非线性系统分析习题

非线性系统分析习题 第 2 章 2 1 电路如题图 2 1 所示 若 试讨论对下列各 11 tanh2ui 2 2 3 22 ii 33 lnuq 组变量 1 和 2 和 3 和 4 和 是否存在标准形式的状态 2 i 3 u 2 i 3 q 2 3 u 2 3 q 方程 若存在 请导出该状态方程 题图 2 1 和存在标准状态方程 2 i 3 u 32 3 3 21 2 2 2 2 2 tan 23 1 dt ui dt du u i u ii di s 2 2 题图 2 2 所示电路 非线性电阻的特性为 试导出电路的状态方程 2 222 3 RRR uui 题图 2 2 LCC L CCL C Ls C i L R u L u Ldt di uu C i C du i C i C du 2 21 2 22 22 2 11 1 11 3 11 dt 11 dt 2 3 试确定下列函数是否满足全局 Lipschitz 条件 1 可能不满足 22 11212 2 Tf xxx xxx 2 满足 22 21 12 xxT f xx ex e 2 4 Van der pol 方程可以用状态方程描述为 12 2 2112 1 xx xxxx 试证明 任取初始条件 对于某些充分小的 状态方程在上有唯一解 1020 xx 0 2 5 考虑标量微分方程 0 tan 0 xx txx 试证明微分方程对于任意 在区间上具有唯一解 0 x 0 2 6 已知非线性系统的状态方程为 t texxx xx t dt dx dt dx 2 221 21 3 1 2 1 3tanh4 3 试判断该状态方程是否有唯一解 当时有唯一解 00 0ttt 2 7 试求下列电路状态方程的平衡点 1 0 0 2 0 0 dxyby dt dy cxyax dt dx 22 22 yxyx dt dy yxxy dt dx 3 0 0 1 0 1 0 3 xx dt dy y dt dx 4 1 sin 2 x dt dy y dt dx 2 1 0 1 k1 kk 5 0 0 3 1 dyby dt dy e dt dx yx 0 0 d b d b d b d b d b d 第 3 章 3 1 分别取 用等倾线法绘出范德坡方程的轨线 设初值为 5 0 2 1 2 3 3 0 3 0 xx 1 0 0 0 xx 3 0 3 2 0 xx 3 2 用 li nard 作图法绘出时 范德坡方程初值为的轨线 5 0 3 0 3 0 xx 3 3 试证明在时 范德坡方程的等倾线包含 3 个分支 m 3 4 试确定下列线性微分方程组奇点的类型 并定性作出相图 1 稳定结点 y x dt dy dt dx 32 12 2 鞍点 y x dt dy dt dx 22 23 3 不稳定结点 y x dt dy dt dx 32 12 4 稳定结点 y x dt dy dt dx 30 01 5 鞍点 y x dt dy dt dx 30 02 6 非初等奇点 轨线趋于奇线 y x dt dy dt dx 12 24 7 非初等奇点 轨线平行于奇线 y x dt dy dt dx 24 12 8 不稳定结点 y x dt dy dt dx 30 02 9 中心 y x dt dy dt dx 02 10 10 不稳定焦点 y x dt dy dt dx 13 31 3 5 试求下列各非线性状态方程平衡点处的线性化系统 并决定该平衡点的类型 1 平衡点 0 0 鞍点 xyy dt dy xyx dt dx y dt dy x dt dx 2 平衡点 0 0 中心 焦点或中心焦点之一 22 22 yxyx dt dy yxxy dt dx x dt dy y dt dx 3 平衡点 0 0 鞍点 3 xx dt dy y dt dx x dt dy y dt dx 1 0 1 0 中心 焦点或中心焦点之一 x dt yd y dt xd 4 平衡点 0 0 不稳定退化结点 2 1 yy dt dy e dt dx yx y dt dy yx dt dx 3 6 考察下列非线性系统是否存在极限环 如存在极限环 通过极坐标变换来判断极限环的稳定性 1 存在稳定的极限环 22 12112 22 21212 1 1 xxxxx xxxxx 2 1 1 rrr 1 r 2 22 12112 22 12 22 21212 22 12 1 1 sin 1 1 1 sin 1 xxxxx xx xxxxx xx 存在半稳定的极限环 1 1 sin 1 2 2 r rr r 3 不存在极限环 2 11221 1 xx xxx 4 不存在 12121 cos sinxxxxx 第 4 章 4 1 试对二阶自治系统的各类平衡点 按 Lyapunov 稳定性的定义对平衡点的稳定性类型进行分类 4 2 试判断下面的每一个函数是否为 1 局部正定函数 2 正定函数 3 半正定函数 4 不定函数 1 正定函数 42 1212 V x xxx 2 局部正定函数 222 12112 2V x xxx x 2 22x 3 局部正定函数 22 1212 sin V x xxx 22 12 0 xx 4 正定函数 22 12 12 2 1 2 1 xx V x x x 5 半正定函数 1 2 122 x V x xx e 4 3 试讨论下列系统原点的稳定性 指出它们是否稳定 如果稳定 是否全局的 1 局部渐近稳定 222111 xxxxxx 2 局部渐近稳定 设 1 1 2 2 2 1212 2 2 2 1121 xxxxxxxxxx 2 2 2 121 xxxxV 3 不稳定 利用首次近似 3 cos sin 28275 xxxxxxx 4 1 sin2 22111 txxtxxx 4 4 考虑系统 3 2212 2 211 2 2xxxxxxx 预选 V 函数为 证明平衡点 0 0 是不稳定的 2 2 2 121 xxxxV 4 5 某非线性电路的状态方程为 2122 3 111 3 xxxxxxx 1 求系统的所有平衡点 0 0 2 6 2 6 2 通过平衡点处的线性化系统研究所有平衡点处的局部稳定性 0 0 不稳定 2 6 稳 定 2 6 稳定 3 利用二次 Lyapunov 函数 估计每个渐近稳定的平衡点的吸引域 并尽可能极大化吸引域 提示 对每个渐近稳定的平衡点 将坐标原点平移到平衡点处 然后进行分析 4 绘出系统的相轨迹和前列分析对比 4 6 试证明 如果存在对称矩阵 P 和 Q 使得 QPPAPAT 2 则 A 的所有特征值的实部均小于 4 7 考虑一个二阶系统 uxxx uxsatxxx 212 2 2 211 sin 2 3 其中 sat 函数定义为 1 1 sign sat 当时 试采用平衡点 0 0 处的线性化系统证明系统是局部不稳定的 0 u 4 8 通信网络锁相环回路方程可描述