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数值分析 第二章插值法 Hermite插值 1 2 两点三次Hermite插值 F 3 例 设x0 x1 x2 已知f x0 f x1 f x2 和f x1 求多项式P x 满足P xi f xi i 0 1 2 且P x1 f x1 并估计误差 模仿Newton多项式的思想 设 解 首先 P的阶数 3 A为待定系数 可由P x1 f x1 确定 与Lagrange分析完全类似 4 5 求Hermite多项式的基本步骤 写出相应于条件的 的组合形式 对每一个找出尽可能多的条件给出的根 其中 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数 由 可得 6 7 最后完整写出H x 8 9 两点三次Hermite插值的误差为 10 构造辅助函数 均是二重根 连续使用4次Rolle定理 可得 使得 11 即 所以 两点三次Hermite插值的余项为 以上分析都能成立吗 12 一般的 总认为次数越高 逼近f x 的精度就越好 但实际上并非如此 13 2 6分段低次插值 piecewisepolynomialapproximation RememberwhatIhavesaid IncreasingthedegreeofinterpolatingpolynomialwillNOTguaranteeagoodresult sincehigh degreepolynomialsareoscillating 例 在 5 5 上考察的Ln x 取 n越大 端点附近抖动越大 称为Runge现象 14 不同次数的Lagrange插值多项式的比较图 Runge现象 从上图可以看出 随着n的增加 Ln x 的计算结果和误差的绝对值几乎成倍的增加 这说明当n趋于无穷大时 Ln x 在 5 5 上不收敛 15 16 因此 则 17 分段线性插值 piecewiselinearinterpolation 在每个区间上 用1阶多项式 直线 逼近f x 分段Hermite插值 Hermitepiecewisepolynomials Howcanwemakeasmoothint
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