11.4无理数与实数

课题 11 4 1 无理数的概念 一 教学目标 通过本课的学习 学生将 1 进一步理解有理数的概念 并运用有理数的定义探索 不是有理数 了解无 2 理数的概念 2 用有理数估计一些简单的无理数的大致范围 建立一些具体无理数的感性认 识 3 通过阅读材料了解无理数的历史 证明和我国古代数学对无理数的贡献 4 通过积极参与数学活动 感受探索新数的成就感 二 重点难点 教学重点 是无理数的探索过程 2 教学难点 对化为小数所具有的无限及不循环的特征的认同 2 三 教学过程 活动 1 再认识 2 教师提出问题 我们知道 面积为 2cm2的正方形的边长是cm 这个数到底多大呢 能不 2 能象 那样用一个整数 或者有限小数 分数表示 如果在数 42 25 1 9 轴上表示 大致在哪里呢 请学生合作研究 预计学生的方法包括三种 方法一 画出边长为 1cm 的正方形的对角线 利用圆规标出其在数轴上的 位置 或者通过测量其长度标出近似值 追问前者这段线的长度到底是多少厘米 后者这样得到的值会有误差 不同的人测量得到的结果也会不同 这些结果 可以成为探索的资源 通过平方进行验证 发现的大致范围 2 方法二 计算 两边夹 即不断缩小 的取值范围 得到一个逐步逼近 2 的数列 在数轴上标出其近似位置 2 方法三 直接用计算器计算 并在数轴上标出其近似位置 计算器得到的值与计算器的显示位数有关 经过平方验证发现都不是的2 准确值 引导学生提出不是有理数的猜想 2 对学生的探索进行概括性总结 我们都发现了 大致是 1 414 但是 2 没有一个人找到一个有限的小数恰好就是 而且也没发现小数点后的数字有 2 什么规律 是我们没有找到 还是根本就不循环呢 我们不妨看一下 小数点 2 后 464 位的情况 还是没有看到规律 因此我们就需要有新的想法了 这个数也许根本不能 表示为有限小数或者无限循环小数 我们知道 有限小数和无限循环小数都能够表示为一个分数 反之亦然 例如 3 5 1 3 22 7 因此 我们的问题就变为 是否可以表示为一个分数呢 同学们怎么想 2 给学生思考 探索的空间 学生交流 总结基本思路 得出结论 我们现在确认真的不能表示为分 2 数了 你们在心理接受吗 如果接受了就太了不起了 理性地惊人 接受不了 没关系 因为在数学史上 一些伟大的数学家都不能接受这事 介绍数学史上 的故事 活动活动 2 无理数的概念 无理数的概念 由前面的观察可知 写成小数形式是无限的 而且是不循环的 即是 22 一个无限不循环小数 这个无限不循环小数不能用分数来表示 显然它也不是 整数 不是有理数 它是一个新数 像这样的无限不循环小数还有吗 22 学生回答 小学学过 猜想 猜想 等3 3 5 1 70997594667669698935310887254386010986805511054305492438286170744429592050417321625718701002018900220450328939045401808 3 5 71975766468007853747138938944150323331560314622649791507043419693392331556442948853995290819827739186320965662995758780116286757 87911005283635206166999810212515541832024771483587819065748444698417346420196304129820473489026076823089071731268771514451537574 34397202272299699867792339071355323356262111523568729981215166452229450373980631526464101432808892274954627568942587129748242033 63484172219926324065337546466662004304915440060892721164046962824861310786044175779997779144665348074625079926299584741830468405 39854878815942728235474850297616768551249600431206060947088558794295603647985969216258174812619522140242662834448795597221004780 73610254075252088794986649570349830298220451293043434672199227800821681585419694425061361215004288423122888360992483353310341014 8657854063564166860421259021240265676935127085285396036271030791634803121219860966458337322718645404979432052646 这些无限不循环小数是有限个还是无限个 会比有理数少吗 你能想象它 的数量吗 应该是无限个 如 不会比有理数少 如 a 其中 a 354 2 2 2 2 2 是有理数 非常多 难以想象 如此多的数我们有必要给它们起一个名字 并进一步的研究它们 定义 我们把无限不循环小数叫做无理数 强调无限和不循环两个内涵特征 以及不是有理数 不能写成分数的外延特征 另一种定义 不能表示为整数或 分数 知道了无理数的定义 同学们能不能举出一些无理数的例子 教师根据学生举的例子适当补充 让学生判断 如 开方不尽的和能开出来的 与 有关的数 如 不循环的无限小数 如 较 3 7 9 4 1 3030030003 为复杂的分数 如等 345 111 练习 判断下列说法是否正确 1 有理数都是有限小数 2 无限小数是无理数 3 无理数是无限不循环小数 4 形如 的数都是无理数 3 活动 3 小结 学生总结 教师补充 1 了解了无理数的概念 历史 会识别无理数 2 会用有理数估计一个有理数的大致范围 3 了解无理数 有理数 分数 小数等的关系 如果同学们对无理数有兴趣 可以阅读课后所附阅读材料 也可以在网上查阅 更多资料 更欢迎报周老师和朱老师开的趣味数学课 作业安排 1 基础题 课本 P49 基础 8 9 2 思考题 在数轴上如何确定相对应的点 2 3 拓展题 阅读课后材料 试证明是无理数 3 阅读材料 材料 1 无理数的发现 公元前 500 年 古希腊毕达哥拉斯 Pythagoras 学派的弟子希勃索斯 Hippasus 发现了一个惊人的事实 一个正方形的对角线与其一边的长度是不 可公度的 若正方形边长是 1 则对角线的长不是一个有理数 这一不可公度性与 毕氏学派 万物皆为数 指有理数 的哲理大相径庭 这一发现使该学派领导 人惶恐 恼怒 认为这将动摇他们在学术界的统治地位 希勃索斯因此被囚禁 受到百般折磨 最后竞遭到沉舟身亡的惩处 不可通约的本质是什么 长期以来众说纷坛 得不到正确的解释 两个不 可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数 15 世纪意大利著名画家达 芬奇 称之为 无理的数 17 世纪德国天文学家开普勒称之为 不可名状 的数 同时它导致了第一次数学危机 约在公元前 370 年 柏拉图的学生攸多克萨斯 Eudoxus 约公元前 408 前 355 解决了关于无理数的问题 他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论 微妙地处理了可公度和不可公度 他处理不可公度的办法 被欧几里得 几何 原本 第二卷 比例论 收录 无理数的发现 是数学史上一个重要的发现 希勃索斯为此献出了生命 但数学却因此又前进了一大步 材料 2 中国古代对无理数的研究成果 中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数 九章算术 开方术中指 出了存在有开不尽的情形 若开方不尽者 为不可开 九章算术 的作者们 给这种不尽根数起了一个专门名词 面 面 就是无理数 与古希腊毕 达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比 中国古 代数学家却是相对自然地接受了那些开不尽的无理数 这也许应归功于他们早 就习惯使用的十进位制 这种十进位制使他们能够有效地计算不尽根数的近似 值 为 九章算术 作注的三国时代数学家刘徽就在开方术注中明确提出了用 十进制小数任意逼近不尽根数的方法 他称之为求微数法 并指出在开方过程 中 其一退以十为步 其再退以百为步 退之弥下 其分弥细 则虽有所弃之 数 不足言之也 材料 3 证明不是有理数 2 我们可以采用反证法 因子个数分析法 假设是有理数 于是可以用两个整数