五年级数学知识点整理

第一单元第一单元 小数除法小数除法 1 1 小数除法的意义 小数除法的意义 与整数除法的意义相同 是已知两个因数的积与其中一个因数 求另个因与整数除法的意义相同 是已知两个因数的积与其中一个因数 求另个因 数的运算 数的运算 2 2 小数除法的计算法则 小数除法的计算法则 1 1 除数是整数 除数是整数 按照整数除法的法则去除 按照整数除法的法则去除 商的小数点要和被除商的小数点要和被除 数的小数点对齐 重点 数的小数点对齐 重点 每一位商都要写在被除数相同数位的上面 每一位商都要写在被除数相同数位的上面 如果除到末尾仍有余如果除到末尾仍有余 数 在被除数的个位数的右边点上小数点 再在被除数的后面添上数 在被除数的个位数的右边点上小数点 再在被除数的后面添上 0 0 继续除 继续除 直到除尽为止 直到除尽为止 除得的商的哪一数位上不够商 就在那一位上写除得的商的哪一数位上不够商 就在那一位上写 0 0 占位 占位 2 2 除数是小数 除数是小数 先看除数中有几位小数 就把除数和被除数的小数点向右移动相同的先看除数中有几位小数 就把除数和被除数的小数点向右移动相同的 位置 使除数变成整数 当被除数数位不够时 用位置 使除数变成整数 当被除数数位不够时 用 0 0 补足 补足 然后按照除然后按照除 数是整数的小数除法计算 数是整数的小数除法计算 3 3 商不变的规律 商不变的规律 被除数扩大被除数扩大 a a 倍 或缩小 倍 或缩小 除数也扩大 或缩小 除数也扩大 或缩小 a a 倍 商不变 简言倍 商不变 简言 之 被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数 商不变 之 被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数 商不变 4 4 被除数不变 除数扩大 或缩小 被除数不变 除数扩大 或缩小 a a 倍 商缩小 或扩大 倍 商缩小 或扩大 a a 倍 倍 被除数扩大 或缩小 被除数扩大 或缩小 a a 倍 除数不变 商扩大 或缩小 倍 除数不变 商扩大 或缩小 a a 倍 倍 5 5 被除数比除数大的 商大于 被除数比除数大的 商大于 1 1 被除数比除数小的 商小于被除数比除数小的 商小于 1 1 6 6 一个数 一个数 0 0 除外 除以除外 除以 1 1 商等于原来的数 商等于原来的数 一个数除以 一个数除以 1 1 还等于这 还等于这 个数 个数 一个数 一个数 0 0 除外 除以大于除外 除以大于 1 1 的数 商比原来的数小 一个数 的数 商比原来的数小 一个数 0 0 除外 除以小除外 除以小 于于 1 1 的数 商比原来的数大 的数 商比原来的数大 0 0 除以一个非零的数还得除以一个非零的数还得 0 0 0 0 不能作除数 不能作除数 7 7 汉语表达汉语表达A A 除以除以 B BA A 除除 B BA A 去除去除 B BA A 被被 B B 除除 列式列式 A BA BB AB AB AB AA BA B 8 8 近似值相关知识点 近似值相关知识点 1 1 求商的近似值 计算时要比保留的小数多一位 求商的近似值 计算时要比保留的小数多一位 求积的近似值 计算出整个积的值后再去近似值 求积的近似值 计算出整个积的值后再去近似值 2 2 取商的近似值的方法 取商的近似值的方法 四舍五入四舍五入 法 法 进一法进一法 和和 去尾法去尾法 在解决问题的时候 可以根据实际情况选择在解决问题的时候 可以根据实际情况选择 进一法进一法 和和 去尾法去尾法 取商的近似值 取商的近似值 3 3 保留商的近似值 小数末尾的 保留商的近似值 小数末尾的 0 0 不能去掉 不能去掉 9 9 循环小数相关知识点 循环小数相关知识点 1 1 小数分类 小数分类 可以分为无限小数和有限小数 小数部分的位数是有限的可以分为无限小数和有限小数 小数部分的位数是有限的 小数 叫做有限小数 小数部分是无限的小数叫做无限小数 循环小数就是无小数 叫做有限小数 小数部分是无限的小数叫做无限小数 循环小数就是无 限小数中的一种 限小数中的一种 2 2 循环小数的定义 循环小数的定义 一个数的小数部分 从某一位起 一个数字或者几一个数的小数部分 从某一位起 一个数字或者几 个数字依次不断重复出现 这样的小数叫做循环小数 个数字依次不断重复出现 这样的小数叫做循环小数 3 3 循环小数必须满足的条件 循环小数必须满足的条件 必须是无限小数 