数学建模短学期(6).doc

数学建模短学期作业61 设一容积为（单位：）的大湖受到某种化学废料的污染，污染物均匀地分布在湖中。若某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是（单位是：天）。试建立求污染物的浓度下降至原来的5%所需时间的数学模型。美国密西根湖的容积为4871（），湖水的流量为3.663959132（/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来湖水污染浓度的3%所需要的时间。解：设：大湖的原来污染物浓度为a经过1天更新大湖的污染浓度为：b=（V-r）*a/V经过2天更新大湖的污染浓度为：c=（V-r）*b/V=（V-r）2*a/V2 n天更新大湖的污染浓度为：5%a=（V-r）n*a/Vn计算得出n=465D毕2肿瘤大小生长的速率与的次方成正比，其中为形状参数，01；而其比例系数随时间减小，减小速率又与当时的值成正比，比例系数为环境参数。设某肿瘤参数1，0.1，的初始值为2，的初始值为1，问（1）此肿瘤生长不会超过多大？（2）过多长时间肿瘤大小翻一倍？（3）何时肿瘤生长速率由递增转为递减？（4）若参数2/3呢？解：数学模型V(t+t)-V(t)=K(t)*V(t)a*tK(t)-K(t+t)= K(t)*b*tdV/dt=K*VadK/dt=-1*b*Kcode：function dy = myfun(t,y)dy = zeros(2,1); a=1;b=0.1;dy(1)=y(2)*(y(1)a;dy(2)=-1*b*y(2);endclear;clc;T,Y = ode45(myfun,0:0.1:12,1 2); （1） 当令t从0-1000时：我们可以看到，这个肿瘤不会超过4.8567*108（2） t从0:0.01:2时、我们可以看到，当时间大概为0.36天的时候，肿瘤大小翻一倍(3)令t从0:0.1:100求V导数的图像：Matlab代码如下：clear;clc;T,Y = ode45(myfun,0:1:100,1 2); a=diff(Y(:,1)./diff(T);T(100)=;plot(T,a);我可们以看到，大约在第29天时，肿瘤生长速率由递增转为递减。对V求二阶导clear;clc;T,Y = ode45(myfun,0:1:100,1 2); a1=diff(Y(:,1)./diff(T);T(100)=;a2=diff(a1)./diff(T);T(99)=;plot(T,a2);图像为将图像放大可以看到具体是在29.011处肿瘤生长速率由递增转为递减（4）若参数2/3肿瘤最大生长到450.796左右。第0.40天后肿瘤大小翻倍具体是在8.6395处肿瘤生长速率由递增转为递减毕3第一次世界大战中，因为战争很少捕杀鲨鱼，按理战后应能捕到很多的鲨鱼才是。可是世界大战后，在地中海却捕不到鲨鱼，因而渔民们大惑不解。令为鱼饵的数量，是鲨鱼的数量，为时间。微分方程为（）（）式中、都是正常数。第一式中鱼饵的增长速度大体上与成正比，即按速率增加，而被鲨鱼吃掉的部分按的速率减少；第二式中鲨鱼的增长速度由于生存竞争的自然死亡互相咬食按的速率减少，但又根据鱼饵的量的变化按的速率增加。对3，2，2.5，1，1求解。画出解的曲线图观察鲨鱼和鱼饵数量的变化。解：（3）（2.5）1 用matlab求解：建立m文件输入function dx=yu(t,x)dx=zeros(2,1);a1=3;b1=2;a2=2.5;b2=1;dx(1)=x(1)*(a1-b1*x(2);dx(2)=-x(2)*(a2-b2*x(1);end在窗口输入：t,x=ode45(yu,0 20,1 1); plot(t,x(:,1).*) hold on plot(t,x(:,2),-)得到图形毕4、 用具有放射性的测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生。植物吸收二氧化碳时吸收了，动物食用植物从植物中得到。在活组织中的吸收速率恰好与的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收，于是的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在的衰变速率，由于的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建立用测古生物年代的模型（的半衰期为5568年）。解：如果用N(t)表示时间t时存在的原子数，用表示单位时间内蜕变成其他物质的原子数，则有常数是正的，称为该物质的衰变常数。越大，物质蜕变得越快，其量纲是时间的倒数。衡量物质蜕变速度的一个常用尺度是它的半衰期，即给定数量的放射性原子蜕变一半所需要的时间。为了求得半衰期T，假设N(t0)=N0，于是，得到初值问题因此，如果用N(t)表示时间t时存在的原子数，用表示单位时间内蜕变成其他物质的原子数，则有常数是正的，称为该物质的衰变常数。越大，物质蜕变得越快，其量纲是时间的倒数。衡量物质蜕变速度的一个常用尺度是它的半衰期，即给定数量的放射性原子蜕变一半所需要的时间。