高考数学大二轮总复习与增分策略 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第2讲 不等式与线性规划练习 理.doc

第2讲不等式与线性规划1(2016浙江)已知实数a，b，c，()A若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100B若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2100C若|abc2|abc2|1，则a2b2c2100D若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100答案D解析由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项对选项A，当ab10，c110时，可排除此选项；对选项B，当a10，b100，c0时，可排除此选项；对选项C，当a10，b10，c0时，可排除此选项故选D.2(2016课标全国丙)若x，y满足约束条件 则zxy的最大值为_答案解析满足约束条件的可行域为以A(2，1)，B(0,1)，C为顶点的三角形内部及边界，如图，过C时取得最大值.3(2016上海)设xR，则不等式|x3|1的解集为_答案(2,4)解析1x31，即2x0，b0，若关于x，y的方程组无解，则ab的取值范围是_答案(2，)解析由已知得，ab1，且ab，ab22.1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一不等式的解法1一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集2简单分式不等式的解法(1)0(0(0)；(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.3指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解例1(1)已知函数f(x)x2axb (a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_(2)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|xlg 2答案(1)9(2)D解析(1)由值域为0，)，可知当x2axb0时有a24b0，即b，f(x)x2axbx2ax2.f(x)2c，解得x，x.不等式f(x)c的解集为(m，m6)，()26，解得c9.(2)由已知条件010x，解得xlglg 2.思维升华(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论跟踪演练1(1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.(2)不等式24的解集为_答案(1)(2)(1,2)解析(1)由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.(2)2422，x2x2，即x2x20，解得1x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)例2(1)已知向量a(m,2)，b(1，n1)，若ab，则2m4n的最小值为()A2 B2C4 D8(2)设实数m，n满足m0，n0，n0，b0)对称，则的最小值为_答案(1)(2)16解析(1)正数a，b满足ab1，222，当且仅当ab时取等号，的最大值为.(2)圆(x2)2(y2)29的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线axby20必经过圆心(2,2)，即ab1.所以()(ab)1010216(当且仅当，即a，b时等号成立)，所以的最小值为16.热点三简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决例3(1)已知实数x，y满足约束条件则zx2y的最大值与最小值之和为()A2 B14C6 D2(2)若变量x，y满足约束条件且目标函数zkxy当且仅当时取得最小值，则实数k的取值范围是_答案(1)A(2)解析(1)根据x，y的约束条件画出可行域，如图阴影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)由zx2y可知，当直线yx过点A时，z取最小值，即zmin210；当直线yx过点C时，z取最大值，即zmax0248，zminzmax2.故选A.(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的ABC及其内部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)将目标函数变形得ykxz，当z取得最小值时，直线的纵截距最小由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线ykxz绕定点A旋转进行分析，知k0，b0，且a2b1，所以aba2b()2，当且仅当a2b，即a，b时，“”成立故选D.2在R上定义运算：adbc，若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()A B C. D.押题依据不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式答案D解析由定义知，不等式1等价于x2x(a2a2)1，x2x1a2a对任意实数x恒成立，x2x1(x)2，a2a，解得a，则实数a的最大值为.3已知实数x，y满足则zx2y的最小值为()A2 B. C. D5押题依据线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点答案B解析由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中阴影部分所示的四边形ABCD及其内部因为目标函数zx2y可化为y，其表示过可行域上的点(x，y)，斜率为且在y轴上的截距为的直线；由图可知，当zx2y过点D(，1)时，z取得最小值zmin2.故选B.4若不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(4,2)B(，4)(2，)C(，2)(0，)D(2,0)押题依据“恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点答案A解析不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，等价于不等式x22xmin.因为对任意a，b(0，)，28(当且仅当，即a4b时取等号)，所以x22x8，解得4xb，则下列不等式中恒成立的是()Aln aln b B.ab Da2b22ab答案D解析只有当ab0时A成立；只有当a，b同号时B成立；只有当a0时C成立；因为ab，所以D恒成立，故选D.2若函数f(x)则“0x1”是“f(x)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当0x1时，f(x)log2x0，所以“0x1”“f(x)0”；若f(x)0，则或解得0x1或1x0，所以1x1，所以“f(x)0” “0x0时，由log3x1可得x3，当x0时，由()x1可得x0，不等式f(x)1的解集为(，03，)7要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元答案160解析由题意知，体积V4 m3，高h1 m，所以底面积S4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y204108020160，当且仅当2x，即x2时取得等号8已知x0，y0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是_答案(4,2)解析由题意可得m22m应小于的最小值，所以由基本不等式可得2 8，所以m22m84m2.9设0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB，求集合D.(用区间表示)解令g(x)2x23(1a)x6a，其对称轴方程为x(1a)，9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3)当00，g(0)6a0，方程g(x)0的两个根分别为0x1x2，DAB；当a1时，0恒成立，所以DAB(0，)综上所述，当0a时，D；当a1时，D(0，)10运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50x100)(单位：千米/小时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)行车所用时间为t(h)，y2(2)14，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当x，即x18时，上述不等式中等号成立故当x18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元B组能力提高11(2015陕西)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上为增函数，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.选C.12(2015山东)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)，当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_答案解析由题意，得xy(2y)x，当且仅当xy时取等号13设点P(x，y)满足条件点Q(a，b) (a0，b0)满足1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是_答案解析1，axby1，点P(x，y)满足条件的区域，如图阴影部分所示，1，即axby1，且点Q(a，b)满足1恒成立，只需点P(x，y)在可行域内的交点处：A(1,0)，B(0,2)，axby1成立即可，即它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为，故答案为.14提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，显然v(x)axb在20,200上是减