必须是无限小数 一个数字或者几一个数字或者几 个数字依次不断重复出现 个数字依次不断重复出现 4 4 循环节的定义 循环节的定义 一个循环小数的小数部分 依次不断重复出现的一个一个循环小数的小数部分 依次不断重复出现的一个 数字或者几个数字 叫做这个循环小数的循环节 如数字或者几个数字 叫做这个循环小数的循环节 如 5 33 5 33 循环节是循环节是 3 3 7 14545 7 14545 的循环节是的循环节是 4545 5 5 循环小数的记法 循环小数的记法 省略后面的省略后面的 号 号 在第一个循环节首在第一个循环节首 尾的数字上分别加点 如 尾的数字上分别加点 如 5 33 5 35 33 5 3 3 3 上面有一个点 上面有一个点 读作五点三 三 读作五点三 三 的循环的循环 7 14545 7 1457 14545 7 145 4 4 和和 5 5 上面分别有一个点 上面分别有一个点 读作七点一四五 四读作七点一四五 四 五的循环 五的循环 6 6 循环小数一定是无限小数 无限小数不一定是循环小数 循环小数一定是无限小数 无限小数不一定是循环小数 1010 竖式中的小数点和数位的对齐方式 在加法和减法中 必须小数点对 竖式中的小数点和数位的对齐方式 在加法和减法中 必须小数点对 齐 在乘法中 要末尾对齐 在除法时 商的小数点要和被除数的小数点对齐 齐 在乘法中 要末尾对齐 在除法时 商的小数点要和被除数的小数点对齐 1111 除法性质 除法性质 a b c a b c a b c a b c 推广 推广 a a b c a cb c a c b cb c 或或 a a b c a cb c a c b cb c 第二单元第二单元 轴对称和平移轴对称和平移 具体目标 具体目标 1 图形的平移 图形的平移 通过具体实例认识平移 探索它的基本性质 理解对应点连线平行且相通过具体实例认识平移 探索它的基本性质 理解对应点连线平行且相 等的性质 等的性质 能按要求作出简单平面图形平移后的图形 能按要求作出简单平面图形平移后的图形 利用平移进行图案设计 认识和欣赏平移在现实生活中的应用 利用平移进行图案设计 认识和欣赏平移在现实生活中的应用 2 图形的旋转 图形的旋转 通过具体实例认识旋转 探索它的基本性质 理解对应点到旋转中心的通过具体实例认识旋转 探索它的基本性质 理解对应点到旋转中心的 距离相等 对应点与旋转中心距离相等 对应点与旋转中心 连线所成的角彼此相等的性质 连线所成的角彼此相等的性质 了解平行四边形 圆是中心对称图形 了解平行四边形 圆是中心对称图形 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形 欣赏旋转在现实生活中的应用 欣赏旋转在现实生活中的应用 探索图形之间的变换关系探索图形之间的变换关系 轴对称 平移 旋转及其组合轴对称 平移 旋转及其组合 灵活运用轴对称 平移和旋转的组合进行图案设计 灵活运用轴对称 平移和旋转的组合进行图案设计 3 图形的轴对称 图形的轴对称 通过具体实例认识轴对称 探索它的基本性质 理解对应点所连的线段通过具体实例认识轴对称 探索它的基本性质 理解对应点所连的线段 被对称轴垂直平分的性质 被对称轴垂直平分的性质 能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形 探索简能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形 探索简 单图形之间的轴对称关系 并单图形之间的轴对称关系 并 能指出对称轴 能指出对称轴 探索基本图形 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正多边形 圆 探索基本图形 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正多边形 圆 的轴对称性及其相关性质 的轴对称性及其相关性质 欣赏现实生活中的轴对称图形 结合现实生活中典型实例了解并欣赏物欣赏现实生活中的轴对称图形 结合现实生活中典型实例了解并欣赏物 体的镜面对称 能利用轴对称体的镜面对称 能利用轴对称 进行图案设计 进行图案设计 三 知识考点梳理三 知识考点梳理 知识点一 平移知识点一 平移 1 平移概念 平移概念 把一个图形整体沿一方向移动 得到一个新的图形 图形的这种移动 叫把一个图形整体沿一方向移动 得到一个新的图形 图形的这种移动 叫 