解题方法：“截长补短法”在角的平分线问题中的运用

1 1 6 6 截长补短法截长补短法 在角的平分线问题中的运用在角的平分线问题中的运用 人教八年级上册课本中 在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质 这 一性质在许多问题里都有着广泛的应用 而 截长补短法 又是解决这一类问题的 一种特殊方法 在无法进行直接证明的情形下 利用此种方法常可使思路豁然 开朗 请看几例 例例 1 已知 如图 1 1 在四边形 ABCD 中 BC AB AD DC BD 平分 ABC 求证 BAD BCD 180 分析 分析 因为平角等于 180 因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成 为平角 图中缺少全等的三角形 因而解题的关键在于构造直角三角形 可通 过 截长补短法 来实现 证明 证明 过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E 作 DF BC 于点 F 如图 1 2 BD 平分 ABC DE DF 在 Rt ADE 与 Rt CDF 中 CDAD DFDE Rt ADE Rt CDF HL DAE DCF A BC D 图 1 1 F E D CB A 图 1 2 2 2 6 6 又 BAD DAE 180 BAD DCF 180 即 BAD BCD 180 例例 2 如图 2 1 AD BC 点 E 在线段 AB 上 ADE CDE DCE ECB 求证 CD AD BC 分析 分析 结论是 CD AD BC 可考虑用 截长补短法 中的 截长 即在 CD 上 截取 CF CB 只要再证 DF DA 即可 这就转化为证明两线段相等的问题 从 而达到简化问题的目的 证明 证明 在 CD 上截取 CF BC 如图 2 2 在 FCE 与 BCE 中 CECE BCEFCE CBCF FCE BCE SAS 2 1 又 AD BC ADC BCD 180 DCE CDE 90 A D B C E 图 2 1 A D B C E F 1 2 3 4 图 2 2 3 3 6 6 2 3 90 1 4 90 3 4 在 FDE 与 ADE 中 43 DEDE ADEFDE FDE ADE ASA DF DA CD DF CF CD AD BC 例例 3 已知 如图 3 1 1 2 P 为 BN 上一点 且 PD BC 于点 D AB BC 2BD 求证 BAP BCP 180 分析 分析 与例 1 相类似 证两个角的和是 180 可把它们移到一起 让它们 是邻补角 即证明 BCP EAP 因而此题适用 补短 进行全等三角形的构造 证明 证明 过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E 如图 3 2 1 2 且 PD BC PE PD 在 Rt BPE 与 Rt BPD 中 A BC D P 1 2 N 图 3 1 4 4 6 6 BPBP PDPE Rt BPE Rt BPD HL BE BD AB BC 2BD AB BD DC BD BE AB DC BE 即 DC BE AB AE 在 Rt APE 与 Rt CPD 中 DCAE PDCPEA PDPE Rt APE Rt CPD SAS PAE PCD 又 BAP PAE 180 BAP BCP 180 例例 4 已知 如图 4 1 在 ABC 中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD P 1 2 N A BC D E 图 3 2 D C B A 12 图 4 1 5 5 6 6 分析 分析 从结论分析 截长 或 补短 都可实现问题的转化 即延长 AC 至 E 使 CE CD 或在 AB 上截取 AF AC 证明 方法一 补短法 证明 方法一 补短法 延长 AC 到 E 使 DC CE 则 CDE CED 如图 4 2 ACB 2 E ACB 2 B B E 在 ABD 与 AED 中 ADAD EB 21 ABD AED AAS AB AE 又 AE AC CE AC DC AB AC DC 方法二 截长法 方法二 截长法 在 AB 上截取 AF AC 如图 4 3 在 AFD 与 ACD 中 E D C B A 12 图 4 2 6 6 6 6 ADAD ACAF 21 A