北师大版初中九下14船有触礁危险吗教案

课 题1 41 4 船有触礁的危险吗船有触礁的危险吗课型新授课 教学目标 1 经历探索船是否有触礁危险的过程 进一步体会三角函数在解决问题过程 中的应用 2 能够把实际问题转化为数学问题 能够借助于计算器进行有关三角函数的 计算 并能对结果的意义进行说明 教学重点 1 经历探索船是否有触礁危险的过程 进一步体会三角函数在解决问题过程 中的作用 2 发展学生数学应用意识和解决问题的能力 教学难点根据题意 了解有关术语 准确地画出示意图 教学方法自主探索法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程备注 一 创设问题情境 引入新课 问题 直角三角形就像一个万花筒 为我们展现出了一个色彩斑澜的世界 我 们在欣赏了它神秘的 勾股 知道了它的边的关系后 接着又为我们展现了在它 的世界中的边角关系 它使我们现实生活中不可能实现的问题 都可迎刃而解 它 在航海 工程等测量问题中有着广泛应用 例如测旗杆的高度 树的高度 塔高 等 下面我们就来看一个问题 多媒体演示 海中有一个小岛 A 该岛四周 10 海里内有暗礁 今有货轮由西向东航行 开始在 A 岛南偏西 55 的 B 处 往东行驶 20 海里后 到达该岛的南偏西 25 的 C 处 之 后 货轮继续往东航行 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是如 何想的 与同伴进行交流 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题 二 二 讲授新课 我们注意到题中有很多方位 在平面图形中 方位是如何规定的 答 应该是 上北下南 左西右东 请同学们根据题意在练习本上画出示意图 然后说明你是怎样画出来的 答 首先我们可将小岛 A 确定 货轮 B 在小岛 A 的南偏西 55 的 B 处 C 在 B 的正东方 且在 A 南偏东 25 处 示意图如下 货轮要向正东方向继续行驶 有没有触礁的危险 由谁来决定 答 根据题意 小岛四周 10 海里内有暗礁 那么货轮继续向东航行的方向 如果到 A 的最短距离大于 10 海里 则无触礁的危险 如果小于 10 海里则有触礁 的危险 A 到 BC 所在直线的最短距离为过 A 作 AD BC D 为垂足 即 AD 的长度 我 们需根据题意 计算出 AD 的长度 然后与 10 海里比较 这位同学分析得很好 能将实际问题清晰条理地转化成数学问题 下面我们就 来看 AD 如何求 根据题意 有哪些已知条件呢 答 已知 BC 20 海里 BAD 55 CAD 25 在示意图中 有两个直角三角形 Rt ABD 和 Rt ACD 你能在哪一个三角形中 求出 AD 呢 答 在 Rt ACD 中 只知道 CAD 25 不能求 AD 在 Rt ABD 中 知道 BAD 55 虽然知道 BC 20 海里 但它不是 Rt ABD 的边 也不能求出 AD 那该如何是好 是不是可以将它们结合起来 站在一个更高的角度考虑 答 我发现这两个三角形有联系 AD 是它们的公共直角边 而且 BC 是这两个 直角三角形 BD 与 CD 的差 即 BC BD CD BD CD 的对角是已知的 BD CD 和边 AD 都有联系 有何联系呢 在 Rt ABD 中 tan55 BD ADtan55 在 Rt ACD 中 tan25 AD BD CD ADtan25 AD CD 利用 BC BD CD 就可以列出关于 AD 的一元一次方程 即 ADtan55 ADtan25 20 总结 太棒了 没想到方程在这个地方帮了我们的忙 其实 在解决数学问题 时 很多地方都可以用到方程 因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思 想之 下面我们一起完整地将这个题做完 多媒体展示 解 过 A 作 BC 的垂线 交 BC 于点 D 得到 Rt ABD 和 Rt ACD 从而 BD AD tan55 CD ADtan25 由 BD CD BC 又 BC 20 海里 得 ADtan55 ADtan25 20 AD tan55 tan25 20 AD 20 79 海里 25tan55tan 20 这样 AD 20 79 海里 10 海里 所以货轮没有触礁的危险 接下来 我们再来研究一个问题 还记得本章开头小明要测塔的高度吗 现在 我们来看他是怎样测的 并根据他得到的数据帮他求出塔的高度 多媒体演示想一想你会更聪明 如图 小明想测量塔 CD 的高度 他在 A 处仰望塔顶 测得仰角为 30 再往 塔的方向前进 50m 至 B 处 测得仰角为 60 那么该塔有多高 小明的身高忽略不 计 结果精确到 1 m 我想请一位同学告诉我什么是仰角 在这个图中 30 的仰角 60 的仰角 分别指哪两个角 答 当从低处观测高处的目标时 视线与水平线所成的锐角称为仰角 30 的仰角指 DAC 60 的仰角指 DBC 很好 请同学们独立思考解决这个问题的思路 然后回答 教师留给学生充分的思考时间 感觉有困难的学生可给以指导 答 首先 我们可以注意到 CD 是两个直角三角形 Rt ADC 和 Rt BDC 的公 共边 在 Rt ADC 中 tan30 AC CD 即 AC 在 Rt BDC 中 tan60 30tan CD BC CD 即 BC 又 AB AC BC 50 m 得 50 60tan CD 30tan CD 60tan CD 解得 CD 43 m 即塔 CD 的高度约为 43 m 我有一个问题 小明在测角时 小明本身有一个高度 因此在测量 CD 的高度 时应考虑小明的身高 这位同学能根据实际大胆地提出质疑 很值得赞赏 在实际测量时 的确应该 考虑小明的身高 更准确一点应考虑小明在测量时 眼睛离地面的距离 如果设小明测量时 眼睛离地面的距离为 1 6 m 其他数据不变 此时塔的高 度为多少 你能画出示意图吗 示意图如图所示 由前面的解答过程可知 CC 43 m 则 CD 43 1 6 44 6 m 即考虑小明的高度 塔的高度为 44 6 m 同学们的表现太棒了 现在我手里有一个楼梯改造工程问题 想请同学们帮忙 解决一下 多媒体演示 某商场准备改善原来楼梯的安全性能 把倾角由 40 减至 35 已知原楼梯长为 4 m 调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 结果精 确到 0 0l m 请同学们根据题意 画出示意图 将这个实际问题转化成数学问题 先独立 完成 然后相互交流 讨论各自的想法 在这个问题中 要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量 根据题意可画 示意图 如右图 其中 AB 表示楼梯的高度 AC 是原楼梯的长 BC 是原楼梯的占地 长度 AD 是调整后的楼梯的长度 DB 是调整后的楼梯的占地长度 ACB 是原楼梯 的倾角 ADB 是调整后的楼梯的倾角 转化为数学问题即为 如图 AB DB ACB 40 ADB 35 AC 4m 求 AD AC 及 DC 的长度 这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题 大家从示意图中不难看 出这个问题是前面问题的变式 我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它 开始吧 解 由条件可知 在 Rt ABC 中 sin40 即 AB 4sin40 m 原楼 AC AB 梯占地长 BC 4cos40 m 调整后 在 Rt ADB 中 sin35 则 AD AD AB m 楼梯占地长 DB m 调整后楼梯加长 AD AC 35sin 40sin4 35sin AB 35tan 40sin4 4 0 48 m 楼梯比原来多占 DC DB BC 4cos40 35sin 40sin4 35tan 40sin4 0 61 m 三 随堂练习