不 同的选派方案种数为 11 直线与圆 为参数 相交于两点 若 1ykx 2cos 32sin x y M N 2 3MN 则 k 12 若的面积为 且 则 ABC 2 3 3 A AB AC A 13 已知函数 cos 2 0 2 f xx 函数的最小正周期为 f x 若函数在区间上有且只有三个零点 则的值是 f x 4 33 14 已知数列对任意的 都有 且 n a n N n a N 1 31 2 nn n n n aa a a a 为奇数 为偶数 当时 1 8a 2019 a 若存在 当且为奇数时 恒为常数 则 m Nnm n a n app 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 已知函数 且 2 cos 2 2sin 3 f xxxa a R 0 3 f 求的值 a 若在区间上是单调函数 求的最大值 f x 0 m m 16 本小题 13 分 随着经济全球化 信息化的发展 企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞 争 吸引 留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务 在此背景 下 某信息网站在 15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资 做了调查 数据如下图所示 若某大学毕业生从这 15 座城市中随机选择一座城市就业 求该生选中月平 均收入薪资高于 8500 元的城市的概率 现有 2 名大学毕业生在这 15 座城市中各随机选择一座城市就业 且 2 人的 选择相互独立 记为选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的人数 求的分布列XX 和数学期望 E X 记图中月平均收入薪资对应数据的方差为 月平均期望薪资对应数据的 2 1 s 方差为 判断与的大小 只需写出结论 2 2 s 2 1 s 2 2 s 17 本小题 14 分 如图 四棱柱中 底面为直角梯形 1111 ABCDABC D ABCDABCD 平面平面 ABBC ABCD 11 ABB A 1 60BAA 1 2 22AB AABCCD 求证 1 BCAA 求二面角的余弦值 1 DAAB 在线段上是否存在点 使得平面 若存在 求的值 1 DB MCM 1 DAA 1 DM DB 若不存在 请说明理由 M C D B A 1 1 1 1 C D B A 18 本小题 13 分 已知函数 32 11 2 e 32 x f xxaxax 当时 求函数的单调区间 0a f x 当时 求证 是函数的极小值点 ea 1x f x 19 本小题 14 分 已知抛物线过点 是抛物线上不同两点 且 2 2C ypx 2 2 M A BC 其中是坐标原点 直线与交于点 线段的中点为 ABOM OAOBMPABQ 求抛物线的准线方程 C 求证 直线与轴平行 PQx 20 本小题 13 分 设且 集合 n N2n 1211 1 2 1 2 1 nnii Sx xxxxxin 写出集合中的所有元素 2 S 设 证明 的充要条件 12 n a aa 12 n b bb n S 11 nn ii ii ab 是 1 2 3 ii ab in 设集合 求中所有正数之和 12 1 n ninn i Txx xxS n T 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 丰台区丰台区 2018 2019 学年度第二学期综合练习 一 学年度第二学期综合练习 一 高三数学 理科 答案高三数学 理科 答案 2019 03 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 分 题号12345678 答案ACDABABC 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 有两空的小题 第一空分 有两空的小题 第一空 3 分 第二空分 第二空 2 分 分 9 10 11 6123 12 13 14 4 6 21 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 共小题 共 80 分 分 15 共 13 分 解 2 cos 2 2sin 3 f xxxa 13 cos2sin2cos21 22 xxxa 33 cos2sin21 22 xxa 31 3 cos2sin2 1 22 xxa 3sin 2 1 3 xa 因为 所以 0 3 f 1a 解法 1 因为 函数的增区间为 sinyx 2 2 22 kkk Z 由 2 22 232 kxk k Z 所以 5 1212 kxk k Z 所以 函数的单调递增区间为 f x 5 1212 kk k Z 因为 函数在上是单调函数 f x 0 m 所以 的最大值为 m12 解法 2 因为 0 xm 所以 