为了求得半衰期T，假设N(t0)=N0，于是，得到初值问题其解为如果令，则有 碳14的半衰期为5568年，所以=ln2/5568=1.24510-4得出模型：N(t)=N0exp-1.24510-4(t-t0)毕5、 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950年从法国Lascaux古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（），而活树木样本测得的计数为6.68计数（），试确定该洞中绘画的年代；解：代入模型：T=t-t0=15498.6（年）（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（），活数标本为6.68计数（），试估计该建筑的年代。代入模型：T=t-t0=3940.3（年）毕6、 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下：由受试者吸入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处的放射性记数率（简称记数率）同时测量他呼出气的记数率。由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与当时呼出的记数率成正比。若某受试者的测试数据如下：时间（分）1.001.251.501.752.002.252.502.753.00头部记数率1534152814681378127211621052947848呼出气记率223115341054724498342235162111时间（分）3.253.503.754.004.254.504.755.005.25头部记数率757674599531471417369326288呼出记数率765236251712864时间（分）5.505.756.006.256.256.757.007.257.50头部记数率25525519917515513712110794呼出气记率321111111时间（分）7.758.008.258.258.759.009.259.509.75头部记数率837365575050393531呼出气记率000000000试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。解：符号设定：符号表示意义时间脑部记数率上升的速率与呼出气记数率的比例系数 脑部记数率下降的速率与当时该处脑部记数率的比例系数，即脑血流量系数脑部记数率呼出气记数率脑部记数率的增量脑部记数率的减量设某时刻时，脑部记数率为，在时刻后记数率为，由题设及基本假设1和2可知，脑部记数率的增量只与下面两个因素有关：动脉血从肺部输送放射性同位素至大脑引起脑部记数率的增量为；脑血流将放射性同位素带离使得脑部记数率的减量为。综上，由医学实验可得：又 所以有：即 分析式(1)，要确定脑血流系数的模型，必须分析和的实验数据，观察其变化趋势。首先用Matlab绘出和的散点图并观察其变化趋势画出时间与头部记数率的散点图：Code:x=1:0.25:9.75y1=1534 1528 1468 1378 1272 1162 1052 947 848 757 674 599 531 471 417 369 326 288 255 255 199 175 155 137 121 107 94 83 73 65 57 50 50 39 35 31plot(x,y1)A时间与呼出气记率散点图：Code：x=1:0.25:9.75y=2231 1534 1054 724 498 342 235 162 111 76 52 36 25 17 12 8 6 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0plot(x,y)B观察B图大概符合e指数函数，用matlab拟合工具箱进行拟合：所以a=1000 b=-0.15 得拟合曲线：比较完美可建立初值方程： 解此微分方程得到 估算N（t）仍然使用matlab拟合工具箱：得N（t）=3907*exp（-0.4944t）-3975*exp（-1.543t）曲线基本拟合7、海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c海里处有一艘走私船正以速度a向正北方向行驶，缉私艇立即以最大速度b(a)前往拦截。如果用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船。 建立任意时刻缉私艇位置及 航线的数学模型,并求解; 求出缉私艇追上走私船的时间。设船速a=20 (海里/小时)，艇速b=40 (海里/小时)，距离c=15 (海里)。 解：建立如图直角坐标系，在t=0时刻，缉私艇的位置在（0,0），走私船的位置在（c,0） Q P 。 C在任意时刻t，缉私艇位于点P（x,y）,而走私船到达Q（c,at），直线PQ与缉私艇航线相切，夹角为。缉私船在x,y方向的速度分别为dx/dt=b*cos,dy/dt=b*sin。由已知，a=20，b=40，c=15.