自动控制原理第三章时域分析法ppt课件.ppt

第三章时域分析法 3 1控制系统的时域指标3 2一阶系统的时间响应3 3二阶系统分析3 4控制系统的稳定性和代数判据3 5稳态误差的分析和计算 1 3 1控制系统的时域指标 所谓时域分析法 就是在时间域内研究控制系统性能的方法 它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程 得到系统的时间响应 然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能 2 动态和稳态过程 3 动态过程 过渡过程或瞬态过程 系统在典型信号作用下 系统输出量从初始状态到最终状态的过程 4 稳态过程 系统在典型信号作用下 当时间t趋向无穷时 系统输出量的表现形式 1 典型输入信号 单位阶跃 单位斜坡 单位脉冲 单位加速度 正弦等 2 系统的时间响应 由动态过程和稳态过程两部分组成 与此对应 性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标 3 控制系统的时域性能指标 是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应 单位阶跃响应确定的 通常以h t 表示 实际应用的控制系统 多数具有阻尼振荡的阶跃响应 如图3 1所示 4 B 动态性能指标定义1 5 上升时间tr 调节时间ts 动态性能指标定义2 6 7 一 上升时间tr Risingtime 响应曲线从零首次上升到稳态值h 所需的时间 称为上升时间 对于响应曲线无振荡的系统 tr是响应曲线从稳态值的10 上升到90 所需的时间 延迟时间td Delaytime 响应曲线第一次到达终值一半所需的时间 二 峰值时间tp Timeofpeakvalue 响应曲线超过稳态值h 达到第一个峰值所需的时间 三 调节时间ts在稳态值h 附近取一误差带 通常取 8 响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间 称为调节时间 ts越小 说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短 四 超调量 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比 即 9 超调量表示系统响应过冲的程度 超调量大 不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下 而且使调节时间加长 五 振荡次数N在调节时间以内 响应曲线穿越其稳态值次数的一半 tr tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性 而 和N反映系统动态过程的平稳性 即系统的阻尼程度 其中ts和 是最重要的两个动态性能的指标 10 3 2一阶系统的时间响应 一 一阶系统的数学模型 11 结构图和闭环极点分布图为 T表征系统惯性大小的重要参数 二 一阶系统的单位阶跃响应 12 13 14 特点 1 初始斜率为1 T 2 无超调 3 稳态误差ess 0 性能指标 1 延迟时间 td 0 69T 2 上升时间 tr 2 20T 3 调节时间 ts 3T 0 05 15 曲线 16 例1 一阶系统的结构图如图所示 若kt 0 1 试求系统的调节时间ts 如果要求ts0 1秒 试求反馈系数应取多大 17 解 系统的闭环传递函数 18 一阶系统单位脉冲响应 19 三 一阶系统的单位斜坡响应 20 单位斜坡响应曲线如图所示 引入误差的概念 当时间t趋于无穷时 系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差 即 21 一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差ess t t T T从曲线上可知 一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率 只要在时间上滞后T 这就存在着ess T的稳态误差 一阶系统能跟踪斜坡输入信号 但存在稳态误差 22 上式表明 跟踪误差随时间推移而增大 直至无限大 因此 一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪 一阶系统单位加速度响应 23 表3 1一阶系统对典型输入信号的响应 微分 微分 等价关系 系统对输入信号导数的响应 就等于系统对该输入信号响应的导数 系统对输入信号积分的响应 就等于系统对该输入信号响应的积分 积分常数由零初始条件确定 24 典型二阶系统的结构图如图3 5所示 系统的闭环传递函数为其中K为系统的开环放大系数 T为时间常数 3 3二阶系统分析由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统 在控制工程实践中 二阶系统应用极为广泛 