做平移变换 简称平移 做平移变换 简称平移 2 平移变换的性质 平移变换的性质 对应线段平行 或共线 且相等 对应点所连结的线段平行且相等 因对应线段平行 或共线 且相等 对应点所连结的线段平行且相等 因 为经过平移 图形的每个点都为经过平移 图形的每个点都 沿同一个方向移动了相同的距离 平移变换前后的两条对应线段的四个沿同一个方向移动了相同的距离 平移变换前后的两条对应线段的四个 端点所围成的四边形为平行四端点所围成的四边形为平行四 边形 四点共线除外 边形 四点共线除外 对应角分别相等 且对应角的两边分别平行 方向一致对应角分别相等 且对应角的两边分别平行 方向一致 平移后的图形与原图形全等 因为平移只改变图形位置 不改变图形的平移后的图形与原图形全等 因为平移只改变图形位置 不改变图形的 形状和大小形状和大小 3 平移作图步骤 平移作图步骤 确定平移的方向和距离 确定平移的方向和距离 根据对应点的连线平行 或在一条直线上 且相等作出图形各关键点的根据对应点的连线平行 或在一条直线上 且相等作出图形各关键点的 对应点 对应点 按原图形的连结方式顺次连结各点按原图形的连结方式顺次连结各点 知识点二 旋转知识点二 旋转 1 旋转概念 旋转概念 把一个图形绕着某一点把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 点转动一个角度的图形变换叫做旋转 点 O 叫做旋叫做旋 转中心 转动的角叫做旋转角 转中心 转动的角叫做旋转角 2 中心对称与中心对称图形 中心对称与中心对称图形 中心对称 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转把一个图形绕着某一点旋转 180 它能够与另一个图形重合 那么就说 它能够与另一个图形重合 那么就说 这两个图形关于这个点对称或中心对称 这个点叫做对称中心 这两个图形中这两个图形关于这个点对称或中心对称 这个点叫做对称中心 这两个图形中 的对应点叫做关于中心对称的对称点 的对应点叫做关于中心对称的对称点 中心对称图形 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转把一个图形绕着某一点旋转 180 如果旋转后的图形能够与原来的图形 如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合 那么这个图形就叫中心对称图形重合 那么这个图形就叫中心对称图形 3 旋转变换的性质 旋转变换的性质 图形通过旋转 图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大图形通过旋转 图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大 小的角度 任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角 对应点到旋转中心小的角度 任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角 对应点到旋转中心 的距离相等 对应线段相等 对应角相等 旋转过程中 图形的形状 大小都的距离相等 对应线段相等 对应角相等 旋转过程中 图形的形状 大小都 没有发生变化没有发生变化 4 旋转作图步骤 旋转作图步骤 分析题目要求 找出旋转中心 确定旋转角分析题目要求 找出旋转中心 确定旋转角 分析所作图形 找出构成图形的关键点分析所作图形 找出构成图形的关键点 沿一定的方向 按一定的角度 旋转各顶点和旋转中心所连线段沿一定的方向 按一定的角度 旋转各顶点和旋转中心所连线段 从而作从而作 出图形中各关键点的对应点出图形中各关键点的对应点 按原图形连结方式顺次连结各对应点按原图形连结方式顺次连结各对应点 5 中心对称作图步骤 中心对称作图步骤 连结决定已知图形的形状 大小的各关键点与对称中心 并且延长至连结决定已知图形的形状 大小的各关键点与对称中心 并且延长至 2 倍 得到各点的对称点倍 得到各点的对称点 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形 知识点三 轴对称知识点三 轴对称 1 轴对称与轴对称图形 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果能够与另一个图形重合 那么就说把一个图形沿着某一条直线折叠 