《点集拓扑学》第5章 §5.3 Lindeloff空间

5 3 5 3 LindeloffLindeloff 空间空间 本节重点 掌握 Lindeloff 空间的定义 掌握 Lindeloff 空间与第一 二 可数性公理空间 可分空间的关系 掌握 Lindeloff 空间的遗传性 关于连续映射的是否可保持性 我们先引进一些术语 定义 5 3 1 设A 是一个集族 B 是一个集合 如果则称集族A 是集合 B 的一个覆盖 并且当A 是可数族或有限族时 分别称集族A 是集合 B 的一个可数覆盖或 有限覆盖 设集族A是集合 B 的一个覆盖 如果集族A的一个子族也是集合 B 的覆盖 则称集 族是覆盖A 关于集合 B 的一个子覆盖 设 X 是一个拓扑空间 如果由 X 中开 闭 子集构成的集族A是 X 的子集 B 的一个覆 盖 则称集族A是集合 B 的一个开 闭 覆盖 在数学分析中读者所熟知的 Heine Borel 定理告诉我们 实数空间 R 的子集 A 是一个 有界闭集当且仅当 A 的每一个开覆盖都有有限子覆盖 因而具有 每一个开覆盖都有有限 子覆盖 的拓扑空间自有其重要性 对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为 紧致 空间 并且用整章的篇幅加以讨论 但是另一方面 正如所知 连实数空间本身都不能包 容在这类拓扑空间之中 这使我们有必要放松一点限制 定义 5 3 2 设 X 是一个拓扑空间 如果 X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖 则 称拓扑空间 X 是一个 Lindeloff 空间 包含着不可数多个点的离散空间不是一个 Lindeloff 空间 这是因为这个拓扑空间中 的所有单点子集构成它的一个开覆盖 这个开覆盖没有任何可数子覆盖 定理定理 5 3 l Lindeloff5 3 l Lindeloff 定理定理 任何一个满足第二可数性公理的空间都是任何一个满足第二可数性公理的空间都是 LindeloffLindeloff 空间 空间 证明 设拓扑空间 X 满足第二可数性公理 B是它的一个可数基 设A是 X 的一个开覆盖 注意 证这类问题的开头 对于每一个 A A 由于 A 是一个 开集 所以存在 使得 AB 令由于是B的一个子族 所 以是一个可数族 并且 这就是说 也是 X 的一个覆盖 如果 B 则存在 A A使得 B 因此 BA 于是对于每一个 B 我们可以选定某一个记 它是A的一个子族 并且 所以是A的一个子覆盖 此外由于是可数的 所以也是可数的 于是开覆盖 A有一个可数子覆盖 这证明 X 是一个 Lindefoff 空间 推论推论 5 3 25 3 2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是 LindeloffLindeloff 空间 空间 特别 n 维欧氏空间的每一个子空间都是 Lindeloff 空间 例 5 3 1 定理 5 3 1 和推论 5 3 2 的逆命题都不成立 考虑包含着不可数多个点的可数补空间 X 例 5 1 1 中已经指出它不满足第一可数性 公理 所以它也不满足第二可数性公理 以下证明它是一个 Lindeloff 空间 设A是它的一个开覆盖 任意在A中取定一个非 空集合 A 对于每一个 x 在A中选取一个是一个可数集 所以A的 子族也是可数的 易见它也覆盖 X 因此 包含着不可数多个点的可数 补空间是定理 5 3 1 的逆命题不成立的例子 也不难证明 X 的每一个子空间都是 Lindefoff 空间 请读者自补证明 因此 包含 着不可数多个点的可数补空间也是推论 5 3 2 的逆命题不成立的例子 定理定理 5 3 35 3 3 每一个每一个 LindeloffLindeloff 的度量空间都满足第二可数性公理 的度量空间都满足第二可数性公理 证明 设 X d 是一个 Lindeloff 的度量空间 对于每一个 k 集族 B x 1 k x X 是 X 的一个开覆盖 由于 X 是一个 Lindeloff 空间 所以有一个可数子覆盖 设为 从而开集族 是一个可数族 以下证明它是 X 的一个基 x X 和 x 的任何一个邻域 U 令 k 为任何一个大于 2 的正 数 由于 是 X 的一个覆盖 根据定理 2 6 2 可见B是 X 的一个基 因此 X 满足第二可数性公理 例 5 3 2 Lindeloff 空间的子空间可以不是 Lindeloff 空间的例子 设 X 是一个不可数集 z X 令 X z T 是一个可数集 容易验证T是 X 的一个拓扑 请读者自己验证 拓扑空间 X T 是一个 Lindeloff 空间 因为如果A是 X 的一个开覆盖 则存在 A A使得 z A 于是是一个可数集 对于每一个 x 选取 A使得 x 易 见是A的一个可数子覆盖 另外 容易验证T 这也就是说作为 X 的子空间是一个包含着不可数 多个点的离散空间 所以不是一个 Lindeloff 空间 此外 两个 Lindeloff 空间的积空间也可以不是 Lindeloff 空间 有关的例子可见习 题第 4 题 尽管 Lindeloff 性质不可遗传 但它对于闭子空间却是可遗传的 我们证明 定理定理 5 3 45 3 4 LindeloffLindeloff 空间的每一个闭子空间都是空间的每一个闭子空间都是 LindeloffLindeloff 空间 空间 证明 设 Y 是 Lindeloff 空间 X 的一个闭子空间 A是子空间 Y 的一个开覆盖 则对 于每一个 A A存在 X 中的一个开集使得 Y A 于是 A A 是 X 的一 个开覆盖 它有一个可数子覆盖 设为 即使可以找到一个子覆盖不 包含 但添上一个元素也无何不可 这时易见 其中 便是A的一个 关于子空间 Y 的 可数子覆盖 定理定理 5 3 55 3 5 设拓扑空间设拓扑空间 X X 的任何一个子空间都是的任何一个子空间都是 LindeloffLindeloff 空间 如果空间 如果 A AX X 是是 一个不可数集 则一个不可数集 则 A A 中必定包含中必定包含 A A 的某一个凝聚点 即的某一个凝聚点 即 特别 如果 X 是一个满足第二可数性公理的空间 则 X 的每一个不可数子集 A 中都包 含着 A 的某一个凝聚点 证明 设 AX 是一个不可数集 如果 A 中没有 A 的凝聚点 则对于每一个 a A 存 在 a 在 X 中的一个邻域 这说明单点集 a 是子空间 A 中的一个开 集 从而子空间 A 便是一个包含着不可数多个点的离散空间 它必然不是一个 Linde1off 空间 这与定理的条件矛盾 我们将本章中讨论过