上海市延安中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

1 上海市延安中学上海市延安中学 2018 20192018 2019 学年高一数学下学期期末考试试题 含解学年高一数学下学期期末考试试题 含解 析 析 一一 填空题 本大题填空题 本大题 1414 题 每题题 每题 3 3 分 共分 共 4242 分 分 1 函数的最小正周期是 tan 6 yx 答案 解析 分析 根据函数的周期公式计算即可 tanyx 详解 函数的最小正周期是 tan 6 yx 1 t 故答案为 点睛 本题主要考查了正切函数周期公式的应用 属于基础题 2 计算 3 lim 1 n n n 答案 3 解析 分析 直接利用数列的极限的运算法则求解即可 详解 3 lim 1 n n n 33 lim3 1 1 0 1 n n 故答案为 3 点睛 本题考查数列的极限的运算法则 考查计算能力 属于基础题 3 设函数 则 sinf xarcx 11x 1 3 f 2 答案 3 2 解析 分析 利用反三角函数的定义 解方程即可 sin 3 arcx 详解 因为函数 由反三角函数的定义 解方程 sinf xarcx 11x sin 3 arcx 得 所以 3 sin 32 x 1 3 f 3 2 故答案为 3 2 点睛 本题考查了反三角函数的定义 属于基础题 4 已知数列是等差数列 若 则公差 n a 1 1a 5 9a d 答案 2 解析 分析 利用等差数列的通项公式即可得出 详解 设等差数列公差为 解得 2 n a d1 1a 5 9a 51 4aad d 故答案为 2 点睛 本题考查了等差数列的通项公式 考查了计算能力 属于基础题 5 已知数列 是等比数列 若 则公比 n a 2 4a 5 1 2 a q 答案 1 2 解析 3 分析 利用等比数列的通项公式即可得出 详解 数列是等比数列 若 则 解得 即 n a 2 4a 5 1 2 a 3 52 aa q 3 1 8 q q 1 2 故答案为 1 2 点睛 本题考查了等比数列的通项公式 考查了计算能力 属于基础题 6 计算 1 111 lim 1 393 n n 答案 3 4 解析 分析 由等比数列前n项和公式 得 1 从而求极限即可 1 111 1 393 n 3 4 1 3 n 详解 1 1 111 1 393 n 1 11 3 1 1 3 n 3 4 1 3 n 1 1 111 lim 1 393 n n lim n 3 4 1 3 n 3 4 故答案为 3 4 点睛 本题考查了等比数列前n项和公式的应用 以及数列极限的求法 属于基础题 7 方程的解集为 cossin 6 x 4 答案 2 3 x xkkz 解析 分析 由诱导公式可得 由余弦函数的周期性可得 cossinco 3 scos 36 x 2 3 xkkz 详解 因为方程 由诱导公式得 cossin 6 x 3 si 3 ncoscos 6 所以 2 3 xkkz 故答案为 2 3 x xkkz 点睛 本题考查解三角函数的方程 余弦函数的周期性和诱导公式的应用 属于基础题 8 已知数列是等差数列 记数列的前项和为 若 则 n a n a nn s 11 33s 6 a 答案 3 解析 分析 由等差数列的求和公式和性质可得 代入已知式子可得 116 11sa 6 a 详解 由等差数列的求和公式和性质可得 且 11 s 111 11 2 aa 6 6 11 2 11 2 a a 11 33s 6 3a 故答案为 3 点睛 本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用 属于基础题 9 夏季某座高山上的温度从山脚起每升高 100 米降低 0 8 度 若山脚的温度是 36 度 山顶 的温度是 20 度 则这座山的高度是 米 5 答案 2000 解析 分析 由题意得 温度下降了 再求出这个温度是由几段 100 米得出来的 最后乘 362016 以 100 即可 详解 由题意得 这座山的高度为 米 10036200 8100 202000 故答案为 2000 点睛 本题结合实际问题考查有理数的混合运算 解题关键是温度差里有几个 0 8 属于 基础题 10 若 则的取值范围是 cos 4 arcx 11x x 答案 2 1 2 x 解析 分析 利用反函数的运算法则 定义及其性质 求解即可 详解 由 得 cos 4 arcx 11x 2 coscoscos 42 arcx 所以 又因为 所以 2 2 x 11x 2 1 2 x 故答案为 2 1 2 x 点睛 本题考查反余弦函数的运算法则 反函数的定义域 考查学生计算能力 属于基础 题 11 若函数 的最大值为 则的值是 3sincosf xxx 0 xm 3 m 答案 2 6 解析 分析 利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为 由的范围可得的 2sin 6 f xx x6 x 范围 根据最大值可得的值 f x m 详解 函数 2 3sincosf xxx 31 sincos 22 xx 2sin 6 x 又 的最大值为 0 xm 6 x 6 6 m f x3 所以的最大值为 即 解得 sin 6 yx 3 26 m 3 2 m 故答案为 2 点睛 本题主要考查两角差的正弦公式的应用 正弦函数的定义域和最值 属于基础题 12 已知 且这三个数可适当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数 0ab 