如果能够与另一个图形重合 那么就说 这两个图形关于这条直线对称 也叫做这两个图形成轴对称 这条直线叫做对这两个图形关于这条直线对称 也叫做这两个图形成轴对称 这条直线叫做对 称轴 折叠后重合的对应点 叫做对称点 称轴 折叠后重合的对应点 叫做对称点 轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相 重合 这个图形叫做轴对称图形重合 这个图形叫做轴对称图形 2 轴对称变换的性质 轴对称变换的性质 关于直线对称的两个图形是全等图形关于直线对称的两个图形是全等图形 如果两个图形关于某直线对称 对称轴是对应点连线的垂直平分线如果两个图形关于某直线对称 对称轴是对应点连线的垂直平分线 两个图形关于某直线对称 如果它们对应线段或延长线相交 那么交点两个图形关于某直线对称 如果它们对应线段或延长线相交 那么交点 在对称轴上在对称轴上 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分 那么这两个图形关于如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分 那么这两个图形关于 这条直线对称这条直线对称 3 轴对称作图步骤 轴对称作图步骤 找出已知图形的关键点 过关键点作对称轴的垂线 并延长至找出已知图形的关键点 过关键点作对称轴的垂线 并延长至 2 倍 得倍 得 到各点的对称点 到各点的对称点 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形 综上 综上 1 图形变换与图案设计的基本步骤 图形变换与图案设计的基本步骤 确定图案的设计主题及要求 确定图案的设计主题及要求 分析设计图案所给定的基本图案 分析设计图案所给定的基本图案 利用平移 旋转 轴对称对基本图案进行变换 实现由基本图案到各部利用平移 旋转 轴对称对基本图案进行变换 实现由基本图案到各部 分图案的有机组合 分图案的有机组合 对图案进行修饰 完成图案 对图案进行修饰 完成图案 2 平移 旋转和轴对称之间的联系 平移 旋转和轴对称之间的联系 一个图形沿两条平行直线翻折 轴对称 两次相当于一次平移 沿不平行一个图形沿两条平行直线翻折 轴对称 两次相当于一次平移 沿不平行 的两条直线翻折两次相当于一次旋转 其旋转角等于两直线交角的的两条直线翻折两次相当于一次旋转 其旋转角等于两直线交角的 2 倍倍 第三单元第三单元 倍数与因数倍数与因数 1 1 整除 被除数 除数和商都是 整除 被除数 除数和商都是自然数自然数 并且 并且没有余数没有余数 大数能被小数整除时 大数是小数的倍数 小数是大数的因数 大数能被小数整除时 大数是小数的倍数 小数是大数的因数 找因数的方法 找因数的方法 一个数的因数的一个数的因数的个数个数是是有限有限的 其中最小的因数是的 其中最小的因数是 1 1 最大的因数是 最大的因数是它本身它本身 一个数的倍数的一个数的倍数的个数个数是是无限无限的 最小的倍数是的 最小的倍数是它本身它本身 2 2 自然数按能不能被 自然数按能不能被 2 2 整除来分 奇数 偶数整除来分 奇数 偶数 奇数 不能被奇数 不能被 2 2 整除的数 整除的数 偶数 能被偶数 能被 2 2 整除的数 整除的数 最小的奇数最小的奇数是是 1 1 最小的偶数最小的偶数是是 0 0 个位上是个位上是 0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 的数都是的数都是 2 2 的倍数 的倍数 个位上是个位上是 0 0 或或 5 5 的数 是的数 是 5 5 的倍数 的倍数 一个数各位上的数的和是一个数各位上的数的和是 3 3 的倍数 这个数就是的倍数 这个数就是 3 3 的倍数 的倍数 能能同时被同时被 2 2 3 3 5 5 整除整除的的最大的两位数最大的两位数是是 9090 最小的三位数最小的三位数是是 120120 3 3 自然数按因数的个数来分 质数 合数 自然数按因数的个数来分 质数 合数 质数 有且只有质数 有且只有两个因数两个因数 1 1 和和它本身它本身 合数 至少有三个因数 合数 至少有三个因数 1 1 它本身它本身 别的因数别的因数 1 1 只有只有 1 1 个因数 个因数 1 1 既不是质数 也不是合数 既不是质数 也不是合数 最小的质数是最小的质数是 2 2 最小的合数是 最小的合数是 4 4 2020 以内的质数 有以内的质数 