此外 许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究 因此 详细讨论和分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义 3 5 25 与式 3 5 相对应的微分方程为可见 该系统是一个二阶系统 为了分析方便 将系统的传递函数改写成如下形式式中 称为无阻尼自然振荡角频率 简称为无阻尼自振频率 称为阻尼系数 或阻尼比 3 6 26 闭环特征方程为 其特征根即为闭环传递函数的极点为1 当0 1时 此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性 称为欠阻尼状态 如图a 27 28 2 当 1时 特征方程具有两个相等的负实根 称为临界阻尼状态 如图b 3 当 1时 特征方程具有两个不相等的负实根 称为过阻尼状态 如图c 4 当 0时 系统有一对共轭纯虚根 系统单位阶跃响应作等幅振荡 称为无阻尼或零阻尼状态 如图d 下面 分过阻尼 包括临界阻尼 和欠阻尼 包括零阻尼 两种情况 来研究二阶系统的单位阶跃响应 29 二 二阶系统的单位阶跃响应1 欠阻尼情况当0 1 二阶系统的闭环特征根为Wn无阻尼振荡频率或固有频率 也叫自然振荡频率 30 当系统输入为单位阶跃信号时 系统的输出量为 31 曲线 32 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的 衰减速度取决于特征值实部 wn的大小 而衰减振荡的频率 取决于特征根虚部wd的大小 角的定义 33 34 越小 超调量越大 平稳性越差 调节时间ts长 过大时 系统响应迟钝 调节时间ts也长 快速性差 0 7 调节时间最短 快速性最好 而超调量 5 平稳性也好 故称 0 7为最佳阻尼比 35 注 系统对于超调量的要求 对一般系统 总希望超调量较小 但常常希望系统有一点超调 以增加系统的快速性 例如 在电动机调速系统中 电动机速度有一点超调是容许的 这时电动机速度跟踪特性较好 对不可逆系统 系统不能出现超调 例如 在水泥搅拌控制系统中 含水量不能过量 因为控制系统只能加水 而不能排水 机床刀架系统 36 上图绘出了不同 值下 二阶系统的单位阶跃响应曲线 直观地看 越大 超调量 越小 响应的振荡性越弱 平稳性越好 反之 越小 振荡性越强 平稳性越差 当 0时 系统的零阻尼响应为 等幅振荡曲线 振荡频率为wn wn称为无阻尼振荡频率 另外 若 过大 如 系统响应迟缓 调节时间ts长 快速性差 若 过小 虽然响应的起始速度较快 tr和tp小 但振荡强烈 响应曲线衰减缓慢 调节时间ts亦长 37 下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标 1 上升时间tr由定义知 tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间 所以应取n 1 38 当wn一定时 越小 tr越小 当 一定时 wn越大 tr越小 2 峰值时间tp 39 对 式两边求导 并令其 0 得 代入得 40 41 tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n 1 于是当wn一定时 越小 tp越小 当 一定时 wn越大 tp越小 3 超调量 42 所以超调量是阻尼比 的函数 与无阻尼振荡频率wn的大小无关 43 与 的关系曲线 44 增大 减小 通常为了获得良好的平稳性和快速性 阻尼比 取在0 4 0 8之间 相应的超调量25 2 5 4 调节时间ts根据定义 不易求出ts 但可得出wnts与 的关系曲线 45 46 调节时间不连续的示意图 值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化 47 当 0 68 5 误差带 或 0 76 2 误差带 调节时间ts最短 所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的 曲线的不连续性 是由于 值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的 近似计算时 常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts 当 0 8时 常把这一项去掉 写成即 48 在设计系统时 通常由要求的最大超调量决定 而调节时间则由无阻尼振荡频率wn来决定 可近似表示为 两边取对数 得 49 5 振荡次数NN的定义 在调节时间内 响应曲线穿越其稳态值次数的一半 Td为阻尼振荡的周期 50 2 过阻尼情况 当 1时 二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根 这时闭环传递函数可写为 51 式中 过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联 