平面解析几何单元测试卷

平面解析几何初步 单元测试卷 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 原创 已知点 则直线 AB 的倾斜角为 3 1 A 1 23 B A B C D 6 3 5 6 p2 3 1 答案 D 解析 因为直线 AB 的斜率为 所以直线 AB 的倾斜角为 选 D 3 AB k 2 3 2 原创 若直线经过圆 C 的圆心 则实数的值为 10 xmy 22 220 xyxy m A 0 B 2 C 2 D 1 2 答案 C 解析 因为圆 C 的圆心为 1 1 所以直线 22 220 xyxy 过点 1 1 所以 选 C 10 xmy 2m 2 原创 圆的圆心到直线的距离为 22 2 1xy 10 xx A B 1C D 2 2 22 2 2 答案 A 解析 直线的直角方程为 所以圆心到直线的距离为 10 xx 0 2 12 22 选 A 3 原创 若关于 x y 的方程组无实数解 则实数的值为 40 21 30 axy axy a A B 1 C D 1 1 3 1 3 3 答案 A 解析 由已知得直线与直线平行 所以40axy 21 30axy 解得 选 A 12aa 1 3 a 4 原创 当 a 为任意实数时 直线恒过定点 M 则以 M 为圆心 半径为 1 10axya 1 的圆的方程为 A B 22 20 xyxy 22 20 xyxy C D 22 2440 xyxy 22 2440 xyxy 4 答案 D 解析 直线的方程可变形为 令 1 10axya 110a xxy 解得 即定点 M 1 2 所以圆的方程为 即 10 10 x xy 1 2 x y 22 121xy 选 D 22 2440 xyxy 5 原创 已知直线与直线垂直 且与圆 C 相切 则直线 1 l 2 l4310 xy 22 20 xyx 的方程是 1 l A B 或3480 xy 3480 xy 3420 xy C D 或3480 xy 3480 xy 3420 xy 5 答案 B 解析 由于直线与直线垂直 于是可设直线的方程为 1 l 2 l4310 xy 1 l 由圆 C 的圆心坐标为 1 0 半径为 1 所以 340 xym 22 20 xyx 3 1 5 m 解得或 选 B 2m 8m 6 原创 与圆 和圆 都相切的直线共有 1 C 22 4xy 2 C 22 8690 xyxy A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 6 答案 C 解析 圆的方程化为标准式为 所以两圆心间的距离为 2 C 22 4 3 16xy 且 所以两圆相交 故与两圆都相切的直线共 22 435d 1212 2 56rrdrr 有 3 条 选 C 7 原创 若两平行直线和圆都没有公共点 则称这两条平行线和圆 相离 已知直线 和圆相离 则实数的取值范围 1 2 0lxym 2 2 2 10lxym 22 240 xyx m 是 A 或 B 或7m 3m 36m 67m C 或 D 或6m 6m 7m 3m 7 答案 A 解析 因为两条平行直线和圆相离时 有 解得 2 2 1 5 5 2 1 1 5 5 m m 或 选 A 3m 7m 7 原创 两条平行直线和圆的位置关系定义为 若两条平行直线和圆有四个不同的公共点 则称两 条平行线和圆 相交 若两平行直线和圆没有公共点 则称两条平行线和圆 相离 若两平行直 线和圆有一个 两个或三个不同的公共点 则称两条平行线和圆 相切 已知直线 和圆相切 则实数的取值范围 1 2 0lxym 2 2 2 10lxym 22 240 xyx m 是 A 或 B 或7m 3m 36m 67m C 或 D 或6m 6m 7m 3m 7 解析 因为当两平行直线和圆相交时 有 解得 当 2 2 1 5 5 2 1 1 5 5 m m 66m 两条平行直线和圆相离时 有 解得或 故当两平行直线 2 2 1 5 5 2 1 1 5 5 m m 3m 7m 和圆相切时 把以上两种情况下求得的的范围取并集后 再取此并集的补集 即得所求 所求的a 的最后范围是或 故选 B m36m 67m 8 原创 已知动点在直线上 则的最小值为 A a b4360 xy 22 2aba A 4 B 3 C 2 D 1 8 答案 B 解析 因为 其中 2 222222 2 1 1 1 1abaabab 表示直线上的动点到定点 B 1 0 的距离 其最小值为点 B 1 0 到直 22 1 ab A a b 线可以看成是原点到直线的距离 即 22 ba 4360 xy 22 min 1 ab 所以的最小值为 3 故选 B 22 4 1 3 06 2 34 22 2aba 9 过圆 22 4xy 外一点 4 2 P作圆的两条切线 