有 8 8 个 个 2 2 3 3 5 5 7 7 1111 1313 1717 1919 100100 以内的质数 以内的质数 2 2 3 3 5 5 7 7 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131 3737 4141 4343 4747 5353 5959 6161 6767 7171 7373 7979 8383 8989 9797 4 4 分解质因数 分解质因数 用短除法分解质因数用短除法分解质因数 一个合数写成几个质数相乘的形式 一个合数写成几个质数相乘的形式 5 5 公因数 最大公因数 公因数 最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数 其中最大的那个就叫它们的最大公几个数公有的因数叫这些数的公因数 其中最大的那个就叫它们的最大公 因数 因数 用短除法求两个数或三个数的最大公因数用短除法求两个数或三个数的最大公因数 除到互质为止 把所有的除 除到互质为止 把所有的除 数连乘起来 数连乘起来 几个数的公因数只有几个数的公因数只有 1 1 就说这几个数互质 就说这几个数互质 两数互质的特殊情况 两数互质的特殊情况 1 1 和任何自然数互质 和任何自然数互质 相邻两个自然数互质 相邻两个自然数互质 两个质数一定互质 两个质数一定互质 2 2 和所有奇数互质 和所有奇数互质 质数与比它小的合数互质 质数与比它小的合数互质 如果两数是倍数关系时 那么较小的数就是它们的最大公因数 如果两数是倍数关系时 那么较小的数就是它们的最大公因数 如果两数互质时 那么如果两数互质时 那么 1 1 就是它们的最大公因数 就是它们的最大公因数 6 6 公倍数 最小公倍数 公倍数 最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数 其中最小的那个就叫它们的最小公几个数公有的倍数叫这些数的公倍数 其中最小的那个就叫它们的最小公 倍数 倍数 用短除法求两个数的最小公倍数 除到互质为止 把所有的除数和商连乘用短除法求两个数的最小公倍数 除到互质为止 把所有的除数和商连乘 起来 起来 用短除法求三个数的最小公倍数 除到两两互质为止 把所有的除数和商用短除法求三个数的最小公倍数 除到两两互质为止 把所有的除数和商 连乘起来 连乘起来 如果两数是倍数关系时 那么较大的数就是它们的最小公倍数 如果两数是倍数关系时 那么较大的数就是它们的最小公倍数 如果两数互质时 那么它们的积就是它们的最小公倍数 如果两数互质时 那么它们的积就是它们的最小公倍数 7 7 因数和倍数的关系 因数和倍数的关系 例如 例如 2 6 122 6 12 2 2 和和 6 6 是是 1212 的因数 的因数 1212 是是 2 2 和和 6 6 的倍数 的倍数 知识点知识点 1 1 因数与倍数之间的关系是相互的 不能单独存在 只能说谁因数与倍数之间的关系是相互的 不能单独存在 只能说谁 是谁的因数 谁是谁的倍数 不能说谁是因数 谁是倍数 是谁的因数 谁是谁的倍数 不能说谁是因数 谁是倍数 例如 例如 2 5 6 152 5 6 15 2 52 5 和和 6 6 是是 1515 的因数 的因数 1515 是是 2 52 5 和和 6 6 的倍数 的倍数 这句话是错误的 这句话是错误的 知识点知识点 2 2 在研究因数和倍数的时候 我们所说的数指的是非在研究因数和倍数的时候 我们所说的数指的是非 0 0 的整数 的整数 不包括小数 分数 不包括小数 分数 例如 例如 3636 的因数有 的因数有 知识点知识点 3 3 确定一个数的所有因数 我们应该从确定一个数的所有因数 我们应该从 1 1 的乘法口诀依次找出 的乘法口诀依次找出 如 如 1 36 361 36 36 2 18 362 18 36 3 12 363 12 36 4 9 364 9 36 6 6 366 6 36 因此因此 3636 的所有因数有 的所有因数有 1 1 2 2 3 3 4 4 6 6 9 9 1212 1818 3636 知识点知识点 4 4 重复的和相同的只算一个因数 重复的和相同的只算一个因数 知识点知识点 5 5 一个数的因数的个数是有限的 一个数的因数的个数是有限的 一个数的最小因数是一个数的最小因数是 1 1 最大的因数是它本身 最大的因数是它本身 例如 例如 7 7 的倍数 的倍数 知识点知识点 6 6 确定一个数的倍数 同样依据乘法口诀 