第一讲一元二次方程的定义及解法

第一讲第一讲 一元二次方程的定义及解法一元二次方程的定义及解法 一 趣题引路 一 趣题引路 瑞士的列昂纳德 欧拉 1707 1783 既是一位伟大的数学家 也是一位教子有方的父亲 他曾亲自编 过许多数学趣题用以启发孩子们思考 如下题 父亲临终时立下遗嘱 要按下列方式分配遗产 老大分得 100 克朗和剩下的 老二分得 200 克朗和剩下的 老三分得 300 克朗和剩下的 以此类推 1 10 1 10 1 10 分给其他的孩子 最后发现 遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等 问父亲有多少个孩子 二 基础知识运用例题 二 基础知识运用例题 例 1 1 若方程是关于 x 的一元二次方程 则 k 是关于 x 的一元一次 1 1 210 k kxx 方程 则 k 2 设 a b c 分别为一元二次方程的二次项系数 一次项系数 常数项 且 请你写出关于 y 的一元二次方程 1 2 1 ab bc ca 归纳与反思 1 1 只含有 只含有 未知数未知数 并且未知数的项的最高次数是并且未知数的项的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程 的整式方程叫一元二次方程 2 2 一元二次方程的一般形式为 一元二次方程的一般形式为 其中其中 a a b b c c 分别叫作二次项系数 一分别叫作二次项系数 一 次项系数 常数项 次项系数 常数项 例 2 解下列方程 1 用直接开平方法 2 用因式分解法 2 9250 x 22 4210 xx 3 用配方法 4 用公式法 0416 2 xx 2 530 xx 归纳与反思 1 1 配方法配方法 在方程的左边加上一次项系数的在方程的左边加上一次项系数的 再减去这个数 使得含未知数的 再减去这个数 使得含未知数的 项在一个完全平方式里 这种方法叫作配方 配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了 项在一个完全平方式里 这种方法叫作配方 配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了 这样解一元二次方程的方法叫做配方法这样解一元二次方程的方法叫做配方法 2 2 解一元二次方程的方法 解一元二次方程的方法 1 1 适用于形如 适用于形如的方程 的方程 2 0 axbc c 2 2 方程右边为零 左边易于分解为两个一次式的乘积 方程右边为零 左边易于分解为两个一次式的乘积 3 3 不常用 一般用于常数项的绝对值较大的方程 不常用 一般用于常数项的绝对值较大的方程 4 4 公式法 公式法 一元二次方程一元二次方程 当 当时求解时求解的公式 的公式 2 0 0 axbxca 2 40bac x 2 40 xbac 例 3 用适当方法解下列方程 1 2 2 3 1 1 5xxxx 2 2 3 3 xx x 3 4 22 31 4 1 xx 2 1 3 1 20 xx 5 6 2 2 55xx 2 1640 xx 归纳与反思 三 能力提高例题 三 能力提高例题 例 4 1 设是一个直角三角形两条直角边的长 且 则这个直角三角形ba 12 1 2222 baba 的斜边长为 2 已知三角形的两边长分别是方程的两根 第三边的长是方程的根 求023 2 xx0352 2 xx 这个三角形的周长 归纳与反思 例 5 阅读下列材料 回答下列问题 材料 解下列方程 设则原方程化为 42 890 xx 2 xy 2 890yy 解得 当时 无意义 1 1y 2 9y 1 1y 2 1x 当时 则所以 所以原方程的解为 2 9y 2 9x 3x 1 3x 2 3x 问题 1 在原方程转化为 的过程中 利用 法达到了降次的目的 2 依照上述方法解方程 222 3 4 3 120 xxxx 归纳与反思 四 知识运用巩固训练 四 知识运用巩固训练 等级等级 1 方程的一般形式是 一次项是 21 32 6xxx 二次项系数是 常数项是 2 关于的方程是一元二次方程 则 x03 3 1 2 xxm m m 3 直接写出下列方程的解 1 2 2 2tt 3 6 0yy 3 4 2 1 0 9 x 31 2 31 xxx 4 若一个等腰三角形的三边长均满足方程 则此三角形的周长为 086 2 xx 5 设实数 x y 满足求的值 22222 4 5 150 xyxy 22 xy 6 解下列方程 1 2 09 12