切点分别为 A B 则ABP 的外接圆方程是 A 22 2 1 5xy B 22 2 4xy C 22 2 1 5xy D 22 4 2 1xy 9 答案 A 解析 根据题意 过圆 22 4xy 外一点 4 2 P作圆的两条切线 切点分别为 A B 设直线 PA y 2 k x 4 利用圆心到直线的距离为半径 2 可知圆心与点 P 的中点为圆心 2 1 半径为 OP 距离的一半 即为 故选 A 5 9 已知直线l yxm m R 若以点 2 0 M为圆心的圆与直线l相切于点P 且P在y轴上 则该圆的方程为 A 22 2 8xy B 22 2 8xy C 22 2 8xy D 22 2 8xy 9 答案 A 解析 由题意 0 Pm 又直线l与圆相切于点P MPl 且直线的倾斜角为 45 所以点P的坐标为 0 2 2 2MP 于是所求圆的方程为 22 2 8xy 故选 A 9 若直线与曲线有公共点 则 b 的取值范围是 yxb 2 34yxx A B 3 1 2 2 12 2 12 C 1 D 3 12 2 1 2 2 9 答案 D 解析 由曲线可知其图像不以 2 34yxx 2 3 为圆心 半径为 2 的半圆 故直线与之有公共yxb 点介于图中两直线之间 求得直线与半圆相切时 直线过点 0 3 时有一个交点 故221 b 选 D 9 原创 已知圆 直线 则直线 与圆的位置关系是 22 21C xyx 1 1l yk x lC A 一定相离B 一定相切C 相交且一定不过圆心 D 相交且可能过圆心 9 答案 C 解析 圆的标准方程为 圆心为 半径为 直线 22 1 2xy 1 0 2 恒过定点 圆心到定点的距离 所以定点在圆内 所 1 1l yk x 1 1 1 1 12d 1 1 以直线和圆相交 定点和圆心都在直线上 且直线的斜率存在 所以直线一定不 1 1 1 0 1x k 过圆心 选 C 10 设 若直线与轴相交于点 与轴相交于点 且坐标原点 m nR 10l mxny xAyB 到直线 的距离为 则面积的最小值为 Ol3AOB A B C D 1 2 234 10 答案 C 解析 原点到直线 的距离 Ol 2222 00 11 3 mn d mnmn 在直线 的方程中 令可得 即直线 与轴交于点 令 22 1 3 mn l0y 1 x m lx 1 0A m 可得 即直线 与轴交于点 0 x 1 y n ly 1 0 B n 当且仅当时上式取等号 22 111111 3 222 AOB SOA OB mnmnmn mn 由于 故当时 面积取最小值 22 1 3 mn 22 1 6 mn AOB 3 10 原创 在平面直角坐标系中 若直线 xyc0 与圆交于 A B 两点 且xOy 225 2 xy 则实数 c 的值为 5 4 OA OB uur uu u r g A B C D 5 2 5 2 5 4 5 4 10 答案 D 解析 由可知 所以 因此圆心 5 4 OA OB uur uu u r g 1 cos 2 AOB 2 3 AOB p O 到直线 xyc0 的距离为 即 解得 选 B 10 4 10 42 c 5 2 c 11 原创 已知分别为平面内的两条相交直线 交点为 A 动点 P Q 分别在上运动 且 12 l l 12 l l PQ 则过 A P Q 三点的动圆形成的面积为 2 A B C D 2 p p2p4p 11 答案 D 解析 以 A 为原点 分别为 x 轴和 y 轴建立直角坐标系 过 A P Q 三点 1 l 2 l 的动圆即为以 PQ 为直径的圆 设圆心 即 PQ 中点 的坐标为 则 P Q 的坐标分别为 x y 和 由 PQ 可得 因此过 A P Q 三点的动圆的圆心的轨迹是以 2 0 x 0 2 y 2 22 1xy 原点为圆心 1 为半径的圆 且动圆的半径为 1 因此动圆形成的区域为半径为 2 圆心为原点的 圆及其内部 圆域 其面积为 选 D 4p 12 原创 已知直线与圆相交于 A B 两点 点在直线30axy 22 280 xyx 00 P xy 上 且 PA PB 则的取值范围为 20 xy 0 x A B C D 1 0 0 2 1 2 1 0 0 2 12 答案 A 解析 圆的标准方程为 所以圆心坐标为 22 280 xyx 22 1 9xy 1 0 半径为 3 由直线与圆相交可得 解得或 由点 30axy 2 3 3 1 a a 3 4 a P 在上可得 又由 PA PB 可知 点 P 落在与直线垂直 20 xy 00 2yx 30axy 且过圆心的直线上 所以 结合 可知 当或 00 1 1 yx a 0 1 21 x a 3 4 a 0 1 0 0 2 x 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 各小题 