确定一个数的倍数 同样依据乘法口诀 如 如 1 7 71 7 7 2 7 142 7 14 3 7 213 7 21 4 7 284 7 28 5 7 35 5 7 35 因此因此 7 7 的倍数有 的倍数有 7 7 1414 2121 2828 3535 42 42 知识点知识点 7 7 一个数的倍数的个数是无限的 一个数的倍数的个数是无限的 最小的倍数是它本身 没有最大的倍数 最小的倍数是它本身 没有最大的倍数 知识点知识点 8 8 有前提条件的情况下有前提条件的情况下确定倍数与因数确定倍数与因数 第四单元第四单元 多边形的面积多边形的面积 1 1 长方形面积 长方形面积 长长 宽宽 字母公式 字母公式 s abs ab 长方形周长长方形周长 长 宽长 宽 2 2 字母公式 字母公式 c ac a b 2b 2 长 长 周长周长 2 2 宽 宽 宽宽 周长周长 2 2 长 长 长方形中面积 周长与长和宽之间的变化关系 长方形中面积 周长与长和宽之间的变化关系 1 1 长方形的长加宽等于长方形周长的一半 即 长方形的长加宽等于长方形周长的一半 即 a a b b c c 2 2 2 2 当长方形的周长不变时 长与宽的差越大 这个长方形的面积就越小 反 当长方形的周长不变时 长与宽的差越大 这个长方形的面积就越小 反 之 长与宽的差越小 这个长方形的面积就越大 之 长与宽的差越小 这个长方形的面积就越大 3 3 当长方形的面积不变时 长与宽的差越大 这个长方形的周长就越长 长 当长方形的面积不变时 长与宽的差越大 这个长方形的周长就越长 长 与宽的差越小 这个长方形的周长就越短 与宽的差越小 这个长方形的周长就越短 4 4 长方形框架拉成平行四边形 周长不变 面积变小 长方形框架拉成平行四边形 周长不变 面积变小 2 2 正方形面积 正方形面积 边长边长 边长边长 字母公式 字母公式 s s a a 或者或者 s a as a a 正方形周长正方形周长 边长边长 4 4 字母公式 字母公式 c 4ac 4a 或者或者 c c a 4a 4 3 3 平行四边形面积 平行四边形面积 底底 高高 字母公式 字母公式 s ahs ah 平行四边形面积公式的推导过程 剪拼 平移平行四边形面积公式的推导过程 剪拼 平移 沿着平行四边形的沿着平行四边形的任意一条高任意一条高剪开 将其一部分平移与另一部分正好拼成剪开 将其一部分平移与另一部分正好拼成 一个长方形 这个长方形的长就是平行四边形的底 这个长方形的宽就是平行一个长方形 这个长方形的长就是平行四边形的底 这个长方形的宽就是平行 四边形的高 因为长方形的面积四边形的高 因为长方形的面积 长长 宽 所以宽 所以平行四边形的面积平行四边形的面积 底底 高 用高 用 字母表示字母表示 S a hS a h 等底等高的平行四边形面积相等 等底等高的平行四边形面积相等 4 4 三角形面积 三角形面积 底底 高高 2 2 字母公式 字母公式 s ah 2s ah 2 底 底 面积面积 2 2 高 高 高高 面积面积 2 2 底底 三角形面积公式的推导过程 三角形面积公式的推导过程 旋转 平移旋转 平移 将两个将两个完全一样完全一样的三角形拼成一个平行四边形 拼成的平行四边形的底就的三角形拼成一个平行四边形 拼成的平行四边形的底就 是三角形的底 拼成的平行四边形的高就是三角形的高 拼成的是三角形的底 拼成的平行四边形的高就是三角形的高 拼成的平行四边形的平行四边形的 面积面积是是三角形面积的三角形面积的 2 2 倍倍 一个三角形的面积是这个平行四边形的面积一半 一个三角形的面积是这个平行四边形的面积一半 因为平行四边形的面积等于底因为平行四边形的面积等于底 高 所以高 所以三角形的面积等于底三角形的面积等于底 高高 2 2 用 用字母字母 表示表示 S a h 2S a h 2 等底等高的三角形面积相等 等底等高的三角形面积相等 等底等高的三角形和平行四边形面积关系 等底等高的平行四边形面积是三等底等高的三角形和平行四边形面积关系 等底等高的平行四边形面积是三 角形面积的角形面积的 2 2 倍 等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半 倍 等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半 5 5 梯形面积 梯形面积 上底 下底上底 下底 高高 2 2 字母公式 字母公式 s as a b h 2b h 2 上底 