当系统的输入信号为单位阶跃函数时 52 则系统的输出量为拉氏反变换得 53 响应曲线如图 起始速度小 然后上升速度逐渐加大 到达某一值后又减小 响应曲线不同于一阶系统 过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts 根据公式求ts的表达式很困难 一般用计算机计算出的曲线确定ts 54 过阻尼二阶系统调节时间特性 55 从曲线可以看出 当 临界阻尼 时 当 时 当 时 由此可见 当时 二阶系统可近似等效为一阶系统 调节时间可用3T1来估算 当时 临界阻尼二阶系统 则则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为过阻尼二阶系统的响应较缓慢 实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统 56 例1 已知单位反馈系统的传递函数为设系统的输入量为单位阶跃函数 试计算放大器增益KA 200时 系统输出响应的动态性能指标 当KA增大到1500时或减小到KA 13 5 这时系统的动态性能指标如何 57 解 系统的闭环传递函数为 58 则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式 可以求得 59 由此可见 KA越大 越小 wn越大 tp越小 越大 而调节时间ts无多大变化 系统工作在过阻尼状态 峰值时间 超调量和振荡次数不存在 而调节时间可将二阶系统近似 60 为大时间常数T的一阶系统来估计 即 调节时间比前两种KA大得多 虽然响应无超调 但过渡过程缓慢 曲线如下 61 KA增大 tp减小 tr减小 可以提高响应的快速性 但超调量也随之增加 仅靠调节放大器的增益 即比例调节 难以兼顾系统的快速性和平稳性 为了改善系统的动态性能 可采用比例 微分控制或速度反馈控制 即对系统加入校正环节 62 例2 下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统 系统输出量同时受偏差信号和偏差信号微分的双重控制 试分析比例微分校正对系统性能的影响 63 系统开环传递函数 闭环传递函数 等效阻尼比 64 增大了系统的阻尼比 可以使系统动态过程的超调量下降 调节时间缩短 然而开环增益k保持不变 它的引入并不影响系统的稳态精度 同时也不改变系统的无阻尼振荡频率wn 而且 比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s 1 Td 前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用 由于稳态误差与开环增益成反比 因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td 即可减小稳态误差 又可获得良好的动态性能 65 例3 图 是采用了速度反馈控制的二阶系统 试分析速度反馈校正对系统性能的影响 解 系统的开环传递函数为 66 式中kt为速度反馈系数 为系统的开环增益 不引入速度反馈开环增益 k有所减小 增大了稳态误差 因此降低了系统的精度 67 闭环传递函数显然 所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比 而不改变无阻尼振荡频率wn 因此 速度反馈可以改善系统的动态性能 等效阻尼比 68 在应用速度反馈校正时 应适当增大原系统的开环增益 以补偿速度反馈引起的开环增益减小 同时适当选择速度反馈系数kt 使阻尼比 t增至适当数值 以减小系统的超调量 提高系统的响应速度 使系统满足各项性能指标的要求 69 高阶系统的暂态性能近似分析 高阶系统的闭环传递函数一般表示为 设系统闭环极点均为单极点 实际系统大都如此 单位阶跃响应的拉氏变换式为 70 对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为 闭环极点离虚轴越远 表达式中对应的暂态分量衰减越快 在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕 因此对上升时间 超调量影响不大 反之 那些离虚轴近的极点 对应分量衰减缓慢 系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量 因此 一般可将相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略不计 而保留那些离虚轴较近的极点所引起的分量 71 例 72 例 73 例 74 结论 1 若某极点远离虚轴与其它零 极点 则该极点对应的响应分量较小 2 若某极点邻近有一个零点 则可忽略该极点引起的暂态分量 忽略上述两类极点所引起的暂态分量后 一般剩下为数不多的几个极点所对应的暂态分量 这些分量对系统的动态特性将起主导作用 这些极点通常称为主导极点 75 3 4控制系统的稳定性和代数判据 