121函数的概念学案（人教A版必修1）

1 2 函数及其表示函数及其表示 1 2 1 函数的概念函数的概念 自主学习自主学习 1 理解函数的概念 能用集合与对应的语言刻画函数 体会对应关系在刻画函数概念 中的作用 2 通过实例领悟构成函数的三要素 会求一些简单函数的定义域 3 了解区间的概念 体会用区间表示数集的意义和作用 设 A B 是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个 数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数 记作 y f x x A 其中 x 叫自变量 x 的取值范围 A 叫做函数 的定义域 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的 值域 2 函数的三要素是定义域 值域和对应关系 3 由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的 所以 如果两个函数的定义域和对 应关系完全一致 则称这两个函数相同 4 1 满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间 表示为 a b 2 满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做开区间 表示为 a b 3 满足不等式 a x b 或 aa x b x b 的实数 x 的集合分别表示为 a a b b 对点讲练对点讲练 判断对应是否为函数判断对应是否为函数 例 1 判断下列对应是否为函数 1 x x 0 x R 2 xy 这里 y2 x x N y R 2 x 3 集合 A R B 1 1 对应关系 f 当 x 为有理数时 f x 1 当 x 为无理数 时 f x 1 该对应是不是从 A 到 B 的函数 分析 函数是一种特殊的对应 要检验给定两个变量之间是否具有函数关系 只要检 验 1 定义域和对应关系是否给出 2 根据给出的对应关系 自变量 x 在其定义域中的每一个值 是否都有唯一确定的函 数值 y 与之对应 解 1 对于任意一个非零实数 x 被 x 唯一确定 2 x 所以当 x 0 时 是函数 2 x 这个函数也可以表示为 f x x 0 2 当 x 4 时 y2 4 得 y 2 不是有唯一值和 x 2 x 对应 所以 x y y2 x 不是函数 3 是函数 满足函数的定义 在 A 中任取一个值 B 中有唯一确定的值和它对应 规律方法 判断函数的标准可以简记成 两个非空数集 A B 一个对应关系 f A 中 任一对 B 中唯一 即多对一或一对一 变式迁移 1 判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数 1 A R B R 对任意的 x A x x2 2 A x y x y R B R 对任意的 x y A x y x y 3 A B N 对任意的 x A x x 3 解 1 是 2 不是 因为集合 A 不是数集 3 不是 因为当 x 3 时 在集合 B 中不存在数值与之对应 已知解析式求函数的定义域已知解析式求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域 1 y 2 y 3 y 3 1 1 x x 2x2 3x 22x 3 1 2 x 1 x 分析 求函数定义域 其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围 解 1 要使函数有意义 需Error Error x 1 且 x 0 所以函数 y 的定 3 1 1 x 义域为 0 0 1 2 要使函数有意义 需Error Error x 0 且 x 1 2 故函数 y 的定义域为 x 2x2 3x 2 1 2 1 2 0 3 要使函数有意义 需Error 解得 x 2 且 x 0 3 2 所以函数 y 的定义域为 2x 3 1 2 x 1 x 0 2 3 2 0 规律方法 求函数定义域的原则 1 分式的分母不等于零 2 偶次根式的被开方数 式 为非负数 3 零指数幂的底数不等于零等 变式迁移 2 求下列函数的定义域 1 f x 2 f x 4 3 f x 6 x2 3x 23x 11 2x x 1 0 x x 解 1 由 x2 3x 2 0 得 x 1 x 2 f x 的定义域是 x R x 1 且 x 2 6 x2 3x 2 2 由Error 得 x 1 3 1 2 f x 4 的定义域是 3x 11 2x 1 3 1 2 3 由Error 得Error x 0 且 x 1 原函数的定义域为 x x0 B 1 f x x0 答案 B 解析 在 B 项中 f 0 无意义 即 A 中的数 0 在 B 中找不到和它对应的数 2 设 f x 则等于 x2 1 x2 1 f 2 f 1 2 A 1 B 1 C D 3 5 3 5 答案 B 解析 f 2 f 22 1 22 1 3 5 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 5 1 f 2 f 1 2 3 函数 y 的定义域是 x 1 0 x x A 0 B 0 C 0 1 1 D 1 1 0 0 答案 C 解析 由Error 得 x 0 且 x 1 4 下列各组函数表示同一函数的是 A y 与 y x 3 B y 1 与 y x 1 x2 9 x 3x2 C y x0 x 0 与 y 1 x 0 D y 2x 1 x Z 与 y 2x 1 x Z 答案 C 解析 A 中的两函数定义域不同 B 中的两函数值域不同 D 中的两函数对应关系不同 C 正确 5 给出四个命题 函数就是定义域到值域的对应关系 若函数的定义域只含有一个元素 则值域也 只含有一个元素 因 f x 5 x R 这个函数值不随 x 的变化而变化 所以 f 0 5 也成立 定义域和对应关系确定后 函数值域也就确定了 以上命题正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 D 二 填空题 6 将集合 x 2 x 8 表示成区间为 答案 2 8 7 若 f x 且 f a 2 则 a 5x x2 1 答案 2 或 1 2 8 函数 y x2 2 的定义域为 1 0 1 2 则其值域为 答案 1 2 2 三 解答题 9 求下列函数的定义域 1 f x 2 y 5 x x 3 x2 1 1 x2 x 1 解 1 要使函数有意义 需满足 Error 即Error 在数轴上标出 如图 即 x 3 或 3 x 3 或 3 x 5 故函数 f x 的定义域为 3 3 3 3 5 当然也可以表示为 x x 3 或 3 x 3 或 3 x 5 2 要使函数有意义 需满足Error 解得 x 1 函数的定义域为 1 10 已知函数 f x x2 1 x2 1 求 f 2 与 f f 3 与 f 1 2 1 3 2 由 1 中求得结果 你能发现 f x 与 f有什么关系 并证明你的发现 1 x 3 f 1 f 2 f 3 f 2 010 f f f 1 2 1 3 1 2 010 解 1 f x x2 1 x2 f 2 f 22 1 22 4 5 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 5 f 3 f 32 1 32 9 10 1 3 1 3 2 1 1 3 2 1 10 2 由 1 可发现 f x f 1 证明如下 1 x f x f 1 1 x x2 1 x2 1 x 2 1 1 x 2 x2 1 x2 1 1 x2 3 由 2 知 f 2 f 1 f 3 f 1 1 2 1 3 f 2 010 f 1 1 2 010 原式 1 1 1