有直角三角形关系，可得tan=(at-y)/(c-x)得微分方程:dx/dt=b*(c-x)sqrt(c-x)2+(a*t-y)2)dy/dt=b*(a*t-y)/sqrt(c-x)2+(a*t-y)2)初始条件x(0)=0,y(0)=0所以functiondx=chuan(t,x)dx=zeros(2,1);a=20;b=40;c=15;dx(1)=b*(c-x(1)sqrt(c-x(1)2+(a*t-x(2)2)dx(2)=b*(a*t-x(2)sq rt(c-x(1)2+(a*t-x(2)2);end在窗口下输入：T,X=ode45(chuan,0 1,00);plot(T,X(:,1),-)解得t=0.5小时毕8、某保险公司推出与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁，则在他生存期间，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴。另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元 。试建立差分方程模型分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？而寿命若为74岁时，实际年利率又是多少？解答:年龄t4045505560657075终交x1154015401540154015400000还x204000500060007000800090001000020000年利率=（得到的补贴-总交费）/（时间*总交费）记Xn为投保人第n年末的投保额与利息之和，x1为第一年末所交保额与利息之和，即岁时所交的保险费与利息之和，r为年利率，为岁前每年所交的保险金额，则依题意可以得到下列递推公式，即差分方程形式为：X1 =RXn+1=Xn*(1+r)+R n=1,2,3X5 =X4*(1+r)-4000+RXn+1=Xn*(1+r)+r n=5,6,7,8X10 =X9*(1+r)-5000+RXn+1=Xn*(1+r)+R n=10,11,12,13X15 =X14*(1+r)-6000+RXn+1=Xn*(1+r)+R n=15,16,17,18X20 =X19*(1+r)-7000+R Xn+1=Xn*(1+r)+R n=20，2，22，23X25 =X24*(1+r)-8000Xn+1=Xn*(1+r)+R n=25，26，27，28X30 =X29*(1+r)-9000 Xn+1=Xn*(1+r)+R n=30，31，32，33X35 =X34*(1+r)-100001、X35为投保人在75岁时的投保额与利息之和， X36为投保人在75岁时的投保额与利息之和，从而由题意可得到X36与X35的关系如下：X36=X35(1+r)-20000再利用上述模型中的递推公式可得X36与R的关系为：X36=R(1+r).36-(1+r).16)/r-4000(1+r).31-5000(1+r).26 -6000(1+r).21-7000(1+r).16-8000(1+r).11-9000(1+r).6-10000(1+r)-20000又由题设条件可知X36=0,则有R(1+r).36-(1+r).16)/r-4000*(1+r).31-5000*(1+r).26-6000*(1+r).21-7000*(1+r).16-8000*(1+r).11-9000*(1+r).6-10000*(1+r)-20000=0令1+r=x，并代入R的值，上述方程为：1540*(x.36-x.16)/r-4000*x.31-5000*x.26-6000*x.21-7000*x.16-8000*x.11-9000*x.6-10000*x-20000=0利用Matlab作图功能，画出上述函数的图像，如下所示：其中上述图形的画图命令如下：先作一个名为fun1.m文件：function y1=fun1（x）y1=1540*(x.36-x.16)/r-4000*x.31-5000*x.26-6000*x.21-7000*x.16-8000*x.11-9000*x.6-10000*x-20000=0再使用下述命令画出图像：x=0:0.2:2;plot(x,fun1(x),r)hold onplot(x,zeros(size(x)hold offgrid接着使用牛顿迭代法求出方程的根，使用的程序如下：function y,k=newton1(x0,n,derta)k=1;y(1)=x0;t=x0-fun0(x0)./dfun0(x0);while abs(t-x0)=dertax0=t;k=k+1;y(k)=t;t=x0-fun0(x0)./dfun0(x0)if (k-1)n error(n is full),endendk=k-1;其中输入变量为初始值x0，允许迭代次数n ，及精度derta，输出次数k和迭代值数组y1（最后一个值为近似根），程序中调用的函数fun0和dfun0分别是f(x)的函数和导函数。经分析知方程的根为： x=1.0026即实际年利率r=0.00262、 当投保人74岁时，他每年交保险费1540元，投保每满5年，就可获相关数目的返还补贴，而且，当投保人去世或残疾时，其受益人可获20000元的保险金，根据上面的题的假设条件可知，X34为投保人在74岁时的投保额与利息之和，从而由上述模型中的递推公式可得X34与R的关系： X34=R(1+r).34-(1+r).14/r-4000(1+r).29-5000(1+r).24-6000(1+