每小题各小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 原创 若直线 l 的倾斜角为 135 在 x 轴上的截距为1 则直线 l 的一般式方程为 13 答案 解析 直线的斜率为 所以满足条件的直线方程为10 xy tan1351k 即 1 yx 10 xy 14 原创 直线与直线关于点对称 则 210 xy 04 byax 2 1 Pab 14 答案 0 解析 由于两直线关于点对称 两直线平行 故 解得 2 1 P 1 42 a 2a 由直线上的点 A 1 0 关于点的对称点 5 2 在直线上 210 xy 2 1 P04 byax 所以 解得 故0 280ab 2b ab 15 原创 已知 O 由直线上一点向 O 引切线 PQ 2 1 A 22 1xy l30 xy P 切点为 Q 若 则点坐标是 PQPA P 15 答案 解析 设 则由可得 即 0 3 3 P a a PQPA 22 PQPA 222 1POPA 将点的坐标代入可解得 故点点坐标为 0a P 0 3 15 过直线上一点作圆的切线 若关于直线 对称 xyl2 P 218 22 yxC 21 l l 21 l ll 则点到圆心的距离为 PC 15 答案 解析 数形结合可知 当关于直线 对称时 点和圆心的连线垂直于3 5 21 l llPC 直线 所以点到圆心的距离为即为圆心到直线的距离 利用点xyl2 P 8 1 C 8 1 Cxyl2 到直线的距离公式算得结果为 3 5 15 已知直线平分圆的面积 且直线 与 340lxym 2222 1410740 xyxymn l 圆相切 则 22 2450 xyxyn mn 15 答案 解析 根据题意 由于直线平分圆3 340lxym 的面积 即可知圆心 7 5 在直线上 即 2222 1410740 xyxymn 340lxym m 同时利用直线 与圆相切 可得圆心 1 2 到直线 的距离1 l 22 2450 xyxyn l 等于圆的半径 即 d 所以3 22 10 2 34 n 4n mn 15 原创 直线过点且倾斜角为 直线过点且与直线垂直 则直线与直线 1 l 2 0 30 2 l 2 0 1 l 1 l 的交点坐标为 2 l 15 答案 解析 直线的斜率为 因为直线与直线垂直 所以 1 3 1 l 1 3 tan30 3 k 2 l 1 l 所以直线的方程为 直线的方程为 两式联 2 1 1 3k k 1 l 3 2 3 yx 2 l3 2 yx 立解得 即直线与直线的交点坐标为 1 3 x y 1 l 2 l 1 3 16 原创 数学家欧拉在 1765 年发现如下定理 三角形的外心 重心 垂心依次位于同一条直线 上 且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半 这条直线后人称之为三角形的欧拉线 已知三 角形 ABC 的顶点 A 2 0 B 0 4 且三角形 ABC 的欧拉线的方程为 则顶点20 xy C 的坐标为 16 答案 4 0 解析 设点 C 的坐标为 则三角形 ABC 的重心为 由 a b 24 22 ab G 欧拉线过重心得 即 又边 AB 的垂直平分线方20 xy 24 20 22 ab 40ab 程为 即 联立解得三角形的外心坐标为 1 2 1 2 yx 13 22 yx 20 xy 1 1 H 所以 即 联立 解得 舍去 或 故AHCH 22 10 1 1 ab 0 4 a b 4 0 a b 点 C 的坐标为 4 0 16 原创 设圆 22 1 1xy 的切线l与x轴正半轴 y轴正半轴分别交于点 A B 当AB取 最小值时 切线l在y轴上的截距为 16 35 2 解析 设直线l与坐标轴的交点分别为 0 A a 0 Bb 显然1a 2b 则直 线l 1 xy ab 依题意 22 1 1 1 11 b ab 即 222 1112 1 abbb 所以 2 2 b a b 所以 2222 2 b ABabb b 设 2 2 x f xx x 则 2 22 22 2 1 2 2 2 x x fxx xx 322 22 2 441 2 1 31 2 2 xxxxxx xx 2 x 设 0fx 则 1 1x 2 35 2 x 3 35 2 x 又2x 故当 3 2 xx 时 f x单调递减 当 3 xx 时 f x单调递增 所以当 35 2 b 2 52 2 b a b 时 AB有最小值 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 分 17 本小题 10 分 原创 已知圆 C 过两点 M 2 0 和 N 0 4 且圆心在直线上 30 xy 求圆 C 的方程 已知过点的直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4 