上底 面积面积 2 2 高 下底 高 下底 下底下底 面积面积 2 2 高高 上底 上底 高高 面积面积 2 2 上 上 底底 下底 下底 梯形面积公式的推导过程 梯形面积公式的推导过程 旋转 平移旋转 平移 将两个将两个完全一样完全一样的梯形拼成一个平行四边形 这个平行四边形的的梯形拼成一个平行四边形 这个平行四边形的底底等于等于梯梯 形的上底与下底的和形的上底与下底的和 平行四边形的 平行四边形的高高等于梯形的等于梯形的高高 拼成的 拼成的平行四边形的面平行四边形的面 积积是每个梯形面积的是每个梯形面积的 2 2 倍 每个倍 每个梯形的面积梯形的面积是拼成的平行四边形面积的是拼成的平行四边形面积的一半一半 因为平行四边形的面积因为平行四边形的面积 底底 高 所以梯形的面积高 所以梯形的面积 上底 下底 上底 下底 高高 2 2 用用 字母表示字母表示 S S a a b b h 2 h 2 6 6 计算圆木 钢管等的根数 计算圆木 钢管等的根数 顶层根数顶层根数 底层根数底层根数 层数层数 2 2 7 7 组合图形 转化成已学的简单图形 通过加 减进行计算 组合图形 转化成已学的简单图形 通过加 减进行计算 8 8 有关规律 有关规律 在平行四边形里画一个在平行四边形里画一个最大最大的三角形 这个的三角形 这个三角形的面积等于这个平行四边三角形的面积等于这个平行四边 形面积的一半形面积的一半 用细木条钉成一个用细木条钉成一个长方形长方形框架 如果把他拉成一个框架 如果把他拉成一个平行四边形平行四边形 则它的 则它的周长周长 不变不变 面积变小面积变小了 因为底不变 高变小了 如果将了 因为底不变 高变小了 如果将平行四边形平行四边形框架拉成框架拉成一个一个 长方形长方形 则他们的 则他们的周长不变 面积变大了周长不变 面积变大了 1 1 三角形和平行四边形面积相等时 若高相等 则三角形和平行四边形面积相等时 若高相等 则三角形的底是平行四边形三角形的底是平行四边形 的的 2 2 倍 平行四边形的底是三角形的一半 倍 平行四边形的底是三角形的一半 2 2 三角形和平行四边形的面积相等时 若底相等 则三角形和平行四边形的面积相等时 若底相等 则三角形的高是平行四边三角形的高是平行四边 形的形的 2 2 倍 平行四边形的高是三角形的一半 倍 平行四边形的高是三角形的一半 3 3 三角形和平行四边形等底等高时 则三角形和平行四边形等底等高时 则三角形的面积是平行四边形的一半 三角形的面积是平行四边形的一半 平行四边形的面积是三角形的平行四边形的面积是三角形的 2 2 倍倍 在直角三角形中 斜边最长 在直角三角形中 斜边最长 第五单元第五单元 分数的意义分数的意义 分数的意义分数的意义 1 1 分数的意义 分数的意义 把单位把单位 1 1 平均分成若干份 表示这样的一份或几份的数 叫做分数 平均分成若干份 表示这样的一份或几份的数 叫做分数 2 2 分数单位 分数单位 把单位把单位 1 1 平均分成若干份 表示这样的一份的数叫做分数单位 平均分成若干份 表示这样的一份的数叫做分数单位 3 3 分数与除法的关系 分数与除法的关系 除法中的被除数相当于分数的分子 除数相等于分母 除法中的被除数相当于分数的分子 除数相等于分母 被除数被除数 除数除数 用字母表示 用字母表示 a b a b b 0b 0 除数 被除数 b a 4 4 分数未带单位表示两个量之间的倍数关系 分数带有单位表示一个具体的数 分数未带单位表示两个量之间的倍数关系 分数带有单位表示一个具体的数 量 量 二 真分数和假分数二 真分数和假分数 1 1 真分数和假分数 真分数和假分数 分子比分母小的分数叫做真分数 真分数小于分子比分母小的分数叫做真分数 真分数小于 1 1 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数 假分数大于分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数 假分数大于 1 1 或等于或等于 1 1 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数 2 2 假分数与带分数的互化 假分数与带分数的互化 把假分数化成带分数 用分子除以分母 所得商作整数部分 余数作分子 把假分数化成带分数 用分子除以分母 所得商作整数部分 余数作分子 分母不变 分母不变 把带分数化成假分数 用整数部分乘以分母加上分子作分子 分母不变 