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第七章随机变量的数字特征 主要内容 数学期望方差与标准差协方差和相关系数两个不等式中心极限定理 一 数学期望 均值 期望定义常见分布的期望随机变量函数的期望期望的性质 引例 某校有3个学生英语考试成绩分别为85 70 70 求平均成绩 常见分布的期望 例1 设随机变量X B 5 p 已知E X 1 6 求参数p 例2 设随机变量 已知 P 0 32 E X 4 随机变量函数的期望 例3 试分别求下列分布的 重新计算例5中两个分量的期望 性质 3 4 可以推广到任意有限个随机变量上去 1 设随机变量 则 2 设随机变量 则 例6 证明二项分布的数学期望证 且相互独立 例7 设X Y相互独立 X 参数为2的指数分布 Y 参数为3的指数分布 求E 2X 3Y E XY 答 E 2X 3Y 2E X 3E Y 2 1 2 3 1 3 2E XY E X E Y 1 6 例8 设X Y相互独立 X R 2 6 Y R 1 3 求E 2X 3Y 3 E 2XY E X2 答 由已知可得E X 4 E Y 1 E 2X 3Y 3 2E X 3E Y 3 8 E 2XY 2E X E Y 8 E X2 a2 ab b2 3 4 12 36 3 52 3 二 方差与标准差 定义常见分布方差性质 定义 常见分布方差 方差性质 一般的 有 设相互独立 则 X B n p 则X X1 X2 XnXi B 1 p 且相互独立 由性质得D X DX1 DX2 DXn np 1 p 例12设X Y相互独立 X R 0 3 Y 参数为2的指数分布 求D X Y E X2Y2 解 D X Y D X D Y 3 4 1 4 1由X Y相互独立可推得X2 Y2相互独立 因此E X2Y2 E X2 E Y2 D X E X 2 D Y E Y 2 3 4 9 4 1 4 1 4 3 2 例13设X Y相互独立 X N 1 4 Y N 0 1 1 求E X 2Y D X 2Y 2 求Z X 2Y的密度函数解 E X 2Y 1D X 2Y D X 4D Y 4 4 8Z X 2Y N 1 8 三 协方差和相关系数 协方差定义协方差性质相关系数定义相关系数性质 协方差定义 E X 0 E Y 1 E XY 1 3 可以推出Cov X Y 1 3 求Cov X Y 例16试证cov X Y X Y D X D Y 证 cov X Y X Y cov X X cov X Y cov Y X cov Y Y D X D Y 相关系数定义 四 两个不等式 五 中心极限定理 大数定律中心极限定理 一 大数定律 依概率收敛定义独立同分布情形下的大数定律 依概率收敛 独立
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