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赵州石拱桥 1300多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 2m 求桥拱的半径 精确到0 1m 1 垂直于弦的直径 垂径定理 2 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 圆是轴对称图形 判断 任意一条直径都是圆的对称轴 X 任何一条直径所在的直线都是对称轴 3 如图 AB是 O的一条弦 做直径CD 使CD AB 垂足为E 1 这个图形是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 思考 1 是轴对称图形 直径CD所在的直线是它的对称轴 2 线段 AE BE 4 总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦对的两条弧 5 应用垂径定理的书写步骤 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 CD AB CD是直径 AM BM 6 引申定理 定理中的径可以是直径 半径 弦心距等过圆心的直线或线段 从而得到垂径定理的变式 一条直线具有 平分弦 经过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣 优 弧 7 E O A B D C E A B C D E O A B D C E O A B C E O C D A B 练习1 O B A E D 在下列图形 符合垂径定理的条件吗 O 8 垂径定理的几个基本图形 9 判断下列图形 能否使用垂径定理 注意 定理中的两个条件 直径 垂直于弦 缺一不可 10 A B C D E A B D C AC BC AD BD CD AB CD AB AE BE 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 不是直径 垂径定理的推论1 CD AB吗 E 11 知二推三 1 垂直于弦 2 过圆心 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧注意 当具备了 1 3 时 应对另一条弦增加 不是直径 的限制 12 你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的 垂径定理的推论 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 CD是直径 AM BM CD AB 13 垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 14 一 判断是非 1 平分弦的直径 平分这条弦所对的弧 2 平分弦的直线 必定过圆心 3 一条直线平分弦 这条弦不是直径 那么这条直线垂直这条弦 15 4 弦的垂直平分线一定是圆的直径 5 平分弧的直线 平分这条弧所对的弦 6 弦垂直于直径 这条直径就被弦平分 7 平分弦的直径垂直于弦 16 弦心距 过一个圆的圆心作弦的垂线 圆心与垂足之间的距离叫做弦心距 如图 圆O中 AB是圆O中的一条弦 其中OC AB圆心到弦的距离用d表示 半径用r表示 弦长用a表示 则d r a之间满足什么样的关系呢 17 8cm 1 半径为4cm的 O中 弦AB 4cm 那么圆心O到弦AB的距离是 2 O的直径为10cm 圆心O到弦AB的距离为3cm 则弦AB的长是 3 半径为2cm的圆中 过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 练习1 垂径定理的应用 18 1 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心到AB的距离为3cm 则 O的半径为 练习2 A B O C 5cm 3 4 2 弓形的弦长AB为24cm 弓形的高CD为8cm 则这弓形所在圆的半径为 13cm 1 题 2 题 12 8 19 方法归纳 解决有关弦的问题时 经常连接半径 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线 为应用垂径定理创造条件 垂径定理经常和勾股定理结合使用 20 3 如图 P为 O的弦BA延长线上一点 PA AB 2 PO 5 求 O的半径 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦心距 这是一条非常重要的辅助线 弦心距 半径 半弦长构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 21 解 如图 设半径为R 在 t AOD中 由勾股定理 得 解得R 27 9 m 答 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m 赵州桥主桥拱的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 AB 37 4 CD 7 2 R 18 7 R 7 2 再逛赵州石拱桥 22 1 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 练习 解 答 O的半径为5cm 活动三 在Rt AOE中 23 图中两圆为同心圆 变式3 隐去 变式1 中的大圆 得右图连接OA OB 设OA OB AC BD有什么关系 为什么 变式4 隐去 变式1 中的大圆 得右图 连接OC OD 设OC OD AC BD有什么关系 为什么 变式1 AC与BD有什么关系 变式2 AC BD依然成立吗 24 2 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 OE ACOD AB 25 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 图 课堂练习 26 已知P为 O内一点 且OP 2cm 如果 O的半径是3cm 那么过P点的最短的弦等于 27 小结 圆的轴对称性 垂径定理及其推论的图式 28 E 小结 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 E A C D B O A B O 29 别忘记还有我哟 1 教材88页习题24 1第8题 2 教辅书48 51页 作业 30 1 过 o内一点M的最长的弦长为10 最短弦长为8 那么 o的半径是 2 已知 o的弦AB 6 直径CD 10 且AB CD

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