求直线 l 的方程 2 5 17 解析 由题可知 圆心 C 落在线段 MN 的垂直平分线上 且直线 MN 垂直平分线方程为 于是解方程组 可得圆心 C 的坐标为 1 2 且圆的半径为230 xy 30 230 xy xy MC 所以圆 C 的方程为 r 5 22 1 2 5xy 因为圆心 C 的坐标为 1 2 半径为 所以圆心到直线的距离为 当直线5 22 21dr 的斜率不存在时 其方程为 满足题意 当直线 的斜率存在时 设直线方程为l2x l 即 由 解得 此时方程为5 2 yk x 520kxyk 2 3 1 1 k d k 4 3 k 即 综上可得 直线 的方程为或 4 5 2 3 yx 4370 xy l20 x 4370 xy 18 已知圆 M 与轴相切 084 22 myxyxx 求的值 m 求圆 M 在轴上截得的弦长 y 若点是直线上的动点 过点作直线与圆 M 相切 为切点 P3480 xy PPAPB AB 求四边形面积的最小值 PAMB 18 解析 令 有 由题意知 0y 2 40 xxm 1640 4mm A 即的值为 4 m 设与轴交于 令有 则是 式的MAy 12 0 0 EyFy0 x 2 840yy 12 y y 两个根 则 所以在轴上截得的弦长为 12 64 164 3yy MAy4 3 由数形结合知 PM 的最小值等于点 2 1 224416 2 PAMBPAM SSMBPBPBPM M 到直线的距离 即 即四边形3480 xy min 6 16 8 6 5 PM 4 36 168 5 PAMB S PAMB 的面积的最小值为 8 5 18 本小题 12 分 原创 在平面直角坐标系xOy中 已知圆M 22 860 xyx 过点 0 2 P且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点 A B 线段AB的中点为N 求k的取值范围 若 ONMP 求k的值 18 解 方法 1 圆的方程可化为 直线可设为 即 22 4 10 xy 2 kxy20kxy 圆心到直线的距离为 依题意 即 M 2 42 1 k d k 10d 22 42 10 1 kk 解之得 1 3 3 k 方法 2 由可得 依题意 22 860 2 xyx ykx 22 1 4 2 100kxkx 解之得 22 4 2 40 1 0kk 1 3 3 k 方法 1 因为 且斜率为 故直线 由可得 ONMPMP 1 2 ON 1 2 yx 1 2 2 yx ykx 又是中点 所以 即 解之得 42 21 21 N kk NABMNAB 2 1 21 4 4 21 k k k 4 3 k 方法 2 设 则 由可得 11 A x y 22 B xy 1212 22 xxyy N 22 860 2 xyx ykx 所以 又 且斜率为 22 1 4 2 100kxkx 12 2 4 2 1 k xx k ONMPMP 1 2 所以 即 也就是 所以 12 12 1 2 2 2 yy xx 12 12 1 2 yy xx 12 12 41 2 k xx xx 解之得 2 2 4 2 4 1 1 4 2 2 1 k k k k k 4 3 k 方法 3 点的坐标同时满足 解此方程组 消去可得 N 2 1 2 1 4 ykx yx y xk x y 4 3 k 19 本小题 12 分 原创 设为坐标原点 已知直线 1 0 F 是直线 上的点 O 2l x Ml 过点作的垂线与以为直径的圆交于两点 FOMOMD P Q 若 求圆的方程 6PQ D 若是直线 上的动点 求证 点在定圆上 并求该定圆的方程 MlP 19 解析 设 2 Mt 则圆 D 的方程 2 22 1 1 24 tt xy 直线PQ的方程 220 xty 6PQ 2 2 2 2 22 2 2 1 6 4 4 t t t 2 4t 2t 圆 D 的方程 22 1 1 2xy 或 22 1 1 2xy 解法 1 设 00 P xy 由 知 2 22 00 00 1 1 24 220 tt xy xty 即 22 0000 00 20 220 xyxty xty 消去 t得 22 00 xy 2 点P在定圆 22 xy 2 上 解法 2 设 00 P xy 则直线 FP 的斜率为 0 0 1 FP y k x FP OM 直线 OM 的斜率为 0 0 1 OM x k y 直线OM 的方程为 0 0 1x yx y 点M的坐标为 0 0 2 1 2 x M y MP OP 0OP MP 0 0000 2 1 2 0 x x xyy y 22 00 xy 2 点P在定圆 22 xy 2 上 20 本小题 12 分 原创 某小区有一块三角形空地 如图 ABC 其中 AC 180 米 BC 90 米 C 