把带分数化成假分数 用整数部分乘以分母加上分子作分子 分母不变 三 分数的基本性质三 分数的基本性质 1 1 分数的基本性质 分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数 0 0 除外 分数的大小不变 这除外 分数的大小不变 这 叫做分数的基本性质 叫做分数的基本性质 四 约分四 约分 1 1 最大公因数 最大公因数 几个数共有的因数叫做它们的公因数 其中最大的一个叫做最大公因数 几个数共有的因数叫做它们的公因数 其中最大的一个叫做最大公因数 2 2 两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系 两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系 所有的公因数都是最大公因数的因数 最大公因数是它们的倍数 所有的公因数都是最大公因数的因数 最大公因数是它们的倍数 3 3 互质数 公因数只有 互质数 公因数只有 1 1 的两个数叫做互质数 的两个数叫做互质数 4 4 两个数互质的特殊判断方法 两个数互质的特殊判断方法 1 1 和任何大于和任何大于 1 1 的自然数互质 的自然数互质 2 2 和任何奇数都是互质数 和任何奇数都是互质数 相邻的两个自然数是互质数 相邻的两个自然数是互质数 相邻的两个奇数互质 相邻的两个奇数互质 不相同的两个质数互质 不相同的两个质数互质 当一个数是合数 另一个数是质数时 除了合数是质数的倍数情况下 一当一个数是合数 另一个数是质数时 除了合数是质数的倍数情况下 一 般情况下这两个数也都是互质数 般情况下这两个数也都是互质数 5 5 求最大公因数的方法 求最大公因数的方法 倍数关系 倍数关系 最大公因数就是较小数 最大公因数就是较小数 互质关系 互质关系 最大公因数就是最大公因数就是 1 1 一般关系 一般关系 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数 6 6 最简分数 分子和分母只有公因数 最简分数 分子和分母只有公因数 1 1 的分数叫做最简分数 的分数叫做最简分数 7 7 约分 约分 把一个分数化成和它相等 但分子和分母都比较小的分数 叫做约分 把一个分数化成和它相等 但分子和分母都比较小的分数 叫做约分 并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分 但一般要约到最简 并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分 但一般要约到最简 分数为止 分数为止 五 通分五 通分 1 1 最小公倍数 几个数共有的倍数叫做它们的公倍数 其中最小的一个叫最小 最小公倍数 几个数共有的倍数叫做它们的公倍数 其中最小的一个叫最小 公倍数 公倍数 2 2 两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系 两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系 几个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数 几个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数 3 3 通分 通分 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 叫做通分 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 叫做通分 通分时 公分母一般为几个数的最小公倍数 通分时 公分母一般为几个数的最小公倍数 4 4 求最小公倍数的方法 求最小公倍数的方法 倍数关系 倍数关系 最小公倍数就是较大数 最小公倍数就是较大数 互质关系 互质关系 最小公倍数就是它们的乘积 最小公倍数就是它们的乘积 一般关系 一般关系 大数翻倍 从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数 大数翻倍 从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数 5 5 分数的大小比较 分数的大小比较 同分母分数 分子大的分数就大 分子小的分数就小 同分母分数 分子大的