2a b 列 则 ab 答案 5 解析 详解 试题分析 由题意得 为等差数列时 一定为等差中项 即 为等比 22ba 数列时 2 为等比中项 即 所以 4ab 4 1 5abab 考点 等差 等比数列的性质 13 已知数列满足 记数列的前项和为 n a 1 1a 2 2a 2 3cos nn aan n a n 则 n s 100 s 答案 7500 解析 分析 7 讨论的奇偶性 分别化简递推公式 根据等差数列的定义得的通项公式 进而可求 n n a 100 s 详解 当是奇数时 1 由 得 n cos n 2 3cos nn aan 2 2 nn aa 所以 是以为首项 以 2 为公差的等差数列 1 a 3 a 5 a 21n a 1 1a 当为偶数时 1 由 得 n cos n 2 3cos nn aan 2 4 nn aa 所以 是首项为 以 4 为公差的等差数列 2 a 4 a 6 a 2n a 2 2a 则 22 n n n a nn 为奇数 为偶数 所以 1992100 100 50 50 50 1 9950 2 200 2 7500 2222 aaaa s 故答案为 7500 点睛 本题考查数列递推公式的化简 等差数列的通项公式 以及等差数列前 n 项和公式 的应用 也考查了分类讨论思想 属于中档题 14 已知数列的通项公式是 若将数列中的项从小到大按如下方式分组 n a2 n an n a 第一组 第二组 第三组 则 2018 位于 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 第 组 答案 32 解析 分析 根据题意可分析第一组 第二组 第三组 中的数的个数及最后的数 从中寻找规律使问 题得到解决 详解 根据题意 第一组有 2 1 2 个数 最后一个数为 4 第二组有 4 2 2 个数 最后一个数为 12 即 2 2 4 第三组有 6 2 3 个数 最后一个数为 24 即 2 2 4 6 第 n 组有 2n 个数 其中最后一个数为 2 2 4 2n 4 1 2 3 n 2n n 1 8 当 n 31 时 第 31 组的最后一个数为 2 31 32 1984 当 n 32 时 第 32 组的最后一个数为 2 32 33 2112 2018 位于第 32 组 故答案为 32 点睛 本题考查观察与分析问题的能力 考查归纳法的应用 从有限项得到一般规律是解 决问题的关键点 属于中档题 二 选择题 本大题共二 选择题 本大题共 4 4 题 每题题 每题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 15 数列为等比数列 是 数列为等比数列 的 n a 2 n a a 充分非必要条件b 必要非充分条件 c 充要条件d 非充分非必要条件 答案 a 解析 分析 数列是等比数列与命题是等比数列是否能互推 然后根据必要条件 充分条件和 n a 2 n a 充要条件的定义进行判断 详解 若数列是等比数列 则 数列是等比数 n a 1 1 n n aa q 2222 1n n qaa 2 n a 列 若数列是等比数列 则 数列不是等比数列 2 n a 221 1 n n aa q 1 1 n n aaq n a 数列是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件 n a 2 n a 故选 a 点睛 本题主要考查充分不必要条件的判断 注意等比数列的性质的灵活运用 属于基础 题 16 设 则 1 2 3 n snnnnnnn 1n n s s a b c d 21n 22n 21 22 nn 9 2 21 n 答案 d 解析 分析 由得 再计算即可 1 2 3 n snnnnnnn 1n s 1n n s s 详解 1 2 3 n snnnnnnn 1 1 1 12 1 3 11 n snnnnn 2 3 4 21 22nnnnn 所以 1 2 3 4 21 22 2 21 1 2 3 n n nnnnns n snnnnn 故选 d 点睛 本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题 以及归纳推理的应用 属于基 础题 17 已知等差数列 的公差 d 0 则下列四个命题 n a 数列是递增数列 n a 数列是递增数列 n na 数列是递增数列 n a n 数列是递增数列 3 n and 其中正确命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案 b 解析 分析 对于各个选项中的数列 计算第n 1 项与第n项的差 看此差的符号 再根据递增数列的定 10 义得出结论 详解 设等差数列 d 0 1 1 n aand 对于 n 1 n d 0 数列 是递增数列成立 是真命题 aa n a 对于 数列 得 n na 1111 111 112 nn nananandn andand 所以不一定是正实数 即数列不一定是递增数列 是假命题 1 ar 1 2and n na 对于 数列 得 n a n 1 111 1 11 1 nn andaaandda nnnnn n 1 ar 不一定是正实数 故是假命题 1 1 da n n 对于 数列 故数列 11 313340 nnnn ndndaaadad 是递增数列成立 是真命题 3 n and 故选 b 点睛 本题考查用定义判断数列的单调性 考查学生的计算能力 正确运用递增数列的定 义是关键 属于基础题 18 已知数列和数列都是无穷数列 若区间满足下列条件 