22 333 xm 因为 是函数的增区间 2 2 sinyx 所以 2 32 m 所以 12 m 所以 的最大值为 m 12 16 共 13 分 解 设该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市为事件 A 因为 15 座城市中月平均收入薪资高于 8500 元的有 6 个 所以 2 5 P A 由 知选中平均薪资高于 8500 元的城市的概率为 低于 8500 元的概率为 2 5 3 5 所以X 2 2 5 B 2 39 0 525 P X 1 2 2312 1 5525 P XC 22 2 24 2 525 P XC 所以随机变量X的分布列为 P012 X 9 25 12 25 4 25 所以X的数学期望为 24 2 55 E X 22 12 ss 17 共 14 分 解 因为 平面平面 平面平面 ABCD 11 ABB AABCD 11 ABB A AB ABBC 平面 BC ABCD 所以 平面 BC 11 ABB A 因为 平面 1 AA 11 ABB A 所以 1 BCAA 取的中点 连结 11 AB NBN 平行四边形中 易证 11 ABB A 1 ABAA 1 60BAA BN 11 AB 由 知平面 BC 11 ABB A 故以为原点 所在直线为坐标轴 BBABNBC 建立如图所示空间直角坐标系 Bxyz N z y x M C D B A 1 1 1 1 C D B A 依题意 1 2 0 0 1 3 0 1 0 1 AAD 设平面的一个法向量为 1 DAA x y z n 则 1 13 0AA 1 0 1 AD 则 即 1 0 0 AA AD n n 30 0 xy xz 令 得 1y 3 1 3 n 易知平面的一个法向量为 11 ABB A 0 0 1 m 设二面角的平面角为 可知为锐角 1 DAAB 则 321 coscos 73 13 n m n m nm 即二面角的余弦值为 1 DAAB 21 7 解 设 1 DMDB 0 1 M x y z 因为 1 0 1 D 1 1 3 0 B 0 0 1 C 所以 1 2 3 1 1 1 DBDMxy z 所以 12 3 1xyz 12 3 1 M 12 3 CM 因为平面 CM 1 DAA 所以 0CM n 即 所以 3 12 330 1 2 所以存在点 使得平面 此时 MCM 1 DAA 1 1 2 DM DB 18 共 13 分 解 因为 0a Rx 所以 2 exf xx 故 1 exfxx 令 0fx 得 1x 所以单调递增区间为 1 令 0fx 得 1x 所以单调递区间为 1 由题可得 1 e x fxxax 当时 对任意 0 x 都有e 0 x ax 恒成立 0a 所以当0 1x 时 0fx 当 1x 时 0fx 所以函数 f x 在 1x 处取得极小值 符合题意 当时 设 g exxax 依然取 0 x 0ea 则 g exxa 令 g 0 x 得 lnxa 所以 g x 在 0 ln a 上单调递减 在区间 ln a 上单调递增 所以 min g ln 1ln xgaaa 因为 所以 当且仅当时 等号成立 此时 0ea min 1ln 0g xaa ea 1x 所以对任意 都有e 0 x ax 恒成立 0 1 1 x 所以当0 1x 时 0fx 当 1x 时 0fx 所以函数 f x 在 1x 处取得极小值 符合题意 综上 可知 当时是函数的极小值点 ea 1x f x 19 共 14 分 解 由题意得 解得 2 2 4p1p 所以抛物线 C 的准线方程为 1 22 p x 设 22 12 12 22 yy AyBy 由得 则 所以 ABOM 1 ABOM kk 21 22 2121 2 1 22 yy yyyy 21 2yy 所以线段中点的为纵坐标 ABQ1 Q y 直线 AO 方程为 1 2 11 2 2 y yxx yy 直线 BM 方程为 2 2 22 22 222 2 2 2 y yxx yy 联立 解得 即点的为纵坐标 1 2 1 y x y P1 P y 如果直线 BM 斜率不存在 结论也显然成立 所以直线与轴平行 PQx 20 共 13 分 解 因为 所以 1 1x 2 2x 所以中的元素有 2 S 1 2 1 2 1 2 1 2 先证充分性 因为对于任意的 都有 所以 1 2 3 in ii ab 11 nn ii ii ab 再证必要性 因为 所以数列是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 11 1 2 ii xxx i x 所以 1 2i i x 假设存在 使得 2 3 jn jj ab 所以或 jj ab jj ab 若 不妨设 则 jj ab 0 j a 0 j b 因为 11 1ab 111 11 11 12 21 2 12 jjj jj iij ii xxx 所以 这与矛盾 1 0 j i i a 1 0 j i i b 11 jj ii ii ab 所以 jj ab 当时 必有 2j 11