一 稳定性的定义如小球平衡位置b点 受外界扰动作用 从b点到点 外力作用去掉后 小球围绕b点作几次反复振荡 最后又回到b点 这时小球的运动是稳定的 76 如小球的位置在a或c点 在微小扰动下 一旦偏离平衡位置 则无论怎样 小球再也回不到原来位置 则是不稳定的 定义 若系统在初始偏差作用下 其过渡过程随时间的推移 逐渐衰减并趋于零 具有恢复平衡状态的性能 则称该系统为渐近稳定 简称稳定 反之为不稳定 我们把扰动消失时 系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数 而与外作用及初始条件无关 是系统的固有特性 77 二 稳定的充要条件设系统的闭环传递函数为 78 由于系统的初始条件为零 当输入一个理想的单位脉冲 t 时 则系统的输出便是单位脉冲过渡函数k t 如果 则系统稳定 若是线性系统特征方程的根 且互不相等 则上式可分解为 79 式中则通过拉式变换 求出系统的单位脉冲过渡函数为欲满足 则必须各个分量都趋于零 式中为常数 即只有当系统的全部特征根都具有负实部才满足 80 稳定的充要条件是 系统特征方程的全部根都具有负实部 或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的虚轴之左 特征方程有重根时 上述充要条件完全适用 81 82 83 三 劳思稳定判据不必求解特征方程的根 而是直接根据特征方程的系数 判断系统的稳定性 回避求解高次方程的困难 1 系统稳定的必要条件 特征方程中所有项的系数均大于0 只要有一项等于或小于0 则为不稳定系统 充分条件 Routh表第一列元素均大于0 84 2 Routh表的列写方法特征方程为则Routh表为 在下页中 85 86 则系统稳定的充要条件 劳思表中第一列元素全部大于0 若出现小于0的元素 则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数 例 87 则系统不稳定 且有两个正实部根 即有2个根在S的右半平面 一次方程 a1 a0同号则系统稳定 二次方程 a1 a2 a0同号则系统稳定 三次方程 a0 a1 a2 a3均大于0 且a1a2 a3a0 则系统稳定 88 3 两种特殊情况情况1 劳思表中某一行的第一个元素为0 其它各元素不全为0 这时可以用任意小的正数 代替某一行第一个为0的元素 然后继续劳思表计算并判断 例 89 当 很小时 则系统不稳定 并有两个正实部根 情况2 劳思表中第k行元素全为0 这说明系统的特征根或存在两个符号相异 绝对值相同的实根 或存在一对共轭纯虚根 或存在实部符号相异 虚部数值相同的共轭复根 或上述类型的根兼而有之 90 此时系统必然是不稳定的 在这种情况下 可作如下处理 1 用k 1行元素构成辅助方程 2 将辅助方程为s求导 其系数作为全零行的元素 继续完成劳思表 例 系统的特征方程为 91 列劳思表 列辅助方程 92 第一列符号改变一次 有一个正实部根 系统不稳定 93 解辅助方程得 解得符号相异 绝对值相同的两个实根和一对纯虚根可见其中有一个正实根 94 4 劳思判据的推广及应用 1 劳思表不但可判断系统的稳定性 而且能判断特征根的位置分布情况 2 可以选择使系统稳定的调节器参数的数值 例 95 闭环传递函数 96 则特征方程整理得 必要条件 充分条件 97 则系统才是稳定的 求得k的取值范围 3 确定使系统稳定的特征参数的取值区间 例 已知系统的特征为 试判断使系统稳定的k值范围 如果要求特征值均位于s 1垂线之左 问k值应如何调整 98 解 特征方程化为 列劳思表 99 所以使系统稳定的k值范围是若要求全部特征根在s 1之左 则虚轴向左平移一个单位 令s s1 1代入原特征方程 得 整理得 100 列劳思表 第一列元素均大于0 则得 101 3 6线性定常系统的稳定误差计算 3 6 1误差与稳态误差 3 6 2系统类型 3 6 3静态误差系数 3 6 5扰动作用下的稳态误差 3 6 4动态误差系数 102 前提 系统稳定 稳态性能 控制系统的性能 动态性能 无差系统 在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统称之无差系统 有差系统 在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统称之有差系统 103 3 6 1误差与稳态误差 第一种定义 误差在实际系统中是可以量测的 第二种定义 输出的真值有时很难得到 误差往往难以测量 误差的两种定义 104 误差传递函数 误差 105 上式表明 系统的稳态误差 不仅与开环传递函数G s H s 的结构有关 还与输入R s 形式密切相关 终值定理 求稳态误差 公式条件 sE S 的极点均位于S左半平面 包括坐标原点 问 R t sin t时 能否用终值定理求ess 106 对于一个给定的稳定系统 当输入信号形式一定时 系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构 