n a n b nn a b 则称数列和数列可构成 区间套 11 nnnn aba b lim0 nn n ba n a n b 则下列可以构成 区间套 的数列是 a b 1 2 n n a 2 3 n n b 1 n a n 1 1 n b n c d 1 n n a n 1 1 3 n n b 1 n a 2 1 n n b n 答案 c 解析 分析 直接利用已知条件 判断选项是否满足两个条件即可 11 详解 由题意 对于 a 1 2 n n a 2 3 n n b 1 n 1n 11 22 nn aa 不成立 所以 a 不正确 11 nnnn aba b 对于 b 由 得不成立 所以 b 不 1 n a n 1 1 n b n 2 limlim 110 nn nn ba n 正确 对于 c 11 1 3 n nn n ab n 成立 1 11 111 11 133 nn nnnn nn aabb nn 11 nnnn aba b 并且也成立 所以 c 正确 lim0 nn n ba 对于 d 由 得 1 n a 2 1 n n b n 1 2 111 111 12 333 nn n bb nnnn 不成立 所以 d 不正确 11 nnnn aba b 故选 c 点睛 本题考查新定义的理解和运用 考查数列的极限的求法 考查分析问题解决问题的 能力及运算能力 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 4 4 题 共题 共 4242 分 分 19 解关于的方程 x 22 sin5sin cos6cos0 xxxx 答案 tan2tan3 x xkarcxkarckz 或 解析 分析 根据方程解出或 利用三角函数的定义解出 再根据终边相同角的表示 tan2x tan3x x 即可求出 详解 由 得 22 sin5sin cos6cos0 xxxx sin2cossin3cos0 xxxx 所以或 所以或 tan2x tan3x tan2xkarc tan3xkarc 12 所以的解集为 x tan2tan3 x xkarcxkarckz 或 点睛 本题考查了三角方程的解法 终边相同角的表示 反三角函数的定义 考查计算能 力 属于基础题 20 已知数列的前项和为 且 求数列的通项公式 n a nn s 2 231 n snn n a 答案 4 1 41 2 n n a nn 解析 分析 当时 当时 即可得出 1n 11 as 2n 1nnn ass 详解 已知数列的前项和为 且 n a nn s 2 231 n snn 当时 1n 11 4as 当时 2n 1 2 2 2312131141 nnn nnnnasns 检验 当时 不符合上式 1n 1 4a 4 1 41 2 n n a nn 点睛 本题考查了数列递推关系 数列的通项公式 考查了推理能力与计算能力 属于基 础题 21 已知等比数列是递增数列 且满足 n a 23 8aa 14 9aa 1 求数列的通项公式 n a 2 设 求数列的前项和 21 log nnn baa n b nn s 答案 1 2 1 2n n a 2 n sn 解析 分析 1 利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比 由此得通项公式 13 2 由 1 得 再利用等差数列的求和公式进行解答即可 21 log21 nnn baan 详解 1 由题意 得 又 所以 或 1234 8aaa a 14 9aa 1 1a 4 8a 1 8a 4 1a 由是递增的等比数列 得 所以 且 n a 1q 1 1a 4 8a 2q 即 111 1 1 22 nnn n aa q 1 2n n a 2 由 1 得 11 1 212 loglog2221 nn nnn baan 得 1 211 212 nn bbnn 所以数列是以 1 为首项 以 2 为公差的等差数列 n b 所以 12 2 n n n bb ns 点睛 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式 以及等差数列的其前 n 项和公式的应 用 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 22 已知数列满足 n a 1 1a 1 n 21 n n n a a an 1 证明 数列是等差数列 并求数列的通项公式 n 1 a n a 2 设 数列的前 n 项和为 求使不等式 对一切恒成立 21 n n a b n n b n s n s kn n 的实数的范围 k 答案 1 见解析 2 n 1 21 a n 1 2 解析 分析 1 对递推式两边取倒数化简 即可得出 利用等差数列的通项公式得出 1 11 2 nn aa 1 n a 14 再得出 n a 2 由 1 得 再使用裂项相消法求出 使用不等式得出的 111 2 2121 n b nn n s 范围 从而得出的范围 n s k 详解 1 两边取倒数 即 又 1 21 n n n a a a 1 11 2 nn aa 1 11 2 nn aa 1 1a 数列是以 1 为首项 2 为公差的等差数列 n 1 a 1 11 2121 n nn aa n 1 21 a n 2 由 1 得 1111 21 21 21 2 2121 n n a b nnnnn 111111 1 23352121 n s nn 111 1 2212n 要使不等式 sn 对一切恒成立 则 kn nk 1 2 的范围为 k 1 2 点睛 本