开发商计划在这片空地上进行绿化和修90 建运动场所 在 ABC 内的 P 点处有一服务站 其大小可忽略不计 开发 商打算在 AC 边上选一点 D 然后过点 P 和点 D 画一分界线与边 AB 相交 于点 E 在 ADE 区域内绿化 在四边形 BCDE 区域内修建运动场所 现 已知点 P 处的服务站与 AC 距离为 10 米 与 BC 距离为 100 米 设 DC 米 试问取何值时 运动场所面积最大 dd 20 解析 以 C 为坐标原点 CB 所在直线为轴 CA 所在直线为轴建xy 立直角坐标系 则 0 0 C 0 180 A 90 0 B 10 100 P DE 直线方程 AB 所在直线 0 Dd 100 100 10 10 d yx 方程为 解 组成的方程组得 2180 xy 直线经过点 B 时 101800 120 E d x d DE 225 2 d 225 0 2 d 11101800 180 22120 ADEE d SADxd d A 2 180 5 120 d d 设 当 15 120 120 2 dt 2 60 5 ADE t S t A 3600 5 120 t t 3600 120t t 且仅当 即时取等号 此时 当 60 时 绿化面积最小 从而60t 4k 12060dt d 运动区域面积最大 20 已知圆M的方程为 22 2 1xy 直线l的方程为20 xy 点P在直线l上 过P点作圆 M的切线 PA PB 切点为 A B 若 60APB 试求点P的坐标 若P点的坐标为 2 1 过P作直线与圆M交于 C D两点 当2 CD时 求直线CD的方程 经过 A P M三点的圆是否经过异于点 M 的定点 若经过 请求出此定点的坐标 若不经过 请 说明理由 20 解 设 2 Pm m 由题可知2MP 所以 22 2 2 4mm 解之得 4 0 5 mm 故所求点P的坐标为 0 0 P或 8 4 5 5 P 设直线CD的方程为 1 2 yk x 易知k存在 由题知圆心M到直线CD的距离为 2 2 E D CB A P O y x E D C B A P 所以 2 212 2 1 k k 解得 1k 或 1 7 k 故所求直线CD的方程为 30 xy 或 790 xy 设 2 Pm m MP的中点 1 2 m Q m 因为PA是圆M的切线 所以经过 A P M三点的圆是 以Q为圆心 以MQ为半径的圆 故其方程为 2222 1 1 22 mm xmym 化简得 0 22 2 22 yxmyyx 此式是关于m的恒等式 故 解得 22 20 220 xyy xy 0 2 x y 或 5 2 5 4 y x 所以经过 A P M三点的圆必过异于点 M 的定点 5 2 5 4 20 本小题 12 分 原创 在平面直角坐标系中 已知圆心在轴上 半径为的圆位于xOyx2C 轴右侧 且与直线相切 y320 xy 求圆的方程 C 在圆上 是否存在点 使得直线与圆相交于不同的两点C M m n 1l mxny 22 1O xy 且的面积最大 若存在 求出点的坐标及对应的的面积 若不存在 请说 A BOAB MOAB 明理由 20 解析 设圆心是 它到直线的距离是 解 00 0 0 xx 320 xy 0 2 2 1 3 x d 得或 舍去 所求圆的方程是 0 2x 0 6x C 2 2 24xy 2 点在圆上 且 M m nC 2 2 24mn 2 22 424nmmm 04m 又原点到直线的距离 解得 而 1l mxny 22 11 1 4 h m mn 1 4 4 m 2 2 1ABh 22 24 111111 244424 OAB SAB hhh mmm 当 即时取得最大值 此时点的坐标是与 11 1 164m 11 42m 1 2 m 1 2 M 17 22 面积的最大值是 17 22 1 2 21 原创 若圆经过坐标原点和点 且与直线相切 从圆外一点向该圆C 0 6 1 yC baP 引切线 为切点 PTT 求圆的方程 C 已知点 且 试判断点是否总在某一定直线 上 若是 求出 的方程 2 2 QPQPT Pll 若不是 请说明理由 若 中直线 与轴的交点为 点是直线上两动点 且以为直径的圆过点lxFNM 6 xNM E 圆是否过定点 证明你的结论 FE 21 解析 设圆心由题易得 半径 得 nmC3 m 2 91nnr 4 n5 r 所以圆的方程为 C25 4 3 22 yx 由题可得 所以 CTPT 25 4 3 22 22 baCTPCPT 所以 整理得 22 2 2 baPQ25 4 3 22 ba 22 2 2 ba 所以点总在直线上 042 baP042 yx 由题可设点 则圆心 半径 从而圆 0 4 F 6 1 yM 6 2 yN 2 6 21 yy E 2 21 yy r 的方程为 整理得E 4 2 6 2 212212 yyyy