因此 按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的 107 3 6 2系统类型 开环传递函数 108 系统稳态误差计算通式则可表示为 为便于讨论 令 109 因为实际输入多为阶跃函数 斜坡函数和加速度函数或者其组合 因此分别讨论 110 3 6 3各种输入作用下的稳态误差与静态误差系数 一 阶跃输入 令 G s H s G s 111 G s 如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差 则必须选用 型及 型以上的系统 习惯上 阶跃输入作用下的稳态误差称为静差 112 令 二 斜坡输入 113 指系统在速度 斜坡 输入作用下 系统的稳态输出与输入之间存在的误差 称为静态速度误差系数 R0 114 型及 型以上系统 稳态时能准确跟踪斜坡输入信号 不存在位置误差 0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入 型系统能跟踪斜坡输入 但存在一个稳态位置误差 R0 115 三 加速度输入 116 117 H s G s 称为静态速度误差系数 118 119 120 如果系统的输入信号是多种典型函数的线性组合 如 根据线性叠加的原理 可将每一种输入分量单独作用于系统 再将各误差分量叠加起来 这时至少应选 型系统否则稳态误差将无穷大 121 例3 10一单位反馈控制系统 若要求 跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2 设该系统为三阶 其中一对复数闭环极点为 求满足上述要求的开环传递函数 解 根据 和 的要求 可知系统是 型三阶系统 因而令其开环传递函数为 而 122 所求开环传递函数为 相应闭环传递函数 123 同一系统在不同形式的输入信号的作用下具有不同的稳态误差 例3 13具有测速发电机内反馈的位置随动系统 求r t 分别为1 t t t2 2时 系统的稳态误差 并对系统在不同输入形式下具有不同稳态误差的现象进行物理说明 124 系统的开环传递函数 其静态误差系数 型系统 r t 分别为1 t t t2 2时 系统的稳态误差为0 1 125 3 6 4 动态误差系数 用终值定理计算稳态误差 终值误差 时 对输入信号有限制 虚轴及右半S平面解析 无奇异点 稳态误差系数计算稳态误差不能反映稳态误差随时间变化的规律 动态误差系数法可研究输入信号为任意时间函数时的稳态误差变化 126 用级数展开法求动态误差系数的计算量较大 可将误差传递函数的分母多项式和分子多项式按升幂排列 做长除计算可得动态误差系数 127 3 6 5 扰动作用下的稳态误差 扰动稳态误差的大小反映了系统抗干扰能力的强弱 以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差 事实上 控制系统除了受到参考输入的作用外 还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响 例如负载力矩的变化 放大器的零点漂移 电网电压波动和环境温度的变化等 这些都会引起稳态误差 扰动稳态误差 128 但是 由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置 因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下 其稳态误差为零 而在同一形式的扰动作用下 系统的稳态误差未必为零 因此 就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系 对于扰动稳态误差的计算 可以采用上述对参考输入的方法 扰动稳态误差的计算 129 扰动稳态误差的计算 130 输出对扰动的传递函数 扰动输入时的输出 系统的理想输出为零 故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为 131 根据终值定理 系统在扰动作用下的稳态误差为 132 设 133 下面讨论 时系统的扰动稳态误差 1 0型系统 当扰动为一阶跃信号 即 134 2 I型系统 对参考输入 都是I型系统 产生的稳态误差也完全相同 但抗扰动的能力是完全不同 1 135 136 阶跃信号 斜坡信号 2 加速度信号 137 扰动稳态误差只与作用点前的G1 s 有关 G1 s 中的 1 1时 相应系统的阶跃扰动稳态误差为零 斜坡稳态误差只与G1 s 中的增益K1成反比 至于扰动作用点后的G2 s 其增益K2的大小和是否有积分环节 它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没有什么作用 结论 138 3 II型系统 三种可能的组合 结论 第一种组合的系统具有II型系统的功能 即对于阶跃和斜坡扰动引起的稳态误差均为零 第二种组合的系统具有I型系统的功能 即由阶跃扰动引起的稳态误差为